1、第一课时数学归纳法基础达标1.下列命题中能用数学归纳法证明的是A.三角形的内角和为180B.(1n)(1nn2n100)1n101(nR)C.(n0)D.cos cos 3cos(2n1)(sin 0，nN)解析因为数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，只有D符合要求，故选D.答案D2.已知f(n)，则f(k1)等于A. f(k)B.f(k)C.f(k)D.f(k)解析f(k)，f(k1)，f(k1)f(k).答案C3.用数学归纳法证明n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2，从nk到nk1一步时，等式左边应增添的式子是_.解析等式左边从k到k1需增加的代数式可以先写出nk时两边，再将
2、式子中的n用k1来代入，得出nk1时的等式，然后比较两式，得出需增添的式子是(3k1)3k(3k1)k.答案(3k1)3k(3k1)k4.用数学归纳法证明“5n2n能被3整除”的第二步中，当nk1时，为了使用归纳假设应将5k12k1变形为_.解析假设当nk时，5k2k能被3整除，则nk1时，5k12k15(5k2k)32k由假设知5k2k能被3整除，32k能被3整除.故5(5k2k)32k能被3整除.答案5(5k2k)32k5.求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1).证明(1)当n1时，左边12223，右边1(211)3，等式成立.n1时等式成立.(2)假设当nk(k1，kN
3、)时，等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1).当nk1时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)22(k1)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1时等式也成立，根据(1)和(2)可知，等式对任何nN都成立.能力提升1.用数学归纳法证明：“1aa2an1(a1)”在验证n1时，左端计算所得的项为A.1B.1aC.1aa2 D.1aa2a3答案C2.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证A.n1成立 B.n2成立C.n3成立 D.n4成立答案C3.在数列an中，a11，前n项和Sn
4、1，先算出数列的前4项的值，根据这些值归纳猜想数列的通项公式是A.an1 B.ann1C.an D.an答案D4.用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上A.k21B.(k1)2C.D.(k21)(k22)(k23)(k1)2解析当nk时，左侧123k2，当nk1时，左侧123k2(k21)(k1)2.当nk1时，左端应在nk的基础上加上(k21)(k22)(k23)(k1)2.答案D5.设f(n)(nN*)，那么f(n1)f(n)等于A.B.C. D.解析f(n)，f(n1)，f(n1)f(n).答案D6.某个命题与自然数n有关，如果当nk(kN)时该命题成立，那么可
5、推得当nk1时该命题也成立，现已知n5时，该命题不成立，那么可以推得A.n6时，该命题不成立B.n6时，该命题成立C.n4时，该命题不成立D.n4时，该命题成立答案C7.用数学归纳法证明：“当n为奇数时，xnyn能被xy整除”时，在归纳假设中，假设当nk时命题成立，那么下一步应证明n_时命题也成立.答案k28.观察下式：112；23432；3456752；4567891072，则得出的结论：_.答案n(n1)(n2)(3n2)(2n1)29.用数学归纳法证明命题：当n是非负整数时，11n2122n1能被133整除，假设nk时命题成立，推证nk1时命题也成立，应添加的辅助项为_.答案11122k
6、111122k110.用数学归纳法证明an1(a1)2n1能被a2a1整除(nN*).证明(1)当n1时，a2(a1)a2a1能被a2a1整除.(2)假设nk(kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由假设可知aak1(a1)2k1能被a2a1整除，而(a2a1)(a1)2k1也能被a2a1整除.故ak2(a1)2k1能被a2a1整除，即当nk1时命题也成立.由(1)(2)可知，对任意nN*原命题成立.11.求证：n棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)n(n3)(nN*
7、，n4).证明(1)当n4时，四棱柱有2个对角面，4(43)2，命题成立.(2)假设当nk(kN*，k4)时命题成立，即符合条件的棱柱的对角面个数是f(k)k(k3)，现在考虑当nk1时的情形，第k1条棱Ak1Bk1与其余和它不相邻的k2条棱分别增加了1个对角面，共(k2)个，而面A1B1BkAk变成了对角面，因此对角面的个数变为f(k)(k2)1k(k3)k1(k23k2k2)(k2)(k1)(k1)(k1)3，即f(k1)(k1)(k1)3.由(1)(2)可知，命题对任意n4，nN*都成立.12.是否存在常数a，b，c使得122232342n(n1)2(an2bnc)对一切nN都成立？证明
8、你的结论.解析此题可用归纳猜想证明来思考.假设存在a，b，c使题设的等式成立.令n1，得4(abc)；当n2时，22(4a2bc)；当n3时，709a3bc，联立得a3，b11，c10.当n1，2，3时，等式122232342n(n1)2成立.猜想等式对nN都成立，下面用数学归纳法来证明.当n1时，由以上知存在常数a，b，c使等式成立.记Sn122232n(n1)2，设当nk(k1，kN)时，上面等式成立，即有Sk.则当nk1时，Sk1Sk(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(k2)(3k5)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10，当nk1时，等式成立.综上所述，当a3，b11，c10时，题设的等式对nN均成立.
