1、第二节 排列组合 基础梳理排列与排列数 组合与组合数定义1.排列的概念：从n个不同的元素中取出m（mn）个元素,，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.排列数的概念：从n个不同元素中取出m（mn）个元素的 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示.3.n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，即 ，称为n的 ,通常用n!表示.1.组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合.2.组合数的概念：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符
2、号Cmn表示.按照一定的顺序排成一列所有排列的个数阶乘nnAnnA并成一组所有组合的个数典例分析题型一 排除法【例1】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有种.分析 逆向思考，“这3人中至少有1名女生”的否定为“这3人中没有女生”.解 全部方案有 种，减去只选派男生的方案数 ，合理的选派方案共有 -=186(种).37A37A34A34A学后反思 关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便.即用总的方案数减去“至少”的否定的方案数.同时要注意：“至少一个”的否定为“一个没有”;“至多一个”的否定为“至少两个”;“至少N个”的否定为“至多N
3、-1个”;“至多N个”的否定为“至少N+1个”.举一反三 1.(2009全国改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有种.答案：30 解析：间接法:(种).22244430CCC题型二 基本排列问题【例2】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种（用数字作答）.学后反思 解决某些特殊元素不能排在某些特殊位置的排列问题，主要方法是将这些特殊元素排在其他位置，或将其他非特殊元素排在这些特殊位置来进行解决.分析 先选甲、乙以外的人担任文娱委员，然后再选其他委员.解先从其余3人中
4、选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，=343=36(种).1234A A举一反三 2.（2008全国改编）如图，一环形花坛分成A,B,C,D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 .答案：84 解析：分三类：种两种花有2 种种法；种三种花有2 种种法；种四种花有 种种法.共有 +2 +=84（种）.24C34A44A24A34A44A题型三 有限制条件的排列【例3】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；（2）甲、乙两人必须排在两端；（3）男、女生分别排在
5、一起；（4）男女相间.分析 这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起.对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”（特殊元素先考虑）.解 （1）方法一（元素分析法）：先排甲有6种，其余有A88种，故共有6 =241 920(种)排法.方法二（位置分析法）：中间和两端有 种排法，包括甲在内的其余6人有 种排法，故共有 =336720=241920(种)排法.方法三（间接法）：-3 =6 =241920(种).（2）先排甲、乙，再排其余7人，共有 =10
6、080(种)排法.（3）（捆绑法）=5 760(种).（4）（插空法）先排4名男生有 (种)方法，再将5名女生插空，有A55种方法，故共有 =2 880（种)排法.88A38A66A3686AA99A88A88A2727A A245245A A A44A4545A A学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路.举一反三 3.(2007全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参
7、加，则不同的选派方法共有种.答案：60 解析：星期五有2人参加，则从5人中选2人的组合数为 ，星期六和星期天从剩余的3人中选2人进行排列，有 种，则共有 =60(种).25C23A2253CA题型四 基本组合问题【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1名参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可用间接法.（4）分类.解（1）第一步：选3名男运动员，有 种选法.第二步：选2名女运动员
8、，有 种选法.共有 =120(种)选法3（2）方法一：“至少有1名女运动员”包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.4 由分类加法计数原理可得总选法数为：(种).6 方法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”,故可用间接法求解.24C3466CC1423324146464646264C CC CC CC C36C从10人中任选5人有 种选法，其中全是男运动员的选法有 种.4 所以“至少有1名女运动员”的选法为 -=246(种).6(3)方法一(可分类求解):“只有男队长”的选法为 ;“只有女队长”的选法为 8“男、女队长都入选”的选法为 .所以共有2 +=196(
9、种)选法.10 方法二(间接法)：从10人中任选5人有 种选法.8 其中不选队长的方法有 种.所以“至少有1名队长”的选法 为 -=196(种)10 510C56C510C56C48C48C38C38C48C510C58C510C58C学后反思 解组合题时，常遇到至多、至少问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足.（4）当有女队长时，其他人选任意，共有 种选法.不选女队长时，必选男队长，共有 种选法.其中不含女运动员的选法有 种，所以不选女队长时的选法共有 -种选法13 所以既有队长又有女运动员的选法共有 +-=191(种)14 49C48
10、C45C48C45C49C48C45C举一反三 4.(2009辽宁改编)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有种.答案：70 解析：直接法：一男两女，有 =56=30(种);两男一女,有 =104=40(种)，共计70种.间接法：任意选取C39=84(种)，其中都是男医生 有 =10(种)，都是女医生有 =4(种)，于是符合条件的有84-10-4=70(种).1254C C2154C C35C34C易错警示【例】有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？错解分析 错解中没有考虑3个红色小球是完全
11、相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法.错解 因为是8个小球的全排列，所以共有 种方法.88A正解 8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题.这样共有 =56(种)排法.38C考点演练10.(2009湖北改编)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，求不同分法的种数.解析：用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 ,顺序有 种，而甲、乙被分在同一个班有A33种，所以不同分法有 (种).2334
12、3330C AA33A24C11.（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？解析：（1）从5本不同书中选出3本分别是送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同的送法的种数是 =543=60.(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学每人各1本书的不同方法种数是 555=125.35A12.某学习小组有8个同学，从男生中选2人，女生中选1人参加数学、物理、化学三种竞赛，要求每科均有1人参加，共有180种不同的选法，那么该小组中男、女同学各有多少人？解析：设男生有x人，则女生有8-x人，依题意，即 ，即(x-5)(x-6)(x+2)=0,，(舍去).故男生有5人，女生有3人，或男生有6人，女生有2人.21383180 xxCCA 1861802x xx 322542012600 xxxxx254120 xxx15x 26x 32x 3298600 xxx
