1、高二数学四月周考试卷学校:_姓名：_班级：_考号：_一 单选题（本大题共8小题，每小题5分）1若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）ABCD 2点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的一条渐进方程是（ ）ABCD3已知是抛物线上一点，且到焦点的距离与到直线的距离之和为7，则（ ）A4B5C6D6.54已知坐标平面上的两点和，动点到A、两点距离之和为常数2，则动点的轨迹是（ ）A椭圆B双曲线C抛物线D线段5方程“表示双曲线”是“”的（ ）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6设双曲线：的左右焦点分别为，若为右支
2、上的一点，且，则（ ）ABC2D7若椭圆与椭圆只有两个公共点，则这两个椭圆的离心率之积为（ ）ABCD8已知抛物线，为坐标原点，为其焦点，准线与轴交点为，为抛物线上任意一点，则（ ）A有最小值B有最小值1C无最小值D最小值与有关二 多选题（本大题共4小题，每小题全对5分，答案不全2分，答错0分）9已知直线过点，且与双曲线仅有一个公共点，则直线的方程可能为（ ）ABCD10已知点在直线上，则圆锥曲线的离心率为（ ）ABCD11已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线右支上的点，若，且，则（ ）A离心率为B渐近线方程为C若，则的最小值为D若，则的最小值为12设，是抛物线上的两点，是坐标原点，下列结论成
3、立的是（ ）A直线过定点B到直线的距离不大于1C线段中点的轨迹为抛物线D三 填空题（本大题共4小题，每小题5分）13已知双曲线：，若直线交该双曲线于两点，且线段的中点为点,则直线的斜率为 _14抛物线C：x22py，其焦点到准线l的距离为4，则准线l被圆x2y26x0截得的弦长为_15若是椭圆的两个焦点，是该椭圆上的一个动点，则的最大值是_.16已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆的下顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为_四 解答题（本大题共6小题，共70分）17（10分）已知p：方程表示椭圆；q：双曲线的离心率若p和q同时是真命题，求m的取值范围；若p，q有且只有一个是真命题，
4、求m的取值范围18（12分）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(4，0)，实轴长为4.（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：ykx2与双曲线C的左支交于A，B两点，求k的取值范围19（12分）已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂线，垂足恰好为抛物线的焦点，且（）求抛物线的方程；（）设与轴的交点为，过轴上的一个定点的直线与抛物线交于两点记直线的斜率分别为，若，求直线的方程.20（12分）椭圆（）的左右焦点分别为，其中，为原点椭圆上任意一点到，距离之和为（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）过点的斜率为2的直线交椭圆于、两点求的面积21（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆：
5、的右焦点重合（）求抛物线C的方程及其准线方程；（）记，若抛物线C上存在两点B，D，使为以P为顶点的等腰三角形，求直线的斜率的取值范围22（12分）已知椭圆（）的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，A在第一象限，且.（1）求椭圆的方程；（2）若过点的任一直线与椭圆交于两点、.证明：在轴上存在点，使得为定值.试卷第3页，总4页参考答案1A【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，以及正三角形的性质求得也即椭圆的离心率.【详解】不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点依题意可知，BF1F2是正三角形在RtOBF2中，|OF2|c，|BF2|a，OF2B60，即
6、椭圆的离心率.故选：A2C【分析】由双曲线的定义，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，因为，由双曲线的定义，可得，解得，所以双曲线的一条渐进方程是，即.所以双曲线的一条渐进方程是.故选：C.3C【分析】设的横坐标为，由题可得，解出即可得出所求.【详解】设的横坐标为，因为到焦点的距离与到直线的距离之和为7，所以，解得，从而.故选：C.4D【分析】依题意得到，即判断动点在线段上运动，即得结果.【详解】由题意可知，与的距离为，而动点到A、两点距离之和为常数2，即，故动点在线段上运动，即动点的轨迹是线段.故选：D.5A【分析】根据双曲线
7、的标准方程以及充分不必要条件的概念分析可得结果.【详解】若方程表示双曲线，则；若，当时，化为不表示双曲线，所以方程“表示双曲线”是“”的充分非必要条件.故选：A6A【分析】利用双曲线的定义以及勾股定理求出和，在直角三角形中可求得结果.【详解】易知，则，.因为为右支上的一点，所以.因为，所以，则，解得，所以，故.故选：A【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义以及勾股定理求出和是解题关键.7B【分析】根据题意可得当的长轴端点恰为的短轴端点时，两个椭圆有两个公共点，从而求出，再由离心率即可求解.【详解】由题意可知，当的长轴端点恰为的短轴端点时，两个椭圆只有两个公共点，则，故这两个椭圆的离心率之积为故选
8、：B8A【分析】过点作垂直于准线交准线于，不妨设，故，得到答案.【详解】过点作垂直于准线交准线于，不妨设，故，当时等号成立，此时有最小值.故选：A.【点睛】本题考查了抛物线中线段长度比值的最值，计算是解题的关键.9ACD【分析】由于恰好为双曲线的一个顶点，所以过且斜率不存在的直线满足，过与渐近线平行的直线也满足条件【详解】解：双曲线的渐近线方程为，因为点为双曲线的一个顶点，所以过点，且与双曲线仅有一个公共点的直线为，或，或，即满足的直线可以为，或，故选：ACD10AC【分析】将点的坐标代入直线方程，求得的值，进而求离心率.【详解】在直线上，所以,即,解得或,当时，圆锥曲线,为中心在原点，焦点在
9、轴上的椭圆，离心率,当时，圆锥曲线,为中心在原点，焦点在轴上的椭圆，,故选:AC.【点睛】本题考查由椭圆的标准方程求离心率，属基础题.或得离心率为.11AC【分析】由的边长结合双曲线的定义求得离心率，可得渐近线方程，设求得后可判断CD【详解】，且，又，所以，由双曲线定义得，所以，A正确；，B错误；设，则，的最小值为，C正确；的最小值是，D错故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率、渐近线方程考查双曲线中的最值求离心率、渐近线方程关键是列出关于的齐次等式，然后利用可得或设是双曲线右支上，左右焦点分别为，则当是右顶点时，12BCD【分析】设方程为，可得，利用可求出，得出定点，判断A；
10、利用点到直线距离公式可求出距离范围判断B；利用中点坐标关系表示出中点坐标，消去可得轨迹，判断C；利用，结合基本不等式可求判断D.【详解】由题可知，直线AB的斜率存在且不过原点，设方程为，联立直线与抛物线方程，可得，则，解得（舍去）或，则直线AB方程为，恒过定点，故A错误；点到直线的距离，故B正确；设线段中点坐标为，则，消去可得，故线段中点的轨迹为抛物线，故C正确；，则，当且仅当，即时等号成立，故D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题
11、或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.13【解析】设，则 .【点睛】本题采用的是点差法求直线低斜率，即设出弦的两个端点的坐标，这两个端点的坐标满足双曲线方程，把这两个端点坐标代入到双曲线方程，将所得的两个式子作差.14【分析】求出准线方程以及圆心、半径，得出圆心到直线的距离，从而求出弦长为.【详解】首先求得准线l的方程为，x2y26x0，圆心到准线的距离为 故弦长为故答案为：154【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式进行求解即可.【详解】由椭圆方程可知，因为是该椭圆上的一个动点，所以，因此由基本不等式可得；（当且仅当时，取等号）.故答案为：4【点睛】本题考查了椭圆定义的理解，考查了基
12、本不等式的应用，属于基础题.16【分析】由题意结合椭圆定义可得，在中，由余弦定理可得，再利用二倍角的余弦公式可得，从而求出椭圆的离心率.【详解】如图，点在椭圆上，所以，由，代入上式得，在，又，所以，即故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出，从而求出；构造的齐次式，求出；采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；根据圆锥曲线的统一定义求解17（1）；（2）或【分析】（1）求出命题为真命题的等价条件，结合是真命题，则同时为真命题，进行计算即可（2）若是真命题，是假命题，则一个为真命题，一个为假命题，进
13、行计算即可【详解】解：方程表示椭圆；则，则，得，得或，即p：或；双曲线的离心率则，得，则，即，则q：，若是真命题，则，都是真命题，则，得若是真命题，是假命题，则，一个为真命题，一个为假命题，若真假，则，得，若假真，则，此时，综上：或【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键18（1）；（2）.【分析】（1）根据双曲线的焦点坐标公式、实轴长公式，以及之间的关系进行求解即可；（2）直线l与双曲线C的方程联立，根据一元二次方程的判别式、根与系数的关系进行求解即可.【详解】（1）设双曲线C的方程为 (a0，b0)由已知得，a2，c4，再由a2b2c2，得b2
14、4，所以双曲线C的方程为.（2）设A(xA，yA)，B(xB，yB)，将ykx2与联立，得(13k2)x212kx360.由题意可得：，解不等式，得k1.所以当k1时，l与双曲线的左支有两个交点所以k的取值范围为19（）；（）.【分析】（）可得，代入方程求解即可；（）设直线的方程为，和抛物线的方程联立消元可得，然后利用，求解即可.【详解】（）由题意，代入，得，抛物线的方程为.（）当直线的斜率不存在时，与题意不符，所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为代入到中，设，则，所以直线的方程为20（1），；（2）【分析】（1）根据题意和椭圆的定义可知，再根据，即可求出，由此即可求出椭圆的方程和离心率；（
15、2）求出直线的方程，将其与椭圆方程联立，设，求出，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再根据面积公式即可求出结果.【详解】（1）由题意，所以椭圆的标准方程为，离心率为；（2）直线的方程为，代入椭圆方程得设，则，又点到直线的距离即的面积为.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了圆锥曲线中弦长公式的应用.21（）方程为，准线为；（）【分析】（）由椭圆方程可得其右焦点为，即可求出，得出抛物线方程和准线；（）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，可得，表示出中点，由题可得，由建立关系可求.【详解】（）由椭圆方程可得其右焦点为，抛物线与椭圆右焦点重合，即，故抛物线C的方程为，
16、准线为；（）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，可得，则，可得，设，设中点为，则，为以P为顶点的等腰三角形，则，则，整理可得，则，解得或，故直线的斜率的取值范围为.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.22（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率可得，联立直线与椭圆可得，再由即可求出，得出方程；（2）直线不与轴重合时，设，联立直线与椭圆方程，设，利用韦达定理可得，再由可求出.【详解】解：（1）由得，设椭圆方程为，联立方程组得.则，所以.所以.所以椭圆的方程为.（2）证明：当直线不与轴重合时，设，联立方程组得.设，则有，.于是，若为定值，则有，得，.此时；当直线与轴重合时，也有.综上，存在点，满足.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为形式；（5）代入韦达定理求解.答案第17页，总17页
