1、高三数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集，集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 2直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）ABCD3已知等比数列的公比为2，前4项的和是3，则前8项的和为（ ）A48B51C54D574. 若两个非零向量、满足，则与夹角为（ ）A. B. C. D. 5. 已知，直线，且，则的最小值为（ ）A. 1B. 2C. D. 6. 攒尖是古代中国建筑中屋顶一种结构形式宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖也有单檐和重檐之分多见于亭阁式建筑，园林建
2、筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（ ）A. B. C. D. 7. 已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 8若对任意的，且，都有，则的最小值是（ ）（注：为自然对数的底数）ABC1D二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列说法正确的是（ ）A. 已知直线l平面，直线m平面，则“”是“lm”的必要不充分条件B. 若随机
3、变量服从正态分布N(1，)，P(4)0.79，则P(2)0.21C. 若随机变量服从二项分布，B(4，)，则E(23)5D. 甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件M为“4个人去的景点各不相同”，事件N为“甲不去其中的A景点”，则P(MN)10已知函数，且对于都有成立.现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）AB函数相邻的对称轴距离为C函数是奇函数D函数在区间上单调递增11. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点则下列结论正确的是（ ）A
4、. 直线DB1与平面AEF垂直B. 直线A1G与平面AEF平行C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为D. 三棱锥A1AEF的体积等于12. 在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；第次得到数列1，2；记，数列的前项为，则（ ）A. B. C. D. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数_14三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n种方法，则展开式的常数项为
5、_.(用数字作答)15点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是_16已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为2的等边三角形，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为_.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在数列an为等差数列，且a3a718；数列an为等比数列，且a2a664，a2a3512，若存在，求出相应的正整数k的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（1）求的值；（2）若点D为边的中点，求的值19. 2021年秋，某市突发新冠疫情，随后经过各方
6、的不懈努力，疫情得到全面控制，全市开始有序复工复产复学该市某校高三年级为做好复学准备，对本年级的所有学生进行了问卷调查，其中一项为调查学生作业中的错题数量，为方便统计，现将调查结果分成了5组：、50，60，并得到如下频率分布直方图：（1）请根据以上信息，求的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；（2）为做进一步的了解，需从每组中抽取若干人进行电话专访已知错题数在和的学生中利用分层抽样的方式共抽取了5人，再从5人中随机抽取3人进行电话专访，错题数在的回答3个问题，错题数在的回答5个问题，各个问题均不相同用表示抽取的3名学生回答问题的总个数，求的概率20. 在四棱锥中，平面ABCD，底面A
7、BCD是直角梯形，其中，E为BC的中点，设Q为PC上一点.（1）求证：；（2）若直线EQ与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角的余弦值.21抛物线：的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，弦的最小值为2.（1）求抛物线E的标准方程；（2）设点Q是直线上的任意一点，过点的直线l与抛物线E交于A，B两点，记直线AQ，BQ，PQ的斜率分别为，证明：为定值.22已知函数，.（1）求函数在处的切线方程；（2）是否存在正数，使得对任意恒成立？证明你的结论.（3）求在上零点的个数.高三数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全
8、集，集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C2直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）ABCD【答案】B3已知等比数列的公比为2，前4项的和是3，则前8项的和为（ ）A48B51C54D57【答案】B4. 若两个非零向量、满足，则与夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D5. 已知，直线，且，则的最小值为（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】A6. 攒尖是古代中国建筑中屋顶一种结构形式宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖也有单檐和重檐之分多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥若此正四棱
9、锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（ ）A. B. C. D. 【答案】D7. 已知，是双曲线的两个焦点，以线段为边作正三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D8若对任意的，且，都有，则的最小值是（ ）（注：为自然对数的底数）ABC1D【答案】A【解析】由题意知，可得，则等价于，即，所以，所以，令，可得，又由，所以在上是减函数，所以，解得，则，即的最小值为.故选：A.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9下列说法正确的
10、是（ ）A. 已知直线l平面，直线m平面，则“”是“lm”的必要不充分条件B. 若随机变量服从正态分布N(1，)，P(4)0.79，则P(2)0.21C. 若随机变量服从二项分布，B(4，)，则E(23)5D. 甲、乙、丙、丁4个人到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件M为“4个人去的景点各不相同”，事件N为“甲不去其中的A景点”，则P(MN)【答案】BC【解析】已知直线l平面，直线m平面，当时，一定有lm；当lm时，有可能平行，也有可能相交，则“”是“lm”的充分不必要条件，所以选项A错误；由题得P(2)P(4)1P(4)0.21，所以选项B正确；若随机变量服从二项分布，(4，)，则()1
11、，所以(23)2()35，所以选项C正确；由题得(MN)，所以选项D错误故选：BC10已知函数，且对于都有成立.现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）AB函数相邻的对称轴距离为C函数是奇函数D函数在区间上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】依题设条件，可得函数的周期，所以，通过平移变换可得，利用正弦型函数的性质依次分析四个选项，即得解【详解】因为对于都有成立，所以，所以对于都成立，可得的周期，所以，所以，将函数的图象向右平移个单位长度，可得，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得，对于选项A.，故选项A正确；
12、对于选项B：函数周期为，所以相邻的对称轴距离为，故选项B正确；对于选项C：是偶函数，故选项C错误；对于选项D：当时，所以函数在区间上单调递增，故选项D正确故选：ABD11. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点则下列结论正确的是（ ）A. 直线DB1与平面AEF垂直B. 直线A1G与平面AEF平行C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为D. 三棱锥A1AEF的体积等于【答案】BD【解析】【分析】对于A，B，利用空间向量判断，对于C，由题意可得截面为梯形，利用梯形面积公式求解即可，对于D，利用空间向量求出到平面的距离，然后利用体积公式求解即可
13、【详解】如图建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以与不垂直，所以直线DB1与平面AEF不垂直，所以A错误，对于B，设平面的法向量为，则，令，则，因为，所以，所以，因为A1G在平面AEF外，所以直线A1G与平面AEF平行，所以B正确，对于C，由题意可得截面为梯形，则，梯形的高为，所以截面的面积为，所以C错误，对于D，因为平面的法向量为，所以到平面的距离为，因为，所以，因为，所以，所以，所以三棱锥A1AEF的体积为，所以D正确，故选：BD12. 在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行
14、构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；第次得到数列1，2；记，数列的前项为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时第2次得到数列1,4,3,5,2，此时第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时第次得到数列1，2 此时所以，故A项正确；结合A项中列出数列可得： 用等比数列求和可得则 又 所以 ，故B项正确；由B
15、项分析可知即，故C项错误.，故D项正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数_【答案】【解析】【分析】应用复数的除法化简，再根据其为纯虚数可得，即可求参数.【详解】由题设，为纯虚数，可得.故答案为：.14三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n种方法，则展开式的常数项为_.(用数字作答)【答案】【解析】由题意，将三封信随机放入两个不同的信箱中，共有种方法，则二项式的展开式的通项为，令，解得，所以二项展开式的常数项为.故答案为：.15点为椭圆上一点，、分别是圆和上的动点，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据椭圆方
16、程，得到焦点，所以到两圆的圆心距离之和为，从而得到，最小值为，最大值为.【详解】椭圆，焦点，而圆和的圆心为，所以到两圆圆心的距离之和为，而、分别是圆和上的动点所以.所以的取值范围是.故答案为：.16已知三棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为2的等边三角形，球的表面积为，则三棱锥的体积的最大值为_.【答案】【解析】设球的半径为，则要使得三棱锥的体积的最大，需在过中心的垂直于平面的线上设点到平面的距离为，中心到点的距离为此时，即，解得或即三棱锥的体积的最大值为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17在数列an为等差数列，且a3a718；数列an为等比数
17、列，且a2a664，a2a3512，若存在，求出相应的正整数k的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】选择条件，（1）因为数列an为等差数列，则又因为a3a718，所以数列an的公差所以（2）由（1）可得当时，当时，当时，所以不存在正整数k8，9，10，使Sk512；选择条件，因为数列an为等比数列，则，又a2a664，所以，因为，又a11，则，设数列an的公比为q，则所以（2）由（1）可得当n=8时，当n=9时，当n=10时，所以不存在正整数k8，9，10，使Sk512，选择条件，当n=2时，即，当时，两
18、式相减可得，即，则，即，又，所以数列an是首项为1，公比为2的等比数列，则；（2）由（1）可得，当n=8时，当n=9时，当n=10时，则存在正整数k8，9，10，使Sk51218. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（1）求的值；（2）若点D为边的中点，求的值【答案】（1）4；（2）【分析】（1）由，带入余弦定理整理可得，所以，带入即可得解；（2）作边上的高，垂足为E，因为，所又，所以，因为点D为边的中点且，所以，再根据勾股定理即可得解.【详解】（1）因为，所以，即又，所以（2）如图，作边上的高，垂足为E，因为，所以又，所以因为点D为边的中点，所以在直角三角形中，所以在直角三角形
19、中，所以19. 2021年秋，某市突发新冠疫情，随后经过各方的不懈努力，疫情得到全面控制，全市开始有序复工复产复学该市某校高三年级为做好复学准备，对本年级的所有学生进行了问卷调查，其中一项为调查学生作业中的错题数量，为方便统计，现将调查结果分成了5组：、50，60，并得到如下频率分布直方图：（1）请根据以上信息，求的值，并求这组数据的中位数（结果保留两位小数）；（2）为做进一步的了解，需从每组中抽取若干人进行电话专访已知错题数在和的学生中利用分层抽样的方式共抽取了5人，再从5人中随机抽取3人进行电话专访，错题数在的回答3个问题，错题数在的回答5个问题，各个问题均不相同用表示抽取的3名学生回答问
20、题的总个数，求的概率【答案】（1），中位数为38.33； （2）.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积之和为1，即可求得；再根据中位数的求解方法，计算面积之和为时对应的值，即可求得中位数；（2）根据题意求得时，对应的抽取情况，利用古典概型的概率计算公式即可求得结果.【小问1详解】根据频率分布直方图可得，解得，因为，所以中位数位于之间，设中位数为，则，解得，故中位数为38.33；【小问2详解】因为50,60）和频率比为，按照分层抽样抽取5人，则中抽2人，中抽3人；因为从5人中随机抽取3人进行问卷调查，错题数在的回答5道题，错题数的回答3道题，回答题目总个数为13个，则从的
21、2人中抽2人，从的3人中抽1人，设的人为，设的3人为,则所有的抽取情况有如下种：其中满足题意的有如下种：则时的概率20. 在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中，E为BC的中点，设Q为PC上一点.（1）求证：；（2）若直线EQ与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面；（2）首先利用线面角求得点为的中点，再以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法求二面角的余弦值【详解】（1）由题意得四边形是正方形，又平面ABCD，又，平面PAC，（2）设，连接OQ，由（1）得：平
22、面PAC，为EQ与平面PAC所成的角， ，Q为PC的中点以A为原点，AE，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设平面AEQ的一个法向量为，令，易得平面ACQ的一个法向量为，二面角的余弦值为21抛物线：的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于M，N两点，弦的最小值为2.（1）求抛物线E的标准方程；（2）设点Q是直线上的任意一点，过点的直线l与抛物线E交于A，B两点，记直线AQ，BQ，PQ的斜率分别为，证明：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）对于，过焦点的弦最短时，弦垂直于轴，此时M，N两点的横坐标均为，代入可求得纵坐标分别为，则此时，所以，即抛物线方程
23、为.（2）证明：设，因为直线l的斜率显然不为0，故可设直线l的方程为，联立方程，消去得.所以且又所以（定值）.22已知函数，.（1）求函数在处的切线方程；（2）是否存在正数，使得对任意恒成立？证明你的结论.（3）求在上零点的个数.【答案】（1）；（2）存在正数，使得对任意恒成立；证明见解析；（3）个.【解析】（1），又，在处的切线方程为：，即；（2）令，则，当时，在上恒成立，在上单调递增，即在上恒成立；若，即，只需，又，则当时，成立；存在正数，使得对任意恒成立；（3）当时，在上无零点；当时，在上单调递增，使得，当时，单调递减；当时，单调递增；又，在和上各有一个零点；当时，在上单调递增，使得，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；，使得，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减， ，在上无零点；综上所述：在上的零点个数为个.
