1、第二章能力检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1抛物线y28x的准线方程是()Ax2Bx2Cy2Dy2【答案】B【解析】抛物线y28x的准线方程是x2.故选B2.(2020年山东潍坊统一考试)已知双曲线1(a0，b0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()A.2 B.1 C.2 D.【答案】A【解析】由题意知双曲线的焦点(c,0)到渐近线bxay0的距离为b，即c2a23.又e2，所以a1，该双曲线的实轴的长为2a2.3若抛物线y22px的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p的值为()A2B2C4D4【答案】D【解析
2、】双曲线1的右焦点为(2,0)，即抛物线y22px的焦点为(2,0)，2，p4.故选D 4(2019年山东济南模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使点M与点F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】B【解析】由条件知|PM|PF|，|PO|PF|PO|PM|OM|OF|.点P的轨迹是以点O，F为焦点的椭圆5.(2020年辽宁沈阳模拟)已知抛物线y24x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是()A.x2y10 B.x2y10C.2xy10 D.2xy10【答案】
3、D【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，则y1y22.又点A，B在抛物线y24x上，所以两式相减，得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，则2，即直线AB的斜率k2.所以直线AB的方程为y12(x1)，即2xy10.6.(2020年河南郑州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若AF1B的周长为12，则椭圆C的标准方程为()A.1 B.1C.y21 D.1【答案】A【解析】由椭圆的定义，知|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，故AF1B的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a12，所以a3.因
4、为椭圆的离心率e，所以c2.所以b2a2c25.所以椭圆C的方程为1.故选A.7已知双曲线1(a0，b0)的离心率e，2，令双曲线两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角为，则此角的取值范围是()ABCD【答案】C【解析】，.8双曲线1与椭圆1(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的三角形一定是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形【答案】C【解析】设双曲线的离心率为e1，椭圆的离心率为e2，则e，e，由已知得ee1，即1，化简，得a2b2m2.9(2019年云南昆明模拟)已知F1，F2是双曲线M：1的焦点，yx是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲
5、线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则|PF1|PF2|等于()A10B12C14D16【答案】B【解析】由题意易得双曲线的方程为1，椭圆的方程为1，不妨设|PF1|PF2|，可得|PF1|PF2|12.10(2019年江西南昌模拟)已知抛物线C：y24x，过焦点F且斜率为的直线与C相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则MFN的面积等于()ABCD【答案】C【解析】设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则SMFNp|y1y2|2|y1y2|y1y2|.直线方程是y(x1)，与抛物线方程联立，化简得y24y40，y1y2，y1y24，所以|y1y2|.故选
6、C11.(多选题)已知直线l：y2x3被椭圆C：1(ab0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的是()A.y2x3 B.y2x1C.y2x3 D.y2x3【答案】ACD【解析】直线y2x3与直线l关于原点对称，直线y2x3与直线l关于x轴对称，直线y2x3与直线l关于y轴对称，故选项A，C，D的直线被椭圆C截得的弦长一定为7.12.(多选题)已知直线ykx1与双曲线x21交于A，B两点，且|AB|8，则实数k的值可以为()A. B.C. D.【答案】ABCD【解析】由直线与双曲线交于A，B两点，得k2.将ykx1代入x21，得(4k2)x22kx50，则4k24(4k2)5
7、0，解得k25.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|AB|8，解得k或.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13(2019年广西贵港期末)若以F1(，0)，F2(，0)为焦点的双曲线过点(2,1)，则该双曲线的标准方程为_【答案】y21【解析】设双曲线方程是1(a0，b0)，则有解得a22，b21.该双曲线的标准方程是y21.14动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x20的距离相等，则点P的轨迹方程为_【答案】y28x【解析】由抛物线定义知点P的轨迹是以点F(2,0)为焦点的抛物线，p4，其方程为y28x.15.(2020年广东广州模拟)已知抛物
8、线y22px(p0)的焦点F与双曲线y21的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|3，则直线AF的斜率为.【答案】2【解析】双曲线y21的右焦点为(2,0)，抛物线方程为y28x.|AF|3，xA23，得xA1，代入抛物线方程得yA2.点A在第一象限，A(1,2).直线AF的斜率为2.16.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线lMN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A，B，C，D.(1)设e，则|BC|与|AD|的比值为；(2)若存在直线l，使得BOAN，则两椭圆离心率
9、e的取值范围为.【答案】(1)(2)【解析】(1)C1，C2的离心率相同，故依题意可设C1：1，C2：1(ab0)，直线l：xt(|t|a).分别和C1，C2的方程联立，求得A，B.当e时，ba，分别用yA，yB表示A，B的纵坐标，可知.(2)t0时的l不符合题意.t0时，BOAN，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即，解得ta.|t|a，又0e1，1，解得e1.当e0.设直线与双曲线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x24.所求弦长为.20(12分)若抛物线yx22xm和直线y2x相交于不同的两点A，B(1)求实数m的取值范围；(2)求|AB|；(3)
10、求线段AB的中点坐标解：联立方程，得消去y得x24xm0.(1)直线与抛物线有两个相异交点，0，即424(m)0.m4.(2)当m4时，方程x24xm0有两个相异实根，设为x1，x2，由根与系数的关系，得x1x24，x1x2m.|AB|x1x2|2.(3)设线段AB的中点坐标为(x，y)，则x2，y4.线段AB的中点坐标为(2，4)21(12分)(2019年山东烟台模拟)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若2，求直线l的方程解：(1)设椭圆方程为1(ab0)c1，a2，b.椭圆C的方程为1
11、.(2)由题意得直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1.联立化简，得(34k2)x28kx80，且0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2，得x12x2.又消去x2，得2.解得k.直线l的方程为yx1.22.(12分)(2020年河南郑州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P(2,1)在直线l的左上方.若APB90，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度.解：(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为1.(2)设直线l：yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，得x22mx2m240.由(2m)24(2m24)0，得2m2.所以x1x22m，x1x22m24.因为kPA，kPB，所以kPAkPB，上式中，分子(x22)x2m1(x12)x1x2(m2)(x1x2)4(m1)2m24(m2)(2m)4(m1)0，所以kPAkPB0.因为APB90，所以kPAkPB1，则kPA1，kPB1.所以PMN是等腰直角三角形，所以|MN|2xP4.
