1、22圆的一般方程填一填二元二次方程x2y2DxEyF0表示的图形(1)变形：把方程x2y2DxEyF0配方可得22.(2)结论：当D2E24F0时，表示以为圆心，以为半径的圆当D2E24F0时，方程只有一组解表示一个点.当D2E24F0时，称二元二次方程x2y2DxEyF0为圆的一般方程.判一判1.平面内任一圆的方程都是关于x，y的二元二次方程()2圆的一般方程和圆的标准方程可以互化()3若方程x2y22xEy10表示圆，则E0.()4二元二次方程x2y2DxEyF0一定是某个圆的方程()5圆x2y2ax2ay0过原点()6圆x2y2DxEyF0的圆心是.()7若D2E24F0.3待定系数法求
2、圆的一般方程的步骤是什么？提示：(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2y2DxEyF0.(2)根据已知条件，建立关于D，E，F的方程组(3)解此方程组，求出D，E，F的值(4)将所得的值代回所设的圆的方程中，就得到所求的圆的一般方程4求与圆有关的轨迹问题的方法有哪些？提示：(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等思考感悟：练一练1若方程x2y2xym0表示的曲线是一个圆，则m的取值范围是()Am BmCm Dm答案：D2圆x2y22x3y0的圆心坐标为()A. B.C(2,3) D.答案
3、：A3已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B.C. D.答案：B4圆x2y22x2y0的周长为_答案：25圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的一般方程为_答案：x2y24y30知识点一二元二次方程与圆的关系1.下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径(1)x2y2x10；(2)x2y22axa20(a0)解析：(1)D1，E0，F1，D2E24F1430，所以方程(1)不表示任何图形(2)D2a，E0，Fa2，D2E24F4a24a20，所以方程(2)表示点(a,0)2下列方程能表示圆吗？若能表示圆，求出圆心坐标和半径(
4、1)2x2y27x50；(2)x2xyy26xyt0.解析：(1)不能表示圆，因为方程中x2，y2的系数不相同(2)不能表示圆，因为方程中含有xy项.知识点二求圆的一般方程3.与圆x2y24x6y30同心，且过点(1，1)的圆的方程是()Ax2y24x6y80Bx2y24x6y80Cx2y24x6y80Dx2y24x6y80解析：设所求圆的方程为x2y24x6ym0，由该圆过点(1，1)，得m8，所以所求圆的方程为x2y24x6y80.答案：B4已知圆过A(2,2)，C(3，1)，且圆关于直线yx对称，求圆的一般方程解析：设所求的圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意得得所以所求的圆的方程为x
5、2y2xy120.知识点三求动点的轨迹方程(或轨迹)5.已知圆C：(xa)2(yb)21过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是()A点 B直线C线段 D圆解析：圆C：(xa)2(yb)21过点A(1,0)，(1a)2(0b)21，即(a1)2b21，圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径长的圆答案：D6.如图，经过圆x2y24上任意一点P作x轴的垂线，垂足为Q.求线段PQ的中点M的轨迹方程解析：设M(x，y)，P(x0，y0)，则又点P(x0，y0)在圆x2y24上，所以xy4.所以x24y24即为所求轨迹方程.综合知识圆的一般方程7.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，1)，求A
6、BC外接圆的方程解析：方法一设所求的圆的方程为x2y2DxEyF0，由题意得解得所以ABC外接圆的方程为x2y28x2y120.方法二设所求的圆的方程为(xa)2(yb)2r2，由题意得解得故所求的圆的方程为(x4)2(y1)25.8设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解析：如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.由于平行四边形的对角线互相平分，故，从而又点N(x3，y4)在圆上，故(x3)2(y4)24.当点P在直线OM上时，有x，y或x，y.因此所求轨迹为圆(x3)2(y4)2
7、4，除去点和点.基础达标一、选择题1圆2x22y26x4y30的圆心坐标和半径分别为()A.和4 B(3,2)和4C.和 D.和解析：由一般方程的圆心为，半径r，易知圆心的坐标为，半径为.答案：C2已知圆x2y22ax2y(a1)20(0a1)，则原点O在()A圆内 B圆外C圆上 D圆上或圆外解析：先化成标准方程(xa)2(y1)22a，因为0a2a，即原点在圆外答案：B3若动圆M在x轴与y轴上截得的弦长总相等，则圆心M的轨迹方程是()Axy0 Bxy0Cx2y20 Dx2y20解析：圆心M的坐标(x，y)应满足yx或yx，等价于x2y20.答案：D4已知点P(2,1)在圆C：x2y2ax2y
8、b0上，点P关于直线xy10的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为()A(0,1) B(1,0)C(2,1) D(1,2)解析：由题意圆心C在直线xy10上，从而有110，所以a0，所以圆C的圆心坐标为(0,1)，故选A.答案：A5下列四条直线中，将圆x2y22x4y10平分的直线是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30解析：由题意，知圆心是(1,2)，将圆平分的直线必过圆心，所以将圆心的坐标代入各选项验证知选C.答案：C6若圆x2y2DxEyF0关于直线l1：xy40和直线l2：x3y0都对称，则DE的值为()A4 B2C2 D4解析：由题知直线l1，l2过已知圆的圆心，所以所以所
9、以DE4.答案：D7已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x4y40相切，则圆的方程是()Ax2y24x0 Bx2y24x0Cx2y22x30 Dx2y22x30解析：设圆心为C(m,0)(m0)，因为所求圆与直线3x4y40相切，所以2，整理，得|3m4|10，解得m2或m(舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即x2y24x0，故选A.答案：A二、填空题8圆x2y22ax0(a0)的圆心为_，半径为_解析：圆x2y22ax0(a0)化为(xa)2y2a2其圆心为(a,0)，半径为|a|.答案：(a,0)|a|9已知圆x2y22x8y10的圆心到直线axy10的距离为1，则a
10、_.解析：圆x2y22x8y10的圆心C(1,4)，因为圆x2y22x8y10的圆心到直线axy10的距离为1，所以d1，解得a.答案：10已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x2y0上任意一点，则ABC面积的最小值为_解析：圆x2y22x2y0化为(x22x1)(y22y1)2，即(x1)2(y1)22，由题意即为在圆上找一点到线段AB的距离最小即可，kAB1，直线AB：y2x，所以线段AB：yx2(2x0)，圆心(1，1)到其距离d2，所以圆上某点到线段AB的距离最小值为2，因为|AB|2，所以SABCmin|AB|22.答案：211若直线l：axby10始终平分圆M：x
11、2y24x2y10的周长，则(a2)2(b2)2的最小值为_解析：由题意，得直线l过圆心M(2，1)，则2ab10，则b2a1，所以(a2)2(b2)2(a2)2(2a12)25a255，所以(a2)2(b2)2的最小值为5.答案：512动圆x2y2(4m2)x2my4m24m10的圆心的轨迹方程为_解析：设动圆圆心为(x，y)，由题意得整理得x2y10.答案：x2y10三、解答题13判断下列方程是否表示圆，若是，求出圆心和半径(1)x2y2x0；(2)x2y22ax0(a0)；(3)x2y22ay10.解析：方程x2y2DxEyF0是否表示圆，关键看将该方程配方转化为圆的标准方程的形式22后
12、，D2E24F是否大于0，若大于0则表示圆，否则不表示圆方法一(1)将原方程转化为2y20，表示一个点，坐标为.(2)将原方程转化为(xa)2y2a2(a0)，表示圆，圆心为(a,0)，半径r|a|.(3)将原方程转化为x2(ya)21a2，表示圆，圆心为(0，a)，半径r.方法二(1)因为D2E24F(1)20240，所以表示一个点，其坐标为.(2)因为D2E24F4a2004a20(a0)，所以表示圆又因为a，0，|a|，所以圆心为(a,0)，半径r|a|.(3)因为D2E24F02(2a)244(1a)20，所以表示圆又因为0，a，所以圆心为(0，a)，半径r.14一个等腰三角形底边上的
13、高等于5，底边两端点的坐标分别是(4,0)，(4,0)，求它的外接圆的方程解析：由题意得，等腰三角形顶点的坐标为(0,5)或(0，5)当顶点坐标为(0,5)时，设三角形外接圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得所以圆的方程为x2y2y160.当顶点坐标是(0，5)时，同理可得圆的方程为x2y2y160.综上，它的外接圆的方程为x2y2y160或x2y2y160.能力提升15.已知曲线C：(1a)x2(1a)y24x8ay0.(1)当a取何值时，方程表示圆；(2)求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；(3)当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值解析：(1)当a1时，方程为x2y0，为一条直线；当
14、a1时，22表示圆(2)证明：方程变形为x2y24xa(x2y28y)0.令解得或故C过定点A(0,0)，B.(3)因为圆恒过点A，B，所以以AB为直径的圆面积最小，则圆心为.所以，解得a.16已知直角ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC中点M的轨迹方程解析：(1)方法一设顶点C(x，y)，因为ACBC，且A，B，C三点不共线，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)方法二同方法一得x3且x1.由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB
15、|2，即(x1)2y2(x3)2y216，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)方法三设AB中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，以2为半径长的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3且x1)(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x(x3且x1)，y，于是有x02x3，y02y.由(1)知，点C在圆(x1)2y24(x3且x1)上运动，将x0，y0代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(x3且x1)
