1、课时跟踪检测(五十八)直线与圆锥曲线的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1过抛物线y22x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条B有且只有两条C有且只有三条 D有且只有四条解析：选B通径2p2，又|AB|x1x2p，|AB|32p，故这样的直线有且只有两条2椭圆ax2by21与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则()A BC D解析：选A设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，结合题意，由点差法得，1，.3经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标
2、原点，则等于()A3 BC或3 D解析：选B依题意，当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时，其方程为y0tan 45(x1)，即yx1，代入椭圆方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以两个交点坐标分别为(0，1)，同理，直线 l经过椭圆的左焦点时，也可得.4已知椭圆C：1(ab0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C的方程为_解析：由题意得解得椭圆C的方程为1. 答案：15已知抛物线yax2的焦点到准线的距离为2，则直线yx1截抛物线所得的弦长等于_解析：由题设知p2，a.抛物线方程为yx2，焦点为F(0,1)，准线为y1.联立消去x，整理得
3、y26y10，y1y26，直线过焦点F，所得弦|AB|AF|BF|y11y218.答案：8二保高考，全练题型做到高考达标1(2015太原模拟)中心为原点，一个焦点为F(0,5)的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为()A1 B1C1 D1解析：选C由已知得c5，设椭圆的方程为1，联立得消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，设直线y3x2与椭圆的交点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由根与系数关系得x1x2，由题意知x1x21，即1，解得a275，所以该椭圆方程为1.2(2016天津六校联考)已知抛物线y22px的焦点F与椭
4、圆16x225y2400的左焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上且|AK|AF|，则点A的横坐标为()A2 B2C3 D3解析：选D16x225y2400可化为1，则椭圆的左焦点为F(3,0)，又抛物线y22px的焦点为，准线为x，所以3，即p6，即y212x，K(3,0)设A(x，y)，则由|AK|AF|得(x3)2y22(x3)2y2，即x218x9y20，又y212x，所以x26x90，解得x3.3已知椭圆1(0b2)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|BF2|AF2|的最大值为5，则b的值是()A1 BC D解析：选D由椭圆的方程，可知
5、长半轴长为a2，由椭圆的定义，可知|AF2|BF2|AB|4a8，所以|AB|8(|AF2|BF2|)3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即3，可求得b23，即b.4已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1Cx2 Dx2解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且两点在抛物线上，得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，又线段AB的中点的纵坐标为2，y1y24，又直线的斜率为1，1，2p4，p2，抛物线的准线方程为x1.5(2015雅安月考)抛物线y24x的焦点为F，
6、准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是()A4 B3C4 D8解析：选Cy24x，F(1,0)，准线l：x1，过焦点F且斜率为的直线l1：y(x1)，与y24x联立，解得A(3,2)，AK4，SAKF424.6(2015大连名校联考)已知斜率为2的直线经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为_解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y2(x1)由方程组消去y，整理得3x25x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，x1x20.则|AB| .答案：7(2
7、016贵州湄潭中学月考)斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yxt，代入y21，消去y得x22txt210，由题意得(2t)25(t21)0，即t25.由根与系数的关系得x1x2t，x1x2，则弦长|AB|4.答案：8(2016西安中学模拟)如图，过抛物线yx2的焦点F的直线l与抛物线和圆x2(y1)21交于A，B，C，D四点，则_.解析：不妨设直线AB的方程为y1，联立解得x2，则A(2,1)，D(2,1)，因为B(1,1)，C(1,1)，所以(1,0)，(1,0)，所以1.答案：19(2016山西山大
8、附中模拟)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形(1)求椭圆方程；(2)若C，D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足MDCD，连接CM，交椭圆于点P，证明：为定值解：(1)由题意知a2，bc，a2b2c2，b22.椭圆方程为1.(2)证明：由题意知C(2,0)，D(2,0)，设M(2，y0)，P(x1，y1)，则(x1，y1)，(2，y0)直线CM：，即yxy0.代入椭圆x22y24，得x2yxy40.x1(2)，x1，y1.4(定值)10(2015揭阳一中期中)已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，右焦点为F(1,0)(
9、1)求椭圆E的标准方程；(2)设点O为坐标原点，过点F作直线l与椭圆E交于M，N两点，若OMON，求直线l的方程解：(1)依题意可得解得a，b1，所以椭圆E的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当MN垂直于x轴时，直线l的方程为x1，不符合题意；当MN不垂直于x轴时，设直线l的方程为yk(x1)联立得方程组消去y整理得(12k2)x24k2x2(k21)0，所以x1x2，x1x2.所以y1y2k2x1x2(x1x2)1.因为OMON，所以0，所以x1x2y1y20，所以k，即直线l的方程为y(x1)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y
10、21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是()A1 B1C1 D1解析：选C由题可设斜率存在的切线的方程为yk(x1)(k为切线的斜率)，即2kx2y2k10，由1，解得k，所以圆x2y21的一条切线的方程为3x4y50，可求得切点的坐标为，易知另一切点的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y2x2，令y0得右焦点为(1,0)，令x0得上顶点为(0,2)，故a2b2c25，所以所求椭圆的方程为1.2如图，已知椭圆1的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点(1)若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；(2)记GFD的面积为S1，OED(O为原点)的面积为S2.试问：是否存在直线AB，使得S1S2？说明理由解：(1)依题意可知，直线AB的斜率存在，设其方程为yk(x1)，将其代入1，整理得(4k23)x28k2x4k2120.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1x2.故点G的横坐标为.解得k.(2)假设存在直线AB，使得S1S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直由(1)可得G.设D点坐标为(xD,0)因为DGAB，所以k1，解得xD，即D.因为GFDOED，所以S1S2|GD|OD|.所以 ，整理得8k290.因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1S2.
