1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。2空间向量与向量运算第1课时从平面向量到空间向量、空间向量的线性运算 必备知识自主学习1.空间向量的概念(1)在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量，空间向量的大小叫作空间向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作，其模记为|a|或|.(2)几类特殊的空间向量：名称定义及表示零向量长度为0的向量叫作零向量，记为0单位向量模为1的向量叫作单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，叫作a
2、的相反向量，记为a相等向量方向相同且模相等的向量叫作相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量共线向量(平行向量)当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，那么这两个向量互为共线向量(或平行向量)2.空间向量的加、减、数乘运算及其运算律空间向量的运算加法ab减法ab数乘当0时，a，当0时，a0，当0时，a线性运算的运算律(1)交换律：abba；(2)结合律：a(bc)(ab)c，(a)()a；(3)分配律：()aaa，(ab)ab(，R)空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法有没有区别？提示：没有区别3共线向量基本定理对任意两个空间向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在
3、实数，使ab.4共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量(2)充要条件：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb若对任意一点O和不共线的三点A，B，C，且xyz ，则xyz1是四点P，A，B，C共面的充要条件吗？为什么？提示：是因为P，A，B，C共面的充要条件是存在m，n使mn，即m()n() (1mn) mn.令x1mn，ym，zn.则xyz且xyz1.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同()(2)两个有公共终点的向量，一定是共线向量()(3)若表示两向量的有向线
4、段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量()(4)空间中方向相反的两个向量是相反向量()(5)若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD是平行四边形的充要条件()提示：(1).相等向量，起点相同，终点必相同(2).向量有公共终点，但起点不同，就可能不是共线向量(3).空间的所有向量都是自由的，可以平行移动，空间中的任意两个向量一定共面(4).相反向量不仅要求方向相反，而且模长必须相等(5).首先A，B，C，D不共线，而说明AB与CD平行且相等，于是四边形ABCD是平行四边形，反之亦成立，故为充要条件2在平行六面体ABCDA1B1C1D1顶点连线构成的向量中，与向量相等的向量共有
5、()A1个 B2个 C3个 D4个【解析】选C.与向量相等的向量有，共3个3空间中任意四个点A，B，C，D，则等于()A B C D【解析】选C.利用向量运算法则即可得出：.关键能力合作学习类型一空间向量的概念(数学抽象)1给出以下结论：空间中任意两个单位向量必相等；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的个数是()A1 B2 C3 D42在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，下列四对向量：与；与；与；与其中互为相反向量的有n对，则n等于()A.4 B3 C2 D13下列命题中正确的个数是()若
6、a与b共线，b与c共线，则a与c共线；向量a，b，c共面即它们所在的直线共面；若ab，则存在唯一的实数，使ab.A0 B1 C2 D3【解析】1.选B.因为两个单位向量，只有模相等，但方向不一定相同，故不正确；若空间向量a，b满足|a|b|，方向不确定，则不一定能判断出ab，故不正确；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有成立，故正确；显然正确2选C.对于与，与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于与长度相等，方向不相反；对于与长度相等，方向相同故互为相反向量的有2对3选A.中，b0时，则a与c不一定共线；中，由共面向量的定义：平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面
7、；中，当b0，a0时，不存在，故均错 空间向量与平面向量的一致性(1)在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致；(2)两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等；(3)两向量互为相反向量的充要条件是模相等，方向相反【补偿训练】如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为的所有向量；(3)试写出与向量相等的所有向量；(4)试写出向量的所有相反向量【解析】(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，,，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故
8、单位向量共有8个(2)由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，.(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.(4)向量的相反向量有，.类型二空间向量的线性运算(直观想象，数学运算)【典例】在如图所示的平行六面体中，求证：2.四步内容理解题意条件：平行六面体；平行四边形法则结论：2.思路探求将式子左边的向量都用从A点出发的向量代替，最后转化为对角线上的向量书写表达因为平行六面体的六个面均为平行四边形，所以，所以()()()2().又因为，所以.所以2.题后反思由于空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为同一个平面内的两个向量，因此空间向量也满足交换律、结合律，应用这些运算
9、律可以实现多个向量运算结果的化简 运用法则进行向量的线性运算的关键要素(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；(3)平行四边形法则：“起点重合”；(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”1已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，M，N分别是BC，CD的中点，如图所示，则()等于()A. BC. D【解析】选A.().2如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是()；A B C D【解析】选D.；类型三空间向量的共面(数学运算，逻辑推理)角度1 向量共线【典例】已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，
10、则一定共线的三点是()AA，B，D BA，B，CCB，C，D DA，C，D【思路导引】观察已知三个向量中a与b的系数，通过加减获得能够成倍数关系的向量【解析】选A.(a2b)(5a6b)(7a2b)3a6b，所以3，又直线AB，AD有公共点A，故A，B，D三点共线将条件中a2b改为akb，其他不变，增加条件“且A，C，D三点共线”，则实数k_.【解析】(akb)(5a6b)(7a2b)3a(k4)b，设，则3a(k4)b(7a2b)，所以，解得k.答案：角度2 向量共面【典例】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BMBD，ANAE.求
11、证：向量，共面【思路导引】可通过证明xy得结论【证明】因为点M在BD上，且BMBD，所以.同理.所以.又与不共线，所以向量，共面 证明空间向量共面的方法(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个不共线向量的线性组合，即若pxayb，则向量p，a，b共面(2)若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任一点O，有xyz，且xyz1成立，则P，A，B，C四点共面1设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知e1ke2，5e14e2，e12e2，且A，B，D三点共线，实数k_.【解析】(e1ke2)(5e14e2)(e12e2)7e1(k6)e2，设，则7e1(k6)e2(e1ke2)，所以解得k1.答
12、案：12已知向量a，b，c不共面，且p3a2bc，mabc，nabc，试判断p，m，n是否共面【解析】设pxmyn，即3a2bcx(abc)y(abc)(xy)a(xy)b(xy)c.因为a，b，c不共面，所以而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，即p，m，n不共面【补偿训练】已知A，B，C三点不共线，点O是平面ABC外的任意一点，若点P分别满足下列关系：(1)263；(2)4.试判断点P是否与点A，B，C共面【解析】方法一：(1)因为3323()(22)，所以32，即23.所以点P与点A，B，C共面(2)设xy(x，yR)，则xy4，所以x()y()4，所以(1xy4)(1x)(1y)0，
13、由题意知，均为非零向量，所以x，y满足：显然此方程组无解，故点P与点A，B，C不共面方法二：(1)由题意，因为1，所以点P与点A，B，C共面(2)因为4，而41121，所以点P与点A，B，C不共面课堂检测素养达标1下列说法正确的是()A如果两个空间向量不相等，那么它们的长度不相等B方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C空间向量模的大小与方向有关D空间向量的模可以比较大小【解析】选D.两个空间向量不相等，但它们的长度可能相等，A不正确任何两个空间向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B不正确空间向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确由于空间向量的模是一个实数，
14、故可以比较大小，只有D正确2如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2，给出以下结论：0；0；0.其中正确结论的个数是()A.0 B1 C2 D3【解析】选B.因为0.故正确，同理可得不正确3在平行六面体ABCDEFGH中，若x2y3z，则xyz等于()A. B C D1【解析】选C.，则x1，y，z，则xyz.4已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数，m，n，使mn0，那么mn的值为_.【解析】因为A，B，C三点共线，所以存在唯一实数k使k，即k()，所以(k1)k0.又mn0，令k1，m1，nk，则mn0.答案：05空间中把所有单位向量的起点移到同一点，则这些向量的终点组成的图形是_.【解析】单位向量的长度都相等，起点移到同一点，则终点在以单位长度为半径的球面上答案：球面关闭Word文档返回原板块
