1、31数乘向量填一填1.数乘向量(1)一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作.它的长度为|a|a|，它的方向：当0，a与a的方向_；当0)或反方向(1)或_(|1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(1)或反方向(1)上伸长到|a|的|倍当0|1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(01)或反方向(10)上缩短到|a|的|倍2为什么向量共线定理中规定a0?提示：若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线(1)若b0，则不存在实数，使ba.(2)若b0，则对任意实数，都有ba.思考感悟：练一练1.4(ab)3(ab)b等于()Aa2bBaCa6b Da8b2
2、点C在直线AB上，且3，则等于()A2 B.C D23已知|a|4，|b|8，若两向量方向同向，则向量a与向量b的关系为b_a.4点C在线段AB上，且，则_，_.知识点一向量数乘的定义及线性运算1.设a是非零向量，是非零实数，下列结论正确的是()Aa与a的方向相反 B|a|a|Ca与2a的方向相同 D|a|a2化简：(1)5(3a2b)4(2b3a)(2)(a2b)(3a2b)(ab)(3).知识点二向量的表示3如图，ABCD中，E是BC的中点，若a，b，则()A.ab B.abCab Dab4三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a，b，用向量a，b表示_.知识点三向量共线定理5.已知
3、a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.6已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a2e1e2，bke1e2，若a与b是共线向量，求实数k的值综合知识三点共线问题7.已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)(1)若mn1，求证：A，P，B三点共线；(2)若A，P，B三点共线，求证：mn1.基础达标一、选择题1已知ae12e2，b3e12e2，则3ab()A4e2 B4e1C3e16e2 D8e22已知实数m，n和向量a，b，有下列说法：m(ab)mamb(mn)amana若mamb，则ab若mana(a0)，则mn.其中，正确的说法是()A BC D3下列各式中不表示向
4、量的是()A0a Ba3bC|3a| D.e(x，yR，且xy)4如图所示，D是ABC的边AB的中点，则向量()ABC.D.5设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B.C. D.6在ABC中，G为ABC的重心，记a，b，则()A.ab B.abC.ab D.ab7设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量akb，2ab，3ab，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于()A10 B10C2 D28如图所示，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交AB的延长线，AC于不同的两点M，N.若m，n，则mn的值为()A1 B.C. D2二、填空题9已知点P在线段AB上，且
5、|4|，设|，则实数_.10已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(xy1)a(xy)b0，则x_，y_.11已知|a|6，b与a的方向相反，且|b|3，amb，则实数m_.12若O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_三、解答题13已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，求xy的值14.在ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且，设a，b.求证：(ba)能力提升15.如图所示，四边形OADB是平行四边形，a，b，又，试用a、b表示、.16设O为ABC内任一点，且满足230.(1)若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O共线；(2)求ABC与AOC
6、的面积之比31数乘向量一测基础过关填一填1(1)相同相反(2)伸长缩短(3)aaab判一判12.3.4.5.6.7.8.练一练1D2.D3.24.二测考点落实1解析：当取负数时，a与a的方向是相同的，选项A错误；当|1时，|a|a|不成立，选项B错误；|a|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为0，所以2一定是正数，故a与2a的方向相同，故选C.答案：C2解析：(1)5(3a2b)4(2b3a)15a10b8b12a3a2b.(2)(a2b)(3a2b)(ab)abab.(3)(a4b4a2b)(3a6b)a2b.3解析：因为E是BC的中点，所以b，所以a
7、b.答案：D4.解析：因为D为BC的三等分点，当BDBC时，如图1，所以()ab.当BDBC时，如图2，所以()ab.答案：ab或ab5解析：由题意知存在kR，使得abk(b3a)，所以解得答案：6解析：因为a与b是共线向量，所以ab，所以2e1e2(ke1e2)ke1e2，所以所以所以k2.7证明：(1)若mn1，则m(1m)m()，m()，即m，与共线又与有公共点B，A，P，B三点共线(2)若A，P，B三点共线，则存在实数，使，()又mn，故有m(n1)，即(m)(n1)0.O，A，B不共线，不共线，mn1.三测学业达标1解析：3ab3(e12e2)(3e12e2)3e16e23e12e2
8、8e2.答案：D2解析：和属于向量数乘运算的分配律，正确；中，当m0时，mamb0，但a与b不一定相等，故不正确；正确，因为由mana，得(m n)a0，又因为a0，所以mn0，即mn.答案：B3解析：|3a|是向量3a的模，是实数而不是向量答案：C4解析：.答案：A5解析：()()().答案：A6解析：G为ABC的重心，()ab，babab.答案：A7解析：因为A，B，D三点共线，所以()，所以akb(3ab2ab)(a2b)，所以1，k2.答案：C8解析：连接AO，()，M，O，N三点共线，1，mn2.答案：D9解析：因为|4|，则的长度是的长度的，二者的方向相同，所以.答案：10解析：由已知得解得xy.答案：11解析：2，所以|a|2|b|，又a与b的方向相反，所以a2b，所以m2.答案：212解析：2，|.故A，B，C为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形答案：直角三角形13解析：设，则，则()(1)，所以xy11.14证明：，b，()(ba)ba.bbaba(ba)15解析：因为ab，所以(ab)所以b(ab)babab.又由ab，得ab.所以ab.16.解析：(1)证明：如图，2，2，23()2()2(2)0，即20，与共线，即D，E，O三点共线(2)由(1)知2|，SAOC2SCOE2SCDE2SABCSABC，3.