1、模块综合评估(二)一、选择题(每小题5分，共60分)1.(B)A12i B12i C12i D12i解析：12i.故选B.2下列说法正确的是(B)A22i B2(3i)2 C23i2i解析：本题主要考查复数的性质不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A，C，D；而B中(3i)292，故选B.3若复数z满足z(1i)1i(i是虚数单位)，则z的共轭复数(C)Ai Bi Ci D.i解析：本题主要考查复数的运算及共轭复数的概念因为z(1i)1i，所以zi，所以i.故选C.4函数f(x)exsinx的图象在点(0，f(0)处的切线的倾斜角(B)A0 B. C1 D.解析：本题主要考查导数的几何意义
2、函数f(x)exsinx的图象在点(0，f(0)处的切线的斜率kf(0)ex(sinxcosx)x01，所以倾斜角.故选B.5函数f(x)的导函数f(x)(B)A. B C. D解析：f(x).6用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程分为三步：则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；假设直线AC，BD是共面直线则正确的顺序为(B)A B C D解析：本题主要考查反证法的步骤反证法的步骤是：反设归谬结论结合本题，知选B.7由“边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为a”
3、可类比猜想：棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(B)A.a B.a C.a D.a解析：将正三角形分割成以三条边为底的三个三角形，利用三个三角形面积的和等于正三角形的面积即可求得正三角形内任一点到三边的距离之和类比可知，将正四面体分割成以各面为底的四个三棱锥，则四个三棱锥体积之和等于正四面体的体积，即可求得棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为a.故选B.8设复数z满足|z34i|z34i|，则复数z在复平面上对应的点的轨迹是(C)A圆 B半圆 C直线 D射线解析：复数z满足|z34i|z34i|，则复数z在复平面内对应的点是复平面内到点(3，4)，(3,4)的距离相等的点
4、，其轨迹为(3，4)，(3,4)两点连线的中垂线故选C.9设f(x)x(ax2bxc)(a0)在x1和x1处均有极值，则下列各点一定在y轴上的是(A)A(b，a) B(a，c) C(c，b) D(ab，c)解析：本题主要考查导数的应用f(x)3ax22bxc，由题意知1，1是方程3ax22bxc0的两根，则110，所以b0.故选A.10欧拉公式eixcosxisinx(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面内对应的点位于(B)
5、A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解析：e2icos2isin2，它在复平面内对应的点为(cos2，sin2)，由于2，因此cos20，故点(cos2，sin2)在第二象限11已知函数f(x)(xR)满足f(2)3，且f(x)在R上的导数满足f(x)10，则不等式f(x2)x21的解集为(C)A(，) B(，)C(，)(，) D(，)解析：本题主要考查导数的应用令g(x)f(x)x，则g(x)f(x)10，g(x)在R上单调递减由f(x2)x21，得f(x2)x21，即g(x2)1.又g(2)f(2)21，g(x2)2，解得x或x0(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等
6、式中成立的是(A)A.ff B.f2f Df(0)f解析：令g(x)，x，则g(x).因为f(x)cosxf(x)sinx0在上恒成立，所以g(x)0在上恒成立，所以g(x)在上单调递增，所以gg，即，所以ff.故选A.二、填空题(每小题5分，共20分)13曲线ycosx在x处的切线方程是xy10.解析：由题意知ysinx，所以切线的斜率ky|x1.易知切点为，所以切线方程为xy10.14复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3i)z2(13i)，|z1|，则z11i或1i.解析：本题主要考查复数的运算与几何意义设z1abi，则z2abi，z1(3i)z2(13i)，且|z1
7、|，解得或，z11i或1i.15观察下列各式：(1)(x2)2x；(2)(x4)4x3；(3)(cosx)sinx.根据以上事实，由归纳推理可得，若定义在R上的偶函数f(x)的导函数为g(x)，则g(0)0.解析：在(x2)2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；在(x4)4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；在(cosx)sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数我们可以推测，偶函数的导函数为奇函数若定义在R上的函数f(x)为偶函数，g(x)为f(x)的导函数，则g(x)为奇函数，故g(x)g(x)0，即g(0)g(0)，g(0)0.16若函数f(x)3ax2与g(x)2lnx的图象上存
8、在关于x轴对称的点，则实数a的最小值是.解析：由题意可得f(x)g(x)在上有解，即3ax22lnx在上有解，整理可得a在上有解令h(x)，则h(x)，易知h(x)在上单调递增，又h0，则h(x)minh(1)，所以实数a的最小值是.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17(10分)已知复数z1满足z1i1i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2.(1)求z1；(2)若z1z2是纯虚数，求z2.解：(1)因为z1i1i，所以z11i.(2)因为z2的虚部为2，所以设z2m2i(mR)因为z1z2(1i)(m2i)(m2)(2m)i为纯虚数，所以m20，且2m0，解得m2
9、.所以z222i.18(12分)(1)求证：当a2时，2；(2)证明：2，5不可能是同一个等差数列中的三项证明：(1)要证2，只需证()2(2)2，即证2a24a，即证a，只需证()2a2，即证a24a2，显然成立，所以0，i为虚数单位)，且z为纯虚数(1)求函数实数a的值；(2)若z，求|z|.解：(1)z(2ai)24a24ai，因为z为纯虚数，所以解得a2.(2)由(1)得z122i，则z2i，|z|2.20(12分)已知函数f(x)xlnxx.(1)求f(x)的图象在x1处的切线方程并求函数f(x)的单调区间；(2)求证：exf(x)解：(1)由题得f(x)lnx2，f(1)2，又f(
10、1)1，所求切线方程为y2x1.令f(x)0，解得xe2，令f(x)0，解得0x0.g(x)ex，易知g(x)在(0，)上单调递增，且g(1)e10，ge20，存在唯一的t，且t1，使得g(t)et0，即et，g(x)在(0，t)上单调递减，在(t，)上单调递增，g(x)g(t)etlnt2ln2t2220，当且仅当t1时等号成立，又t0，即exf(x)21(12分)已知函数f(x)x22cosx，x0，)(1)求f(x)的最小值；(2)证明：当x0时，ex1sinxcosx1.解：(1)f(x)2(xsinx)设g(x)xsinx，则g(x)1cosx，当x0时，g(x)0，即g(x)为增函
11、数，则f(x)2g(x)2g(0)0，所以f(x)在0，)上是增函数，因此f(x)minf(0)2.(2)证明：由(1)得，当x0时，f(x)0，即sinxx.又f(x)2，即1cosx，所以sinxcosx1x.证明xex1成立即可证明原不等式成立令h(x)exx1，则h(x)exx1，令m(x)exx1，则m(x)ex1，当x0时，ex10，所以h(x)是增函数，即h(x)h(0)0，所以h(x)是增函数，即h(x)h(0)0，可得exx10，即ex1x，所以原不等式成立22(12分)已知函数f(x)x22x2lnx.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在em，)(mZ)上有零点，求m的最大值解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)f(x)x2，当f(x)0时，x(2，)；当f(x)0，y极小f(2)ln20.当x0且x0时f(x)0，故f(x)在定义域上存在唯一零点x0，且x0.若m0，则em1，em，)，此区间内不存在零点，舍去，故m0，又f(x)在上单调递增，此区间不存在零点，舍去当m2时，x，f0，故x0.综上，m的最大值为2.
