1、单元素养评价(二)(第二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.函数y=x2+x在x=1到x=1+x之间的平均变化率为()A.x+2B.2x+(x)2C.x+3D.3x+(x)2【解析】选C.y=(1+x)2+1+x-1-1=(x)2+3x，所以=x+3.2.下列式子不正确的是()A.(3x2+cos x)=6x-sin xB.(ln x-2x)=-2xln 2C.(2sin 2x)=2cos 2xD.=【解析】选C.对于选项A，(3x2+cos x)=6x-sin x成立，故A正确；对于选项B，(l
2、n x-2x)=-2xln 2成立，故B正确；对于选项C，(2sin 2x)=4cos 2x2cos 2x，故C不正确；对于选项D，=成立，故D正确.3.(2019全国卷)已知曲线y=aex+xln x在点(1，ae)处的切线方程为y=2x+b，则()A.a=e，b=-1 B.a=e，b=1C.a=e-1，b=1 D.a=e-1，b=-1【解析】选D.令f(x)=aex+xln x，则f(x)=aex+ln x+1，f(1)=ae+1=2，得a=e-1.f(1)=ae=2+b，可得b=-1.【加练固】已知曲线y=2ax2+1过点(，3)，则该曲线在该点处的切线方程为()A.y=-4x-1B.y
3、=4x-1C.y=4x-11D.y=-4x+7【解析】选B.因为曲线过点(，3)，所以3=2a2+1，所以a=1，所以切点为(1，3).由导数定义可得y=4ax=4x，所以该点处切线斜率k=4，所以切线方程为y-3=4(x-1)，即y=4x-1.4.若曲线f(x)=x4-x在点P处的切线平行于直线3x-y=0，则点P的坐标为()A.(1，3)B.(1，-3)C.(1，0)D.(-1，0)【解析】选C.设P点坐标为(x0，y0)，则k=f(x0)=4-1=3，解得x0=1，此时y0=0.5.曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.-9B.-3C.9D.5【解析】选
4、C.因为f(x)=3x2，切点P(1，12)，所以切线的斜率k=312=3.故切线方程为y-12=3(x-1)，即3x-y+9=0，令x=0，得y=9.6.函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.y=(x+1)2(x-1)+(x+1)2(x-1)=2(x+1)(x-1)+(x+1)2=3x2+2x-1，所以当x=1时，y=4.7.已知函数y=f(x)，y=g(x)的导函数的图像如图所示，那么y=f(x)，y=g(x)的图像可能是()【解析】选D.由导函数y=f(x)的图像可知y=f(x)在(0，+)上单调递减，说明函数y=f(x)的图像上任意
5、一点切线的斜率为单调递减，故可排除A，C.又由图像知y=f(x)与y=g(x)在点x=x0处相交，说明y=f(x)与y=g(x)的图像在x=x0处的切线斜率相同，故可排除B.8.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图像如图所示，则导函数y=f(x)的图像可能为()【解析】选A.由f(x)的图像判断可得，从左到右函数在y轴左侧先增，再减，在y轴的右侧，函数单调递减，所以导函数y=f(x)的图像可能在区间(-，0)内，先有f(x)0，再有f(x)0，在(0，+)有f(x)0.9.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x1，x2(x1x2)，|f(x2)-f(x1)|x2-
6、x1|恒成立”的只有()A.f(x)=B.f(x)=|x|C.f(x)=2xD.f(x)=x2【解析】选A.由已知得1，则|1(k指斜率)，即曲线在(1，2)上任意两点连线的斜率在区间(-1，1)内.A中f(x)=-，当x(1，2)时，f(x)，满足题意；B中在(1，2)上k=1，不满足题意；C中(2x)=2xln 2，不满足题意；D中(x2)=2x，不满足题意.10.已知曲线f(x)=ln x在点(2，f(2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则实数a的值为()A.B.-2C.2D.-【解析】选C.f(x)=ln x的导数为f(x)=，可得曲线f(x)=ln x在点(2，f(2)处的切线斜
7、率为，切线与直线ax+y+1=0垂直，可得-a=-1，解得a=2.11.如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图像，则函数g(x)=ex+f(x)的零点所在的区间是()A.(-1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)【解析】选B.由图像可知，0f(0)=a1，f(1)=0，即1-b+a=0，由可得1b2，g(x)=ex+2x-b，且g(0)=1-b0，又g(x)的图像连续不断且g(x)为增函数，所以g(x)在(0，1)上必存在零点.12.若函数f(x)=-eax(a0，b0)的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是()A.4B.2C.2D.【解析】选D.
8、f(x)=-eax，因此切线的斜率k=f(0)=-，切点为，切线方程为y+=-(x-0)，即ax+by+1=0，由于与圆相切，所以=1，则a2+b2=1，由，得a+b，当仅且当a=b时取等号.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中的横线上)13.曲线C：f(x)=sin x+ex+2在x=0处的切线方程为_.【解析】因为f(x)=cos x+ex，所以k=f(0)=cos 0+e0=2，且f(0)=sin 0+e0+2=3，所以所求切线方程为y-3=2(x-0)，即2x-y+3=0.答案：2x-y+3=014.已知f(x)=x2+2xf(1)，则f(0)=_.【解
9、析】f(x)=x2+2xf(1)=2x+2f(1)，则f(1)=21+2f(1)，所以f(1)=-2，所以f(0)=20+2f(1)=-4.答案：-4【加练固】已知函数f(x)=x3-f(1)x2+x+5，则f(1)=_.【解析】因为f(x)=x3-f(1)x2+x+5，所以f(x)=x2-2f(1)x+1，令x=1，得f(1)=1-2f(1)+1，得f(1)=.答案：15.已知函数f(x)=aex+e-x的导函数f(x)的图像关于原点对称，则a=_.【解题指南】先求导，再根据奇函数的性质即可求出a的值.【解析】函数f(x)=aex+e-x的导函数f(x)=aex-e-x的图像关于原点对称，所
10、以f(-x)=-f(x)，所以ae-x-ex=-aex+e-x，所以a=1.答案：116.已知函数g(x)=a-x2xe，e为自然对数的底数与h(x)=2ln x的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是_.【解析】因为函数g(x)=a-x2xe，e为自然对数的底数与h(x)=2ln x的图像上存在关于x轴对称的点，所以方程a-x2=-2ln x，即-a=2ln x-x2在上有解.令f(x)=2ln x-x2，则f(x)=-2x=，因为xe，所以f(x)在x=1处有唯一的极大值点.因为f=-2-，f(e)=2-e2，f(x)的极大值为f(1)=-1，且f(e)0，故f单调递增，注意到f
11、=0，故当x时，f0，f单调递增.(2)由fx3+1得，ex+ax2-xx3+1，其中x0，当x=0时，不等式为：11，显然成立，符合题意；当x0时，分离参数a得，a-，记g=-，g=-，令h=ex-x2-x-1，则h=ex-x-1，h=ex-10，故h单调递增，hh=0，故函数h单调递增，hh=0，由h0可得：ex-x2-x-10恒成立，故当x时，g0，g单调递增；当x时，g0，g单调递减，因此，=g=，综上可得，实数a的取值范围是.21.(12分)设函数f(x)=aexln x+，(1)求导函数f(x).(2)若曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2，求a，b
12、.【解析】(1)由f(x)=aexln x+，得f(x)=(aexln x)+=aexln x+.(2)由于切点既在函数曲线上，又在切线上，将x=1代入切线方程得：y=2.将x=1代入函数f(x)得：f(1)=b，所以b=2.将x=1代入导函数，则f(1)=ae=e.所以a=1.22.(12分)求满足下列条件的函数f(x).(1)f(x)是三次函数，且f(0)=3，f(0)=0，f(1)=-3，f(2)=0.(2)f(x)是二次函数，且x2f(x)-(2x-1)f(x)=1.【解析】(1)由题意设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)，则f(x)=3ax2+2bx+c.由已知解得a=1，b=-3，c=0，d=3，故f(x)=x3-3x2+3.(2)由题意设f(x)=ax2+bx+c(a0)，则f(x)=2ax+b.所以x2(2ax+b)-(2x-1)(ax2+bx+c)=1，化简得(a-b)x2+(b-2c)x+c=1，此式对任意x都成立，所以解得a=2，b=2，c=1，即f(x)=2x2+2x+1.
