1、题型专题(十五)圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的定义与标准方程师说考点圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0，n0)，双曲线常设为mx2ny21(mn0) 演练冲关1已知椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选A设椭圆的标准方程为1(ab0)由点(2，)在椭圆上得1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，.又c2a2b2，联立得a28，
2、b26.即椭圆方程为1.2(2016广州模拟)已知以F为焦点的抛物线y24x上的两点A，B满足，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为_解析：设A(xA，yA)，B(xB，yB)，xA12(xB1)，又xAxB1，xA2，xB，弦AB的中点到抛物线准线的距离为11.答案：圆锥曲线的几何性质师说考点1椭圆、双曲线中，a，b，c之间的关系(1)在椭圆中：a2b2c2，离心率为e ；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为e.2双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yx.注意离心率e与渐近线的斜率的关系典例(1)(2016全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点已知|A
3、B|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A2 B4 C6 D8解析选B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去)C的焦点到准线的距离为4.(2)(2016全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sinMF2F1，则E的离心率为()A. B. C. D2解析选A法一：作出示意图，如图，离心率e，由正弦定理得e.故选A.法二：因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由双曲线
4、的定义得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2b2a22a2，所以离心率e.用圆锥曲线性质的2个注意点(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围 演练冲关1(2016湖南东部六校联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e，且它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.1 B.1C.y21 D.y21解析：选A依题意，可设椭圆的标准方程为1(ab0)，由已知可得抛物
5、线的焦点为(1，0)，所以c1，又离心率e，解得a2，b2a2c23，所以椭圆方程为1.故选A.2(2016广州模拟)已知双曲线1(a0，b0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为()A2xy0 Bx2y0C4x3y0 D3x4y0解析：选C双曲线的右焦点到左顶点的距离等于ac，右焦点到渐近线yx的距离为b，则ac2b，c2ba，a2b2c2(2ba)2，所以3b4a，所以所求渐近线方程为4x3y0.3(2016山东高考)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_解析：如图
6、，由题意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2，并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)答案：2直线与圆锥曲线的位置关系师说考点判断直线与圆锥曲线公共点的2种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数典例(2016全国乙卷)在直角坐标系xOy中，直线l：yt(t0)交y轴于点M，交抛物线C：y22px(p0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接O
7、N并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由解(1)如图，由已知得M(0，t)，P.又N为M关于点P的对称点，故N，故直线ON的方程为yx，将其代入y22px整理得px22t2x0，解得x10，x2.因此H.所以N为OH的中点，即2.(2)直线MH与C除H以外没有其他公共点理由如下：直线MH的方程为ytx，即x(yt)代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点求解直线与圆锥曲线位置关系问题的注意事项(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可
8、利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程组并消元转化为一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程； 若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解 演练冲关1(2016重庆模拟)设抛物线y22px(p0)的焦点为F，过F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点若线段AB的垂直平分线与x轴交于点M(11，0)，则p()A2 B3 C6 D12解析：选C由题意可得直线AB的方程是y，代入抛物线方程y22px(p0)中，化简得3x25pxp20，则AB中点坐标是，则，解得p
9、6.2(2016云南模拟)已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4.直线l：ykxm与y轴交于点P，与椭圆E相交于A，B两个点(1)求椭圆E的方程；(2)若，求m2的取值范围解：(1)根据已知设椭圆E的方程为1(ab0)，焦距为2c，由已知得，ca，b2a2c2.以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4，42a4，a2，b1.椭圆E的方程为x21.(2)根据已知得P(0，m)，设A(x1，kx1m)，B(x2，kx2m)，由得，(k24)x22mkxm240.由已知得4m2k24(k24)(m24)0，即k2m240，且x1x2，
10、x1x2.由得x13x2.3(x1x2)24x1x212x12x0.0，即m2k2m2k240.当m21时，m2k2m2k240不成立，k2.k2m240，m240，即0.1m20，b0)的左、右焦点，P为双曲线上的一点，若F1PF2120，且F1PF2的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是_解析：不妨设|PF1|PF2|，由双曲线的定义，|PF1|PF2|2a，因为F1PF2的三边长成等差数列，F1PF2120，F1F2为最大边，2c|PF2|2|PF1|，解得|PF1|2(ca)，|PF2|2(c2a)由余弦定理，(2c)24(ca)24(c2a)224(ca)(c2a)cos 120，化
11、简得7a29ac2c20，即2e29e70.e1，e.答案：一、选择题1(2016全国乙卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1，3) B(1，)C(0，3) D(0，)解析：选A由题意得(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m2n3m2n4，即m21，所以1n0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|4|OF|，MFO的面积为4，则抛物线方程为()Ay26x By28xCy216x Dy2x解析：选B依题意，不妨设M(x，y)，y0，因为|OF|，所以|MF|2p，即x2p，解得x，yp，又MF
12、O的面积为4，所以p4，解得p4，所以抛物线方程为y28x.4设双曲线1的一条渐近线为y2x，且一个焦点与抛物线yx2的焦点相同，则此双曲线的方程为()A.x25y21 B5y2x21C5x2y21 D.y25x21解析：选D因为x24y的焦点为(0，1)，所以双曲线的焦点在y轴上因为双曲线的一条渐近线为y2x，所以设双曲线的方程为y24x2(0)，即1，则1，所以双曲线的方程为5x21，故选D.5(2016福建质检)已知过双曲线C：1(a0，b0)的焦点的直线l与C交于A，B两点，且使|AB|4a的直线l恰好有3条，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCy2x Dyx解析：选A不妨设直线l过
13、双曲线的右焦点，由题意及双曲线的对称性可得，直线l必有一条过右焦点且与x轴垂直，因为|AB|4a，所以可取点A(c，2a)，所以解得，所以双曲线C的渐近线方程为yx，故选A.6(2016江西两市联考)已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，2，则一条渐近线与x轴所成角的取值范围是()A. B.C. D.解析：选Ce，2，24，又c2a2b2，24，13，1，设所求角为，则tan ，1tan ，.二、填空题7(2016唐山模拟)焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线x21有相同渐近线的双曲线的标准方程是_解析：设所求双曲线的标准方程为x2(0)，即1，则有425，解得5，所以所求双曲线的标准方程为1
14、.答案：18(2016江西景德镇二模)已知抛物线：y24x的焦点为F，P是的准线上一点，Q是直线PF与的一个交点若，则直线PF的方程为_解析：由抛物线y24x可得焦点坐标为F(1，0)，准线方程为x1，设P(1，yP)，Q(xQ，yQ)，由，得又因为y4xQ，则易知yP2，即P(1，2)或P(1，2)当P点坐标为(1，2)时，直线PF的方程为xy0，当P点坐标为(1，2)时，直线PF的方程为xy0，所以直线PF的方程为xy0或xy0.答案：xy0或xy09(2016兰州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1，F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，PF1F2是以
15、PF1为底边的等腰三角形若|PF1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2的取值范围是_解析：设椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则2c|PF2|2a10，2m102c，所以ac5，m5c，所以e1e2，又由三角形的性质知2c2c10，由已知2c10，c5，所以c5，14，01.答案：三、解答题10(2016郑州质检)已知曲线C的方程是mx2ny21(m0，n0)，且曲线过A，B两点，O为坐标原点(1)求曲线C的方程；(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)是曲线C上两点，向量p(x1，y1)，q(x2，y2)，且pq0，若直线MN过点，求直线MN的斜率解：(1)由题
16、可得解得m4，n1.曲线C的方程为y24x21.(2)设直线MN的方程为ykx，代入椭圆方程y24x21得：(k24)x2kx0，x1x2，x1x2，pq(2x1，y1)(2x2，y2)4x1x2y1y20，0，即k220，k，故直线MN的斜率为.11已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的方程为yx，右焦点F到直线x的距离为.(1)求双曲线C的方程；(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B，D两点，已知A(1，0)，若1，证明：过A，B，D三点的圆与x轴相切解：(1)依题意有，c，a2b2c2，c2a，a1，c2，b23，双曲线C的方程为x21.(2)证明：设直线l
17、的方程为yxm(m0)，B(x1，x1m)，D(x2，x2m)，BD的中点为M，由得2x22mxm230，x1x2m，x1x2，又1，即(2x1)(2x2)(x1m)(x2m)1，m0(舍)或m2，x1x22，x1x2，M点的横坐标为1，(1x1)(1x2)(x12)(x22)52x1x2x1x25720，ADAB，过A，B，D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，点M的横坐标为1，MAx轴，过A，B，D三点的圆与x轴相切12如图，圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴正半轴相交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|3.(1)求圆C的方程；(2)过点M任作一条直线与椭圆：1相交于两点A，B，
18、连接AN，BN，求证：ANMBNM.解：(1)设圆C的半径为r(r0)，依题意得，圆心坐标为(r，2)|MN|3，r222，r，圆C的方程为(y2)2.(2)证明：把y0代入方程(y2)2，解得x1或x4，即点M(1，0)，N(4，0)当ABx轴时，由椭圆对称性可知ANMBNM.当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为yk(x1)联立消去y得(k22)x22k2xk280.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1x2，x1x2.y1k(x11)，y2k(x21)，kANkBN.(x11)(x24)(x21)(x14)2x1x25(x1x2)880，kANkBN0，ANMBNM.综上所述，ANMBNM.
