1、第21课时平面向量的正交分解及坐标表示、坐标运算对应学生用书P61知识点一平面向量的坐标表示1给出下列几种说法：相等向量的坐标相同；平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；一个坐标对应唯一的一个向量；平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应其中正确说法的个数是()A1 B2 C3 D4答案C解析由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故错误2如果用i，j分别表示x轴和y轴方向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则可以表示为()A2i3j B4i2jC2ij D2ij答案C解析记O为坐标原点，则2i3j，4i2j，所以2ij知识点二平面向量的坐标运算3在平行四边
2、形ABCD中，AC为一条对角线若(2，4)，(1，3)，则等于()A(2，4) B(3，5)C(3，5) D(2，4)答案B解析，(1，1)，(3，5)，故选B4设a(1，2)，b(1，1)，c(3，2)，用a，b作基底，可将向量c表示为cpaqb，则()Ap4，q1 Bp1，q4Cp0，q4 Dp1，q4答案B解析(3，2)p(1，2)q(1，1)(pq，2pq)，得5平面内给定三个向量a(6，1)，b(2，3)，c(2，2)(1)求a2bc；(2)是否存在实数，使得cab?解(1)a2bc(6，1)2(2，3)(2，2)(0，5)(2)假设存在实数，使得cab，则(2，2)(6，1)(2，
3、3)即存在实数满足等式知识点三向量坐标运算的应用6已知A(7，1)，B(1，4)，直线yax与线段AB交于C，且2，则实数a等于()A2 B1 C D答案A解析设C(x0，y0)，则y0ax0x07，ax01，1x0，4ax0，2，7设i，j是平面直角坐标系内分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，且4i2j，3i4j，则OAB的面积等于()A15 B10 C75 D5答案D解析由题意可知A(4，2)，B(3，4)，|2，|5，i2j，|，|2|2|2，所以25故选D8在ABC中，已知A(2，3)，B(6，4)，G(4，1)是中线AD上一点，且|2|，那么点C的坐标为()A(4，2) B(4，
4、2)C(4，2) D(4，2)答案C解析由题意，知点G是ABC的重心，设C(x，y)，则有解得故C(4，2)9已知ABC中，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求解因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，所以(4，3)，(3，5)又因为D是BC的中点，有()(35，4)，而M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点故有(175，2)10如图，已知p，q，r，且2(1)试用p，q表示r；(2)若A，B，求点C的坐标解(1)()，rpq(2)设C(x，y)，(1，1)，x，y，2，得C(2，2)对应学生用书P62一、选
5、择题1若向量a(x2，3)与向量b(1，y2)相等，则()Ax1，y3 Bx3，y1Cx1，y5 Dx5，y1答案B解析由题意，知解得2已知a(5，2)，b(4，3)，c(x，y)，若a2b3c0，则c等于()A BC D答案D解析c(2ba)ba，(x，y)(4，3)(5，2)故选D3已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，1)，B(1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为()A(7，6) B(7，6)C(6，7) D(7，6)答案D解析设D(x，y)，由，得(x5，y1)(2，5)，x7，y64已知向量集合Ma|a(1，2)(3，4)，R，Na|a(2，2)(4，5)，R，则MN等于(
6、)A(1，2) B(1，2)，(2，2)C(2，2) D答案C解析令(1，2)1(3，4)(2，2)2(4，5)，即(131，241)(242，252)，解得故M与N只有一个公共元素是(2，2)5平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3，1)，B(1，3)，若点C满足，其中，R且1，则点C的轨迹方程为()A3x2y110 B(x1)2(y2)25C2xy0 Dx2y50答案D解析设(x，y)，(3，1)，(1，3)，(x，y)(3，1)(1，3)，又1，x2y50，应选D二、填空题6已知A(2，3)，B(1，4)，且(sin，cos)，则_答案或解析(1，1)，(sin，cos)，sin且c
7、os，或或7设向量绕点O逆时针旋转得向量，且2(7，9)，且向量_答案，解析设(m，n)，则(n，m)，所以2(2mn，2nm)(7，9)，即解得因此，8已知点A(1，1)，B(1，3)，C(x，5)，若对于平面上任意一点O，都有(1)，R，则x_答案2解析取O(0，0)，由(1)，得(x，5)(1，1)(1)(1，3)，解得三、解答题9已知A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)和D(2，3)，以，为一组基底来表示解(1，3)，(2，4)，(3，5)，(4，2)，(5，1)，(3，5)(4，2)(5，1)(12，8)根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得mn，(12，8)m(1，3)
8、n(2，4)，即(12，8)(m2n，3m4n)，322210已知向量u(x，y)与向量v(y，2yx)的对应关系用vf(u)表示(1)证明：对任意向量a，b及常数m，n，恒有f(manb)mf(a)nf(b)成立；(2)设a(1，1)，b(1，0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；(3)求使f(c)(p，q)(p，q是常数)的向量c的坐标解(1)证明：设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则manb(ma1nb1，ma2nb2)，f(manb)(ma2nb2，2ma22nb2ma1nb1)，mf(a)nf(b)m(a2，2a2a1)n(b2，2b2b1)(ma2nb2，2ma22nb2ma1nb1)，f(manb)mf(a)nf(b)成立(2)f(a)(1，211)(1，1)，f(b)(0，201)(0，1)(3)设c(x，y)，则f(c)(y，2yx)(p，q)，yp，2yxq，x2pq，即向量c(2pq，p)
