1、 真题演练集训 12016四川卷已知椭圆E：1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P在椭圆E上(1)求椭圆E的方程；(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|MB|MC|MD|.解：(1)由已知，a2b.又椭圆1(ab0)过点P，故1，解得b21，所以椭圆E的方程是y21.(2)设直线l的方程为yxm(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组得x22mx2m220，方程的判别式为4(2m2)，由0，即2m20，解得m.由得x1x22m，x1x22m22，所以M点的坐标为，直线
2、OM的方程为yx，由方程组得C，D或C，D.所以|MC|MD|(m)(m)(2m2)又|MA|MB|AB|2(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)24x1x24m24(2m22)(2m2)，所以|MA|MB|MC|MD|.22016北京卷已知椭圆C：1过A(2,0)，B(0,1)两点(1)求椭圆C的方程及离心率；(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值(1)解：由题意得，a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.又c，所以离心率e.(2)证明：设P(x0，y0)(x00，y0时，SOPQ888；当0k2时，SOPQ88.因为0k2，则014k21，2，所以SOPQ88，当且仅当k0时取等号所以当k0时，SOPQ的最小值为8.综合可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，OPQ的面积取得最小值8.
