1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归和转化思想(一)函数与方程思想函数思想，就是用函数与变量去思考问题分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方
2、程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想例 1(1)若 a1，则双曲线x2a2y2a121 的离心率 e 的取值范围是()A(1，2)B(2，5)C 2，5 D(3，5)(2)若将函数 f(x)sin 2xcos 2x 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的最小正值是_思维升华 函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数 yf(x)，当 y0 时，就化为不等式 f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分
3、重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-2-方法加以解决跟踪演练 1(1)(2015淄博实验中学诊断)若函数 f(x)在 R 上可导，且满足 f(x)xf(x)，则()A2f(1)f(2)C2f(1)f(2)Df(1)f(2)(2)如图是函数 yAsin(x)(其中 A0，0，0，y2，则yx的最小值是_思维升华 数形结合思想在解题中的应用(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式(2)构建函
4、数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围(3)构建解析几何模型求最值或范围(4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-3-跟踪演练 2(1)已知奇函数 f(x)的定义域是x|x0，xR，且在(0，)上单调递增，若 f(1)0，则满足 xf(x)|PF2|，则|PF1|PF2|的值为_思维升华 分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前 n
5、 项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等跟踪演练 3(1)(2014课标全国)钝角三角形 ABC 的面积是12，AB1，BC 2，则 AC 等于()A5B.5高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-4-C2D1(2)设等比数列an的公比为 q，前 n 项和 Sn0(n1,2,3，)，则 q 的取值范围是_(四)转化与化
6、归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题例 4(1)定义运算：(a b)xax2bx2，若关于 x 的不等式(a b)x0 的解集为x|1x2，则关于 x 的不等式(b a)x0 的解集为()A(1,2)B(，1)(2，)C.23，1D.，23(1，)(2)若对于任意 t1,2，函数 g(x)x3m22 x22x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是_思维升华 转化与化归思想在解
7、题中的应用(1)在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等(2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化(4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解(5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f(
8、x)构成的方程、不等式问题求解(6)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化跟踪演练 4(1)(2014安徽)设函数 f(x)(xR)满足 f(x)f(x)sin x当 0 x0 且 a1)，则 f1100 f2100 f99100 的值为_提醒：完成作业 专题八高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-6-二轮专题强化练专题八数学思想方法A 组 专题通关1若 2x5y2y5x，则有()Axy0Bxy0Cxy0Dxy02已知函数 f(x)log2x1，x3，2x31，x3满足 f(a)3，则 f(a5)的值为()Alog23B.1716C.32D13已知函数 f(x)
9、ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则 f(lg(lg 2)等于()A5B1C3D44(2015重庆月考)方程 log 12(a2x)2x 有解，则 a 的最小值为()A2B1C.32D.125(2015广东实验中学阶段考试)已知 0ab1aB(12)a(12)bC(lg a)2 1lg b6方程|x22x|a21(a0)的解的个数是()A1B2C3D47(2015湖南)若变量 x，y 满足约束条件xy1，yx1，x1，则 z2xy 的最小值为()高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-7-A1B0C1D28等比数列an中，a37，前 3 项之和 S321
10、，则公比 q 的值是()A1B12C1 或12D1 或129(2014江西)在平面直角坐标系中，A，B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以 AB 为直径的圆C 与直线 2xy40 相切，则圆 C 面积的最小值为()A.45B.34C(62 5)D.5410如图所示，在单位正方体 ABCDA1B1C1D1 的面对角线 A1B 上存在一点 P，使得 APD1P最短，则 APD1P 的最小值是()A2 2B22 2C.2 2D.22 211已知函数 f(x)|lg x|，010，若 a，b，c 互不相等，且 f(a)f(b)f(c)，则 abc的取值范围是_12(2015湖南)已知函数 f(x)
11、x3，xa，x2，xa，若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取值范围是_13(2014福建)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-8-B 组 能力提高14(2015黄冈中学期中)定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)1f(x)，f(0)6，f(x)是 f(x)的导函数，则不等式 exf(x)ex5(其中 e 为自然对数的底数)的解集为()A(0，)B(，0)(3，)C(，0)(1，
12、)D(3，)15设函数 f(x)x2bxc，x0，2，x0，若 f(4)f(0)，f(2)2，则关于 x 的方程 f(x)x的解的个数为()A1B2C3D416设数列an的前 n 项和为 Sn.已知 a1a，an1Sn3n，nN*.(1)设 bnSn3n，求数列bn的通项公式；(2)若 an1an，nN*，求 a 的取值范围17(2014重庆)已知函数 f(x)x4axln x32，其中 aR，且曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x.(1)求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-9-高考资源网（）您身边的
13、高考专家 版权所有高考资源网-10-学生用书答案精析专题八 数学思想方法 例 1(1)B(2)38解析(1)e2(ca)2a2a12a21(11a)2，因为当 a1 时，01a1，所以 2e25，即 2e0，所以 min38.跟踪演练 1(1)A(2)B解析(1)由于 f(x)0 恒成立，因此fxx 在 R 上是单调递增函数，f22 f11，即 f(2)2f(1)，故答案为 A.(2)依函数图象，知 y 的最大值为 2，所以 A2.又T2512(12)2，所以 T，又2，所以 2，所以 y2sin(2x)将(12，2)代入可得 sin(6)1，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网
14、-11-故 622k，kZ，又，所以 23.所以函数的解析式为 y2sin(2x23)，故选 B.例 2(1)B(2)2解析 先作出函数 f(x)|x2|1 的图象，如图所示，当直线 g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率为 1，当直线 g(x)kx 过 A 点时斜率为12，故 f(x)g(x)有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)(2)可行域如图所示又yx的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率 k.由图知，过点 A 的直线 OA 的斜率最小联立xy10，y2，得 A(1,2)，所以 kOA20102.所以yx的最小值为 2.跟踪演练 2(1,0)(0,1)(2)2 2解析(1)
15、作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知 xf(x)0 的 x 的取值范围是(1,0)(0,1)(2)如图，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-12-SRtPAC12|PA|AC|12|PA|，当 CPl 时，|PC|31418|32423，此时|PA|min|PC|2|AC|22 2.(S 四边形 PACB)min 2(SPAC)min2 2.例 3(1)C(2)2 或72解析(1)由 f(f(a)2f(a)得，f(a)1.当 a1 时，有 3a11，a23，23a0，可得 a1S10，q0.当 q1 时，Snna10；当 q1 时，Sna11qn1q0，即1qn1q 0
16、(n1,2,3，)，则有1q0，1qn0，或1q0，1qn0.由，得1q1.故 q 的取值范围是(1,0)(0，)例 4(1)D(2)373 m5解析(1)1,2 是方程 ax2bx20 的两实根，12ba，122a，解得a1，b3，由(3 1)x3x2x20，解得 x1.(2)g(x)3x2(m4)x2，若 g(x)在区间(t,3)上总为单调函数，则g(x)0 在(t,3)上恒成立，或g(x)0 在(t,3)上恒成立由得 3x2(m4)x20，即 m42x3x 在 x(t,3)上恒成立，所以 m42t3t 恒成立，则 m41，即 m5；高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-14
17、-由得 m42x3x 在 x(t,3)上恒成立，则 m4239，即 m373.所以，函数 g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数的 m 的取值范围为373 m5.跟踪演练 4(1)A(2)992解析(1)f(x)f(x)sin x，f(x2)f(x)sin x.f(x2)f(x)sin xsin xf(x)f(x)是以 2 为周期的周期函数又 f(236)f(46)f(6)，f6 f6 sin6，f56 f6 12.当 0 x3，log2a13，无解，由得，a7，所以 f(a5)223132，故选 C.3C 因为 lg(log2 10)lg(lg 2)lg(log210lg 2)lg(lg
18、10lg 2 lg 2)lg 10，所以 lg(lg 2)lg(log210)设 lg(log210)t，则 lg(lg 2)t.由条件可知 f(t)5，即 f(t)at3bsin t45，所以 at3bsin t1，所以 f(t)at3bsin t4143.4B 由 log12(a2x)2x 得 a2x(12)2x22x122x1，当且仅当 x1 时取等号a 的最小值为 1.5D 0abb1，故 A 错误；又 y(12)x 是减函数，(12)a(12)b，故 B 错误；又 ylg x 是增函数，lg alg b(lg b)2，1lg a 1lg b，故 C 错误，D 正确故选 D.高考资源网
19、（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-16-6B(数形结合法)a0，a211.而 y|x22x|的图象如图，y|x22x|的图象与 ya21 的图象总有 2 个交点7A 作出xy1，yx1，x1表示的平面区域如图：平移直线 y2xz 知，过点 M(0,1)时，z 最小1.故选 A.8C 当公比 q1 时，a1a2a37，S33a121，符合要求当 q1 时，a1q27，a11q31q21，解得 q12或 q1(舍去)综上可知，q1 或12.9A AOB90，点 O 在圆 C 上设直线 2xy40 与圆 C 相切于点 D，则点 C 与点 O 间的距离等于它到直线 2xy40 的距离，点 C
20、在以 O 为焦点，以直线 2xy40 为准线的抛物线上，当且仅当 O，C，D 共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|2004|5 45，圆 C 的最小半径为 25，圆 C 面积的最小值为(25)245.10C 设 A1Px(0 x 2)在AA1P 中，AP 12x221xcos 45x2 2x1，在 RtD1A1P 中，D1P 1x2.于是令 yAPD1Px2 2x1 x21，下面求对应函数 y 的最小值将函数 y 的解析式变形，得 yx 22 20 22 2 x02012，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-17-其几何意义为点 Q(x,0)到点 M(22，22)与点 N
21、(0，1)的距离之和，当 Q，M，N 三点共线时，这个值最小，且最小值为 22 02 22 122 2.故选 C.11(10,12)解析 作出 f(x)的大致图象由图象知，要使 f(a)f(b)f(c)，不妨设 abc，则lg alg b12c6.lg alg b0，ab1，abcc.由图知 10c12，abc(10,12)12(，0)(1，)解析 函数 g(x)有两个零点，即方程f(x)b0 有两个不等实根，则函数 yf(x)和 yb 的图象有两个公共点若 aa 时，f(x)x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线 yb 可能有两个公共点若 0a1，则
22、a3a2，函数 f(x)在 R 上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线 yb 至多有一个公共点若 a1，则 a3a2，函数 f(x)在 R 上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线 yb可能有两个公共点综上，a1.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-18-13160解析 设该长方体容器的长为 x m，则宽为4x m又设该容器的造价为 y 元，则 y2042(x4x)10，即 y8020(x4x)(x0)因为 x4x2x4x4(当且仅当 x4x，即 x2 时取“”)，所以 ymin80204160(元)14A 由题意可知不等式 exf(x)ex
23、50，设 g(x)exf(x)ex5.所以 g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)10，所以函数 g(x)在定义域上单调递增，又因为 g(0)0，所以 g(x)0 的解集为 x0.15C 由 f(4)f(0)，f(2)2，解得 b4，c2，f(x)x24x2，x0，2，x0.作出函数 yf(x)及 yx 的函数图象如图所示，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-19-由图可得交点有 3 个16解(1)依题意，Sn1Snan1Sn3n，即 Sn12Sn3n，由此得 Sn13n12(Sn3n)即 bn12bn，又 b1S13a3，因此，所求通项公式为 bnSn3n(
24、a3)2n1，nN*.(2)由(1)知 Sn3n(a3)2n1，nN*，于是，当 n2 时，anSnSn13n(a3)2n13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，an1an43n1(a3)2n22n212(32)n2a3，当 n2 时，an1an12(32)n2a30a9.又 a2a13a1.综上，所求的 a 的取值范围是9，)17解(1)对 f(x)求导得 f(x)14ax21x，由 f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线 y12x 知 f(1)34a2，解得 a54.(2)由(1)知 f(x)x4 54xln x32，则 f(x)x24x54x2.令 f(x)0，解得 x1 或 x5.因为 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去当 x(0,5)时，f(x)0，故 f(x)在(5，)内为增函数由此知函数 f(x)在 x5 时取得极小值高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-20-f(5)ln 5.
