1、一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1复数的虚部是（ ）A1 B.-1 C.i D.-i【答案】A 【解析】试题分析：由题；，则它的虚部为：。考点：复数的运算及其概念.2在某项测量中，测量结果服从正态分布.若在（0，1）内取值的概率为0.3，则在（1，+）内取值的概率为（ ）A0.1 B0.2 C0.3 D0.4【答案】 B【解析】试题分析：由题，则=0即正态分布曲线的对称轴为0，则由对称性可得；。考点：正态分布的性质.3. 函数在点（x0，y0）处的切线方程为，则等于( ) A4 B2 C2 D4【答案】 D 【解析】 试题分析：由点（x0，y0）处的切线方程为，则，可得；，即
2、； 考点：导数的定义.4从如图所示的正方形OABC区域内任取一个点,则点M取自阴影部分的概率为（ ）xyOAC(1,1)BA B C D【答案】 B 【解析】试题分析：由题可运用定积分求阴影部分的面积即： ，则由几何概型可得； 考点：定积分求面积与几何概型.5已知命题使得命题，下列命题为真的（ ） A（ B C pq D 【答案】C 【解析】试题分析：命题使得为真。而命题，也为真。 由同真可知，pq为真。含“非”为假。考点：含有量词的命题及复合命题真假的判定。6用反证法证明命题“若则、全为0”（、），其反设正确的是( )A、至少有一个为0 B、至少有一个不为0 C、全不为0 D、中只有一个为0
3、 【答案】B 【解析】试题分析： 由题为反证法，原命题的结论为：“、全为0”。则反证法需假设结论的反面；“全都是”的反面为“至少有一个不为零”。考点：反证法的假设环节.7若，则 等于( )A-5B10C-10D5 【答案】 B【解析】试题分析：由观察先两边求导得； 可令得；，考点：二项式定理与导数及联想能力.8若关于的方程在上有根，则实数的取值范围是 ( )AB C D【答案】 【解析】A试题分析：令，求导，在上则函数的减区间为，增区间为， ，方程在上有根，即；。考点：函数的零点与导数及求参数的取值范围.9. 如图所示，连结棱长为2的正方体各面的中心得一个多面体容器，从顶点处向该容器内注水，注
4、满为止.已知顶点到水面的高度以每秒1匀速上升，记该容器内水的体积与时间的函数关系是，则函数的导函数的图像大致是 （ ）【答案】D 【解析】试题分析：由多面体容器，可发现具有对称性，且下半部分是下小上大，（上半部分反之）；水的上升高度是均匀的（每秒1匀速），而体积下半部分是下小上大，导数反映了体积随时间变化的快和慢，分析可知，体积的变化是先缓慢，后变化越来越快。则为图D.考点：导数的含义。10. 定义在上的函数满足，则对任意的， 是的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】考点：函数性质与充要条件的判定。11、在上的可导函数，当取得极
5、大值，当取得极小值，则的取值范围是（ ）A、 B、 C、 D、【答案】 A 【解析】 试题分析：由：，求导，取得极大值，当取得极小值，可得；，然后可借助线性规划的知识，作出可行域，求的取值范围，可看作可行域中的点与定点（1,2）所有直线斜率的变化范围， 由图可得，两个边界点（-1,0），（-3,1）可得它的范围为；。考点：导数与极值及线性规划的应用.12. 下列命题中正确的有( )若,则函数在取得极值；直线与函数的图像不相切；若（为复数集），且的最小值是；定积分A. B. C. D.【答案】 D 【解析】试题分析：由导数的图像，是该点处有极值的必要条件，反例如；。错。，求导为；，正确。 由题可
6、得；即在圆上，而的最小值为正确。由定积分的几何意义， 此图形的面积为；正确。考点：导数的应用及定积分和复数的几何意义。二、填空题（每小题5分，共20分）13、已知函数，若成立，则_.【答案】 或 【解析】试题分析：由题先求定积分即： ，考点：定积分运算与二次方程.14、若三角形的内切圆半径为，三边的长分别为则三角形的面积，根据类比思想，若四面体的内切球半径为，四个面的面积分别为则此四面体的体积V _.【答案】 【解析】试题分析：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和故为：.考点：类比推理.15、已知，若、
7、三向量共面，则实数等于_.【答案】 【解析】试题分析：由、三向量共面得；考点：向量共面的性质及方程思想.16. 已知若使得成立，则实数a的取值范围是 .【答案】 【解析】.试题分析：由：，分别求导，求极值得； ，而若使得成立，等价于：考点：存在性问题与极值思想.三简答题(共70分)17、（本小题满分10分）有甲、乙、丙、丁、戊位同学，求：（1）位同学站成一排，有多少种不同的方法？（2）位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有多少种不同的方法？（3）将位同学分配到三个班，每班至少一人，共有多少种不同的分配方法？【答案】 (1) 120 (2) 24 (3) 150 【解析】考点：（1）
8、排列中的“捆绑法”和“插空法”. （2）分配问题中的分类思想及分组问题。18（本小题满分12分）已知数列，（1）求，的值，并猜想的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】(1) (2) 见解析【解析】试题分析：（1）由题可由所给的递推公式，由代入可分别求，的值，再观察可猜想出的通项公式； （2）由题需通过数学归纳法进行证明，分两步进行。1.归纳奠基。2.归纳递推。而证出。（注意由当n=K时成立，到n=K+1时需增加的项，和证明的目标。）试题解析：（1），且， ， ； 由此猜想 （2）用数学归纳法进行证明如下： 当时，满足要求，猜想成立； 假设时，猜想成立，即, 那么当时， 这就表明当
9、时， 猜想成立， 根据可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即.考点：（1）公式的应用及观察猜想能力。 （2）数学归纳法的证明。19. （本小题满分12分）已知在时有极大值6，在时有极小值，（1）求的值；（2）求在区间3，3上的最大值和最小值.【答案】(1) （2）见解析【解析】试题分析：(1)由极值点和，可得，又知极大值为6，得；可分别建立关于的方程组，求解可得；（2）由题为给定区间上的最值，可按求函数最值的步骤，先求导，再令导数为零求解，然后列表格确定极大和极小值，最后极值与区间的端点值比较，最大为最大值，最小为最小值。试题解析：（1）由条件知 （2）x3(3,2)2(2,1)1(1,3)3
10、006由上表知，在区间3，3上，当时，时， 考点：1.极值与导数及方程思想； 2.运用导数求函数的最值；20. （本小题满分12分）某同学参加高校自主招生门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为（）求该生至少有门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；（）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望【答案】(1) ， （2）见解析【解析】试题分析：（1）由题为计算相互独立事件同时发生的概率，结合给出的分布列（该生取得优秀成绩的课程数），可分别建立关于p，q的两个方程，可解出；
11、（2）由（1）和给出的分布列的部分值，只需求出取值为1,2的概率（相互独立事件的概率）补全分布列，代入期望公式可得。试题解析：用表示“该生第门课程取得优秀成绩”， =1，2，3由题意得， （）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为 及，解得， 。（）由题设知的可能取值为0，1，2，3 ， ， 0123该生取得优秀成绩的课程门数的期望为 考点： （1）相互独立事件的概率和方程思想。 （2）随机变量分布列及期望的运用。21. （本小题满分12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每
12、年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值【答案】(1) k40， f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10) (2) x5时最小值为f(5)=70 【解析】试题分析：（1）由C(x)，可先求出k的值（C(0)8），然后根据题意；f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，即6x（隔热层建造费用）+20（20年的能源消耗费）；（2）由（1）已知函数
13、解析式，可转化为求函数的最值，可运用导数可求出最值。（注意定义域）试题解析：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)，而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10)(2)f (x)6，令f (x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f (x)0， 当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元考点：（1）数学阅读及函数建模能力。 （2）运用导数求函数的最值。22. (本
14、小题满分12分)已知函数（1）若，求曲线在点（1，）处的切线方程；（2）若函数在1，2上是减函数，求实数a的取值范围；（3）令，是否存在实数a，当（e是自然对数的底数）时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【答案】(1) (2) （3）存在实数【解析】试题分析：（1）由题已知，求函数在点（1，）处的切线方程，可先求导数，再求出该点处的导数值（为斜率），然后代入点斜式方程可得；（2）由题给出了函数单调区间，可先求导数转化为在在1，2上，恒成立， 可借助二次函数的单调性解决；（3）为存在性问题，可先假设存在，然后由假设出发进行推算，注意对a进行分类讨论，若推出存在的值，则假设
15、成立。试题解析：(1)当时， ，所以，又， 所以曲线在点（1，）处的切线方程为 （2）因为函数在1,2上是减函数，所以在1,2上恒成立 令,有，得 ，故 （3）假设存在实数a，使有最小值3， 时，所以在上单调递减， （舍去）当时，在上恒成立， 所以在上单调递减，（舍去）当时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增 所以，满足条件综上，存在实数，使得时，有最小值3 考点：（1）运用导数求切线方程。 （2）导数与单调性。 （3）存在性问题及推理能力。铅山一中20152016学年度下学期期中考试高二数学（理）试卷答案一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确每小题5分，共60分）1A 2B
16、3. D 4B 5 C 6 B 7B 8 A 9. D 10. C 11、A 12.D 二、填空题（每小题5分，共20分）13、或 14、 15、 16. .三简答题(共70分)17、解(1)120 3分(2) 位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻故有6分(3)人数分配方式有有种方法 有种方法所以，所有方法总数为种方法 10分18解：（1），且， ， ； 3分由此猜想 6分（2）用数学归纳法进行证明如下： 当时，满足要求，猜想成立； 7分 假设时，猜想成立，即, 8分 那么当时， 这就表明当时，猜想成立， 11分根据可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即.12分19. （1）由条件知
17、 .4分 （2）x3(3,2)2(2,1)1(1,3)300.Com6由上表知，在区间3，3上，当时，时，.12分20.解：用表示“该生第门课程取得优秀成绩”， =1，2，3由题意得，2分（）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为 及4分解得，6分（）由题设知的可能取值为0，1，2，37分， ，10分0123该生取得优秀成绩的课程门数的期望为12分21.解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)，再由C(0)8，得k40，因此C(x)，而建造费用为C1(x)6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20C(x)C1(x)206x6x(0x10).5
18、分(2)f (x)6，令f (x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f (x)0， 当5x0，故x5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)6570.当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元.12分22. 解：(1)当时， 1分所以，又，2分所以曲线在点（1，）处的切线方程为3分 （2）因为函数在1,2上是减函数，所以在1,2上恒成立 4分令,有，得 6分故7分（3）假设存在实数a，使有最小值3， 时，所以在上单调递减， （舍去）当时，在上恒成立， 所以在上单调递减，（舍去）10分当时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增 所以，满足条件11分综上，存在实数，使得时，有最小值312分
