1、31数乘向量填一填1.数乘向量(1)一般地,实数与向量a的积是一个向量,记作.它的长度为|a|a|,它的方向:当0,a与a的方向_;当0)或反方向(1)或_(|1时,有|a|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(1)或反方向(1)上伸长到|a|的|倍当0|1时,有|a|a|,这意味着表示向量a的有向线段在原方向(01)或反方向(10)上缩短到|a|的|倍2为什么向量共线定理中规定a0?提示:若将条件a0去掉,即当a0时,显然a与b共线(1)若b0,则不存在实数,使ba.(2)若b0,则对任意实数,都有ba.思考感悟:练一练1.4(ab)3(ab)b等于()Aa2bBaCa6b Da8b2
2、点C在直线AB上,且3,则等于()A2 B.C D23已知|a|4,|b|8,若两向量方向同向,则向量a与向量b的关系为b_a.4点C在线段AB上,且,则_,_.知识点一向量数乘的定义及线性运算1.设a是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是()Aa与a的方向相反 B|a|a|Ca与2a的方向相同 D|a|a2化简:(1)5(3a2b)4(2b3a)(2)(a2b)(3a2b)(ab)(3).知识点二向量的表示3如图,ABCD中,E是BC的中点,若a,b,则()A.ab B.abCab Dab4三角形ABC中,点D为BC的三等分点,设向量a,b,用向量a,b表示_.知识点三向量共线定理5.已知
3、a与b是两个不共线向量,且向量ab与(b3a)共线,则_.6已知e1,e2是两个非零不共线的向量,a2e1e2,bke1e2,若a与b是共线向量,求实数k的值综合知识三点共线问题7.已知O,A,B是不共线的三点,且mn(m,nR)(1)若mn1,求证:A,P,B三点共线;(2)若A,P,B三点共线,求证:mn1.基础达标一、选择题1已知ae12e2,b3e12e2,则3ab()A4e2 B4e1C3e16e2 D8e22已知实数m,n和向量a,b,有下列说法:m(ab)mamb(mn)amana若mamb,则ab若mana(a0),则mn.其中,正确的说法是()A BC D3下列各式中不表示向
4、量的是()A0a Ba3bC|3a| D.e(x,yR,且xy)4如图所示,D是ABC的边AB的中点,则向量()ABC.D.5设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则()A. B.C. D.6在ABC中,G为ABC的重心,记a,b,则()A.ab B.abC.ab D.ab7设a,b为不共线的两个非零向量,已知向量akb,2ab,3ab,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于()A10 B10C2 D28如图所示,在ABC中,点O是BC的中点过点O的直线分别交AB的延长线,AC于不同的两点M,N.若m,n,则mn的值为()A1 B.C. D2二、填空题9已知点P在线段AB上,且
5、|4|,设|,则实数_.10已知x,y是实数,向量a,b不共线,若(xy1)a(xy)b0,则x_,y_.11已知|a|6,b与a的方向相反,且|b|3,amb,则实数m_.12若O是ABC所在平面内的一点,且满足|2|,则ABC的形状为_三、解答题13已知A,B,P三点共线,O为直线外任意一点,若xy,求xy的值14.在ABC中,已知点D,E分别在边AC,AB上,且,设a,b.求证:(ba)能力提升15.如图所示,四边形OADB是平行四边形,a,b,又,试用a、b表示、.16设O为ABC内任一点,且满足230.(1)若D,E分别是BC,CA的中点,求证:D,E,O共线;(2)求ABC与AOC
6、的面积之比31数乘向量一测基础过关填一填1(1)相同相反(2)伸长缩短(3)aaab判一判12.3.4.5.6.7.8.练一练1D2.D3.24.二测考点落实1解析:当取负数时,a与a的方向是相同的,选项A错误;当|1时,|a|a|不成立,选项B错误;|a|a中等号左边表示一个数,而等号右边表示一个向量,不可能相等,选项D错误;因为0,所以2一定是正数,故a与2a的方向相同,故选C.答案:C2解析:(1)5(3a2b)4(2b3a)15a10b8b12a3a2b.(2)(a2b)(3a2b)(ab)abab.(3)(a4b4a2b)(3a6b)a2b.3解析:因为E是BC的中点,所以b,所以a
7、b.答案:D4.解析:因为D为BC的三等分点,当BDBC时,如图1,所以()ab.当BDBC时,如图2,所以()ab.答案:ab或ab5解析:由题意知存在kR,使得abk(b3a),所以解得答案:6解析:因为a与b是共线向量,所以ab,所以2e1e2(ke1e2)ke1e2,所以所以所以k2.7证明:(1)若mn1,则m(1m)m(),m(),即m,与共线又与有公共点B,A,P,B三点共线(2)若A,P,B三点共线,则存在实数,使,()又mn,故有m(n1),即(m)(n1)0.O,A,B不共线,不共线,mn1.三测学业达标1解析:3ab3(e12e2)(3e12e2)3e16e23e12e2
8、8e2.答案:D2解析:和属于向量数乘运算的分配律,正确;中,当m0时,mamb0,但a与b不一定相等,故不正确;正确,因为由mana,得(m n)a0,又因为a0,所以mn0,即mn.答案:B3解析:|3a|是向量3a的模,是实数而不是向量答案:C4解析:.答案:A5解析:()()().答案:A6解析:G为ABC的重心,()ab,babab.答案:A7解析:因为A,B,D三点共线,所以(),所以akb(3ab2ab)(a2b),所以1,k2.答案:C8解析:连接AO,(),M,O,N三点共线,1,mn2.答案:D9解析:因为|4|,则的长度是的长度的,二者的方向相同,所以.答案:10解析:由已知得解得xy.答案:11解析:2,所以|a|2|b|,又a与b的方向相反,所以a2b,所以m2.答案:212解析:2,|.故A,B,C为矩形的三个顶点,ABC为直角三角形答案:直角三角形13解析:设,则,则()(1),所以xy11.14证明:,b,()(ba)ba.bbaba(ba)15解析:因为ab,所以(ab)所以b(ab)babab.又由ab,得ab.所以ab.16.解析:(1)证明:如图,2,2,23()2()2(2)0,即20,与共线,即D,E,O三点共线(2)由(1)知2|,SAOC2SCOE2SCDE2SABCSABC,3.