1、第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1命题及其关系(1)理解命题的概念(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系2充分条件与必要条件理解必要条件、充分条件与充要条件的意义知识点一命题、四种命题及相互关系1命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及相互关系3四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系易误提醒易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只
2、否定命题的结论必备方法由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假自测练习1命题“若x23x40，则x4”的逆否命题及其真假性为()A“若x4，则x23x40”为真命题B“若x4，则x23x40”为真命题C“若x4，则x23x40”为假命题D“若x4，则x23x40”为假命题解析：根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x23x40，所以x4或1，故选C.答案：C知识点二充要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件易误提醒注意区别A是B的充分不必要条件(AB且BA)；与A的充
3、分不必要条件是B(BA且AB)两者的不同必备方法充分条件与必要条件判定的三种方法1定义法：(1)若pq，则p是q的充分条件；(2)若qp，则p是q的必要条件；(3)若pq且qp，则p是q的充要条件；(4)若pq且q / p，则p是q的充分不必要条件；(5)若p / q且qp，则p是q的必要不充分条件；(6)若p / q且q / p，则p是q的既不充分也不必要条件2利用集合间的包含关系判断：记条件p，q对应的集合分别是A，B，则(1)若AB，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，或q是p的必要不充分条件；(3)若AB，则p是q的充要条件；(4)若AB，且A
4、B，则p是q的既不充分也不必要条件3等价法：利用pq与綈q綈p，qp与綈p綈q，pq与綈q綈p的等价关系自测练习2“(2x1)x0”是“x0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：由(2x1)x0可得x或0，所以“x或0”是“x0”的必要不充分条件答案：B3已知条件p：x1，条件q：1得1；反过来，由1，即綈p是q的充分不必要条件，选A.答案：A4(2015高考湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则()Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件Dp
5、既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A.答案：A考点一命题及其相互关系|1(2015高考山东卷)设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()A若方程x2xm0有实根，则m0B若方程x2xm0有实根，则m0C若方程x2xm0没有实根，则m0D若方程x2xm0没有实根，则m0解析：由原命题和逆否命题的关系可知D正确答案：D2下列命题中为真命题的是()A命题“若xy，则x|y|”的逆命题B命题“若x1，则x21”的否命题C命题“若x1
6、，则x2x20”的否命题D命题“若x20，则x1”的逆否命题解析：A中逆命题为“若x|y|，则xy”是真命题；B中否命题为“若x1，则x21”是假命题；C中否命题为“若x1，则x2x20”是假命题；D中原命题是假命题，从而其逆否命题也为假命题答案：A3以下关于命题的说法正确的有_(填写所有正确命题的序号)“若log2a0，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数”是真命题；命题“若a0，则ab0”的否命题是“若a0，则ab0”；命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆命题为真命题；命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”等价解析：对于，若log2a0log21，则a
7、1，所以函数f(x)logax在其定义域内是增函数，故不正确；对于，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于，原命题的逆命题是“若xy是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如134是偶数，但3和1均为奇数，故不正确；对于，不难看出，命题“若aM，则bM”与命题“若bM，则aM”是互为逆否命题，因此二者等价，所以正确综上可知正确的说法有.答案：命题真假的两种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断(2)利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断考点二充分条件和必要条件的判定|(1)(2015高考四川卷)设a，b为正实数，则“ab1”是“log2alog2b0”的()A充
8、要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析因为ylog2x在(0，)上单调递增，所以a0，log2alog2blog210，所以“ab1”是“log2alog2b0”的充要条件答案A(2)(2015高考北京卷)设a，b是非零向量，“ab|a|b|”是“ab”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析若ab|a|b|，则a与b的方向相同，所以ab.若ab，则ab|a|b|，或ab|a|b|，所以“ab|a|b|”是“ab”的充分而不必要条件，选A.答案A判断充分条件与必要条件的两个注意点：(1)要注意弄清条件p和结构q分别是什么，然后
9、尝试pq，qp.(2)要注意对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题 1(2015高考湖南卷)设A，B是两个集合，则“ABA”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：结合韦恩图(图略)可知，ABA，得AB，反之，若AB，即集合A为集合B的子集，故ABA，故“ABA”是“AB”的充要条件，选C.答案：C考点三充要条件的应用|已知p：x22mx15m20(m0)；q：x23x100，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_解析本题考查充分必
10、要条件、一元二次不等式等基础知识若p真，则3mx5m；若q真，则2x5；因为綈p是綈q的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，所以0m，所以实数m的取值范围为.答案利用充要条件求参数的值或范围的一个关键点、一个注意点：(1)关键点：是合理转化条件，准确将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算(2)注意点：注意区间端正值的检验，易忽视2已知：xa，：|x1|1.若是的必要不充分条件，则实数a的取值范围为_解析：xa，可看作集合Ax|xa，：|x1|1，0x2，可看作集合Bx|0x2又是的必要不充分条件，BA，a0.答案：(，01.等价转化思想在充要条件中的应用【典例】已知条件
11、p：1，条件q：x2xa2a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是_思路点析“綈q的一个充分不必要条件是綈p”等价于“p是q的一个必要不充分条件”解析由1，得3x1.由x2xa2a，得(xa)x(a1)1a，即a时，不等式的解为1axa；当a1a，即a时，不等式的解为；当a1a，即a时，不等式的解为ax时，由x|1axax|3x1，得解得a1；当a时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以满足条件；当a时，由x|ax1ax|3x1，得解得0a1”是“x1，得x1，又“x21”是“xa”的必要不充分条件，知由“x1”，反之不成立，所以a1，即a的最大值为1.答案：1A组考点能力演
12、练1命题“若a2b20，则a0且b0”的逆否命题是()A若a2b20，虽a0且b0B若a2b20，则a0或b0C若a0且b0，则a2b20D若a0或b0，则a2b20解析：先确定逆命题为“若a0且b0，则a2b20”，再将逆命题否定为“若a0或b0，则a2b20”，故选D.答案：D2“x13且x23”是“x1x26且x1x29”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：x13，x23x1x26，x1x29；反之不成立，例如x1，x220.故选A.答案：A3(2016沈阳一模)“x0”是“ln(x1)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分
13、也不必要条件解析：设命题p：x0，命题q：ln(x1)0，由对数函数的定义域和对数函数的单调性可知所以1x0，即命题q为1x1或xa，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是()A1，) B(，1C3，) D(，3解析：法一：设Px|x1或xa，因为q是p的充分不必要条件，所以QP，因此a1，故选A.法二：令a3，则q：x3，则由命题q推不出命题p，此时q不是p的充分条件，排除B，C，D，选A.答案：A6(2016成都一诊)设a，b是向量，命题“若ab，则|a|b|”的逆命题是_解析：找出命题的条件和结论，将命题的条件与结论互换，“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，故命题“若ab，则|a
14、|b|”的逆命题是“若|a|b|，则ab”答案：若|a|b|，则ab7(2015盐城一模)给出以下四个命题：“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题；“若q1，则x2xq0有实根”的逆否命题；若ab是正整数，则a，b都是正整数其中真命题是_(写出所有真命题的序号)解析：命题“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，显然为真命题；不全等的三角形的面积也可能相等，故为假命题；原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故为真命题；若ab是正整数，则a，b不一定都是正整数，例如a1，b3，故为假命题答案：8设条件p：实数x满足x24ax3a
15、20，其中a0，且q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是_解析：本题考查必要不充分条件的应用与一元二次不等式的解法由x24ax3a20得3ax0得x2，因为q是p的必要不充分条件，则所以a4.答案：(，49写出命题“已知a，bR，若关于x的不等式x2axb0有非空解集，则a24b”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假解：(1)逆命题：已知a，bR，若a24b，则关于x的不等式x2axb0有非空解集，为真命题(2)否命题：已知a，bR，若关于x的不等式x2axb0没有非空解集，则a24b，为真命题(3)逆否命题：已知a，bR，若a24b，则关于x的不等式x2axb0没有非空解集，为
16、真命题10已知(x1)(2x)0的解为条件p，关于x的不等式x2mx2m23m10的解为条件q.(1)若p是q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围(2)若綈p是綈q的充分不必要条件时，求实数m的取值范围解：(1)设条件p的解集为集合A，则Ax|1x2，设条件q的解集为集合B，则Bx|2m1x1，(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，则B是A的真子集解得1”是“log(x2)0”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件解析：由log(x2)1，解得x1，所以“x1”是“log(x2)0”的充分而不必要条件，故选B.答案：B3(2015高考安徽卷)设p：1x1，则
17、p是q成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：q：2x1x0，且(1,2)(0，)，所以p是q的充分不必要条件答案：A4(2015高考福建卷)“对任意x，ksin xcos xx”是“k0.任意x，ksin xcos xx，等价于任意x，k.当x时，02x，设t2x，则0t0，所以f(t)tsin t在(0，)上单调递增，所以f(t)0，所以tsin t0，即1，所以k1.所以任意x，k，等价于k1.因为k1k1，但k1k1，所以“对任意x，ksin xcos xx”是“k1”的必要而不充分条件，故选B.答案：B5(2015高考北京卷)设，是两个不同的平面，m是直线且m.“m”是“”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：若m且m，则平面与平面不一定平行，有可能相交；而m且一定可以推出m，所以“m”是“”的必要而不充分条件答案：B
