1、2016-2017学年江西师大附中高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题1已知x为实数，则“”是“x1”的（）A充分非必要条件B充要条件C必要非充分条件D既不充分也不必要条件2极坐标系中，点A（1，），B（3，）之间的距离是（）ABCD3把曲线C1：（为参数）上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2为（）A12x2+4y2=1B4x2=1Cx2+=1D3x2+4y2=44方程（t为参数）表示的曲线是（）A一条直线B两条射线C一条线段D抛物线的一部分5设A=（x，y）|y=1+，B=（x，y）|y=k（x2）+4，若AB中含有两个元素，则实数k的取值范围是（）ABC
2、D6在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（）ABCD7如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有13个花盆，则底层的花盆的个数是（）A91B127C169D2558已知过双曲线C：=1（a0，b0）的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2k恒成立，则离心率e的取值范围为（）A1eB1eCeDe9已知f（x）是可导的函数，且f（x）f（x）对于xR恒成立，则（）Af（1）ef（0），f（2
3、014）e2014f（0）Bf（1）ef（0），f（2 014）e2014f（0）Cf（1）ef（0），f（2 014）e2014f（0）Df（1）ef（0），f（2 014）e2014f（0）10直线l：y=k（x）与曲线x2y2=1（x0）相交于A、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是（）A0，）B（，）（，）C0，）（，）D（，）11若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y22mx2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A0或1B0或1C1或1D012定义在R上的函数f（x）满足：f（x）f（x）=xex，且f（0）=，则的最大值为（）A0BC1D2二.填空题1
4、3下列有关命题的说法正确的有（填写序号）命题“若x23x+2=0，则xx=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件若pq为假命题，则pq均为假命题对于命题p：xR使得x2+x+10，则p：xR，均有x2+x+1014已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ex1x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是15已知f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0现给出如下结论：f（0）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0其中正确结论的序号是16在平面直角坐标系中，当P（x，
5、y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”现有下列命题：若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线其中的真命题是（写出所有真命题的序列）三、解答题17设命题p：“对任意的xR，x22xa”，命题q：“存在xR，使x2+2ax+2a=0”如果命题pq为真，命题pq为假，求实数a的取值范围18以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的
6、长度单位已知直线l的参数方程为为参数，0），曲线C的极坐标方程为sin2=4cos（）求曲线C的直角坐标方程；（）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tan的值19数列an的前n项和记为Sn，已知an=（）求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；（）请用数学归纳法证明你的猜想20已知圆O：x2+y2=4，点F（，0），以线段MF为直径的圆内切于圆O，记点M的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）若过F的直线l与曲线C交于A，B两点，问：在x轴上是否存在点N，使得为定值？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由21如图，P是抛物线C：上横坐标大于零的一点，直线
7、l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（2）若，求过点P，Q，O的圆的方程22已知直线xy+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k若直线PA平分线段MN，求k的值；对任意k0，求证：PAPB2016-2017学年江西师大附中高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1已知x为实数，则“”是“x1”的（）A充分
8、非必要条件B充要条件C必要非充分条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】解分式不等式“1”，可以求出其对应的x的范围，根据充分条件和必要条件的定义，得到答案【解答】解：当“1”时，“x1或x0”，即“”“x1”不成立即“”是“x1”的不充分条件；当“x1”时，“1”成立即“1”是“x1”的必要条件；故“1”是“x1”的必要不充分条件；故选：C2极坐标系中，点A（1，），B（3，）之间的距离是（）ABCD【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】利用余弦定理即可得出【解答】解：AOB=|AB|=故选：C3把曲线C1：（为参数）上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为
9、原来的，得到的曲线C2为（）A12x2+4y2=1B4x2=1Cx2+=1D3x2+4y2=4【考点】参数方程化成普通方程【分析】根据题意，写出曲线C2的参数方程，消去参数，化为直角坐标方程【解答】解：根据题意，曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的，纵坐标压缩为原来的，得到的曲线C2：（为参数），消去参数，化为直角坐标方程是4x2+=1故选：B4方程（t为参数）表示的曲线是（）A一条直线B两条射线C一条线段D抛物线的一部分【考点】参数方程化成普通方程【分析】由t的范围求出x的范围，直接得到方程（t为参数）表示的曲线是两条射线【解答】解：的定义域为t|t0当t0时，x=；当t0时，x=方程（t为参
10、数）表示的曲线是两条射线如图：故选：B5设A=（x，y）|y=1+，B=（x，y）|y=k（x2）+4，若AB中含有两个元素，则实数k的取值范围是（）ABCD【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据题意，集合A对应的图形是以C（0，1）为圆心、半径为2的圆的上半圆；集合B对应的图形是经过定点P（2，4）的一条直线AB中有两个元素，说明直线与圆有两个公共点，由此利用点到直线的距离公式和斜率公式加以计算，并观察直线倾斜角的变化，可得本题答案【解答】解：由，平方化简得x2+（y1）2=4（y1），集合A表示以C（0，1）为圆心，半径为2的圆的上半圆y=k（x2）+4的图象是经过定点P（2，4）的一条直
11、线，当直线与半圆有两个公共点时，集合C=AB中有两个元素由直线y=k（x2）+4与半圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，得=2，解之得k=（舍负）又直线经过半圆的左端点A（2，1）时，它们有两个交点，此时k=，当直线夹在PA到PB之间（可与PA重合，不与PB重合）时，直线y=k（x2）+4与半圆有两个公共点，可得k故选：B6在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是（）ABCD【考点】基本不等式【分析】利用基本不等式的使用法则“一正二定三相等”即可判断出结论【解答】解：当x取正数时，对于Ax+2=4，当且仅当x=2时取等号，最小值为4对于Blg（x+1）0，lg（x+1）+2=2，当且仅当x=
12、9时取等号，最小值为2对于C. +=2，当且仅当x=0时取等号，因此最小值不为2对于D，sinx（0，1），sinx+2=2，最小值不为2故选：B7如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有13个花盆，则底层的花盆的个数是（）A91B127C169D255【考点】归纳推理【分析】首先根据题意得到花盆的层数，再从特殊情况入手探索、发现规律归纳、猜想出结果取特殊值代入验证，即体现特殊一般特殊的解题过程【解答】解：由题意可得：这垛花盆底层最长的一排共有 13个花盆，则堆成正六边形的由7盆花，
13、所以此时共有7层花盆第一层有1盆花，二层共有6+1=7盆花；3层共有1+6+26=1+6（1+2）那么7层共有1+6（1+2+3+6）=127则最底层的花盆的总个数是127故选B8已知过双曲线C：=1（a0，b0）的中心的直线交双曲线于点A，B，在双曲线C上任取与点A，B不重合的点P，记直线PA，PB，AB的斜率分别为k1，k2，k，若k1k2k恒成立，则离心率e的取值范围为（）A1eB1eCeDe【考点】双曲线的简单性质【分析】设A（x1，y1），P（x2，y2），由双曲线的对称性得B（x1，y1），从而得到k1k2=，将A，P坐标代入双曲线方程，相减，可得k1k2=，又k=，由双曲线的渐近
14、线方程为y=x，则k趋近于，可得a，b的不等式，结合离心率公式，计算即可得到【解答】解：设A（x1，y1），P（x2，y2），由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线=1的交点，由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，B（x1，y1），k1k2=，点A，P都在双曲线上，=1，=1，两式相减，可得： =，即有k1k2=，又k=，由双曲线的渐近线方程为y=x，则k趋近于，k1k2k恒成立，则，即有ba，即b2a2，即有c22a2，则e=故选D9已知f（x）是可导的函数，且f（x）f（x）对于xR恒成立，则（）Af（1）ef（0），f（2 014）e2014f（0）Bf（1）ef（0），f（2 014）
15、e2014f（0）Cf（1）ef（0），f（2 014）e2014f（0）Df（1）ef（0），f（2 014）e2014f（0）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】构造函数g（x）=，利用导数判断其单调性即可得出【解答】解：令g（x）=，则g（x）=0函数g（x）在R上单调递减g（1）g（0），g即，化为f（1）ef（0），f故选：D10直线l：y=k（x）与曲线x2y2=1（x0）相交于A、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是（）A0，）B（，）（，）C0，）（，）D（，）【考点】双曲线的简单性质【分析】首先根据题意直线l：y=k（x）与曲线x2y2=1（x0）相交于A、B两点，进一步判
16、断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果【解答】解：曲线x2y2=1（x0）的渐近线方程为：y=x直线l：y=k（x）与相交于A、B两点所以：直线的斜率k1或k1由于直线的斜率存在：倾斜角故选：B11若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y22mx2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A0或1B0或1C1或1D0【考点】直线与圆的位置关系【分析】直线l1l2，且l1、l2把C分成的四条弧长相等，C可化为（xm）2+（yn）2=m2+n2，当m=0，n=1时及当m=1，n=0时，满足条件【解答】解：l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y22mx2ny=0直线
17、l1l2，且l1、l2把C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示又C可化为（xm）2+（yn）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（1，1）把C分成的四条弧长相等；当m=1，n=0时，圆心为（1，0），半径r=1，此时l1、l2与C的四个交点（0，0），（1，1），（2，0），（1，1）也把C分成的四条弧长相等；故选：B12定义在R上的函数f（x）满足：f（x）f（x）=xex，且f（0）=，则的最大值为（）A0BC1D2【考点】导数的运算【分析】先构造函数，F（x）=，根据题意求出f（x）的解析式，
18、即可得到=，再根据根的判别式即可求出最大值【解答】解：令F（x）=，则F（x）=x，则F（x）=x2+c，f（x）=ex（x2+c），f（0）=，c=，f（x）=ex（x2+），f（x）=ex（x2+）+xex，=，设y=，则yx2+y=x2+2x+1，（1y）x2+2x+（1y）=0，当y=1时，x=0，当y1时，要使方程有解，则=44（1y）20，解得0y2，故y的最大值为2，故的最大值为2，故选：D二.填空题13下列有关命题的说法正确的有（填写序号）命题“若x23x+2=0，则xx=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件若pq为假命
19、题，则pq均为假命题对于命题p：xR使得x2+x+10，则p：xR，均有x2+x+10【考点】命题的真假判断与应用【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题是：“若x1，则x23x+20”，正确；若x=1，则x23x+2=13+2=0成立，即充分性成立；若x23x+2=0，则x=1或x=2，此时x=1不一定成立，即必要性不成立，故“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件，正确；若pq为假命题，则p、q至少有一个为假命题，不正确对于命题p：xR使得x2+x+10，则p：xR，均有x2+x+10，正确故答案为：14已知f（x）为偶
20、函数，当x0时，f（x）=ex1x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y=2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由已知函数的奇偶性结合x0时的解析式求出x0时的解析式，求出导函数，得到f（1），然后代入直线方程的点斜式得答案【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ex1x，设x0，则x0，f（x）=f（x）=ex1+x，则f（x）=ex1+1，f（1）=e0+1=2曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y2=2（x1）即y=2x故答案为：y=2x15已知f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0现给出如下结论：f（0
21、）f（1）0；f（0）f（1）0；f（0）f（3）0；f（0）f（3）0其中正确结论的序号是【考点】命题的真假判断与应用；函数在某点取得极值的条件【分析】f（x）=x36x2+9xabc，abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0，确定函数的极值点1，3及a、b、c的大小关系，由此可得结论【解答】解：求导函数可得f（x）=3x212x+9=3（x1）（x3）abc，且f（a）=f（b）=f（c）=0a1b3c设f（x）=（xa）（xb）（xc）=x3（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）xabcf（x）=x36x2+9xabca+b+c=6，ab+ac+bc=9b+c=6abc=9a（6a）
22、a24a00a40a1b3cf（0）0，f（1）0，f（3）0f（0）f（1）0，f（0）f（3）0故答案为：16在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C定义为曲线C的“伴随曲线”现有下列命题：若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A；单位圆的“伴随曲线”是它自身；若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C关于y轴对称；一条直线的“伴随曲线”是一条直线其中的真命题是（写出所有真命题的序列）【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用新定义，对4个命题分别进行判断，即可得
23、出结论【解答】解：若点A（x，y）的“伴随点”是点A（，），则点A（，）的“伴随点”是点（x，y），故不正确；由可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，y），“伴随点”是点A（，），则其“伴随曲线”C关于y轴对称，故正确；设直线方程为y=kx+b（b0），点A（x，y）的“伴随点”是点A（m，n），则点A（x，y）的“伴随点”是点A（，），x=，y=m=，代入整理可得n1=0表示圆，故不正确故答案为：三、解答题17设命题p：“对任意的xR，x22xa”，命题q：“存在xR，使x2+2ax+2a=0”如果命题pq为真，命题pq为假，
24、求实数a的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】分别求出在命题p，q下的a的取值，然后根据条件判断出p，q中一真一假，所以分别求在这两种情况下a的范围，再求并集即可【解答】解：命题p：对任意的xR，x22xa，x22x的最小值大于a；x22x的最小值为：1；1a，即a1；命题q：存在xR，使x2+2ax+2a=0；即方程x2+2ax+2a=0有实根；=4a24（2a）0，解得a2，或a1；命题pq为真，命题pq为假，命题p，q中一真一假；若p真q假：，解得2a1；若p假q真：，解得a1；实数a的取值范围为（2，1）1，+）18以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的
25、长度单位已知直线l的参数方程为为参数，0），曲线C的极坐标方程为sin2=4cos（）求曲线C的直角坐标方程；（）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，求tan的值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（I）对极坐标方程两边同乘，得到直角坐标方程；（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出【解答】解：（I）sin2=4cos，2sin2=4cos，曲线C的直角坐标方程为y2=4x（II）将代入y2=4x，得sin2t2+（2sin4cos）t7=0，所以，所以，或，即或19数列an的前n项和记为Sn，
26、已知an=（）求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式；（）请用数学归纳法证明你的猜想【考点】数学归纳法；数列递推式【分析】（1）根据题设条件，可求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式（2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明【解答】解：（）an=，S1=，S2=，S3=，猜想Sn=；（）n=1时，S1=成立；假设n=k时，成立，即Sk=，则当n=k+1时，Sk+1=Sk+ak+1=+=，即当n=k+1时，结论也成立综上知，Sn=20已知圆O：x2+y2=4，点F（，0），以线段MF为直径的圆内切于圆O，记点M的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）若过F的直线l与曲线C交于A，B两点，
27、问：在x轴上是否存在点N，使得为定值？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由【考点】直线与圆的位置关系【分析】（1）设FM的中点为Q，切点为G，连OQ，QG，通过|OQ|+|QG|=|OG|=2，推出|FM|+|MF|=4说明点M的轨迹是以F，F为焦点，长轴长为4的椭圆然后求解曲线C的方程；（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得到A，B的横坐标的和与积，代入，由为定值求得m值，验证斜率不存在时适合得答案【解答】解：（1）设FM的中点为Q，切点为G，连OQ，QG，则|OQ|+|QG|=|OG|=2，取F关于y轴的对称点F，连FM，故|F
28、M|+|MF|=2（|OQ|+|QG|）=4点M的轨迹是以F，F为焦点，长轴长为4的椭圆其中，a=2，c=，b=1，则曲线C的方程为+y2=1；（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得则0，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1m）（x2m）+y1y2=x1x2+=如果要上式为定值，则必须有，解得m=，此时=验证当直线l斜率不存在时，也符合故存在点N（，0）满足为定值21如图，P是抛物线C：上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q（1）当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；（2
29、）若，求过点P，Q，O的圆的方程【考点】圆与圆锥曲线的综合；直线的点斜式方程；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）先求点P的坐标，利用导数求过点P的切线的斜率，从而可得直线l的斜率，即可求出直线l的方程；（）设P（x0，y0），求出直线l的方程为，利用，可得过点P，Q，O的圆的圆心为PQ的中点，将直线与抛物线联立，即可求出PQ的中点的坐标与圆的半径，从而可得过点P，Q，O的圆的方程【解答】解：（）把x=2代入，得y=2，点P的坐标为（2，2）由，得y=x，过点P的切线的斜率k切=2，直线l的斜率k1=，直线l的方程为y2=，即x+2y6=0（）设P（x0，y0），则过点P的切线斜率k切=x0，
30、因为x00直线l的斜率k1=，直线l的方程为设Q（x1，y1），且M（x，y）为PQ的中点，因为，所以过点P，Q，O的圆的圆心为M（x，y），半径为r=|PM|，且，所以x0x1=0（舍去）或x0x1=4联立消去y，得由题意知x0，x1为方程的两根，所以，又因为x00，所以，y0=1；所以，y1=4M是PQ的中点，所以过点P，Q，O的圆的方程为22已知直线xy+1=0经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点（1）求椭圆S的方程；（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k若直线
31、PA平分线段MN，求k的值；对任意k0，求证：PAPB【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；三点共线；椭圆的标准方程【分析】（1）在直线xy+1=0中，令x=0得y=1；令y=0得x=1，故c=b=1，a2=2，由此能求出椭圆方程（2），N（0，1），M、N的中点坐标为（，），所以法一：将直线PA方程y=kx代入，解得，记，则P（m，mk），A（m，mk），于是C（m，0），故直线AB方程为，代入椭圆方程得（k2+2）x22k2mx+k2m28=0，由此能够证明PAPB法二：设P（x0，y0），A（x0，y0），B（x1，y1），则C（x0，0），由A、C、B三点共线，知=，由此能够证明PAPB【解答】解：（1）在直线xy+1=0中令x=0得y=1；令y=0得x=1，由题意得c=b=1，a2=2，则椭圆方程为（2），N（0，1），M、N的中点坐标为（，），所以解法一：将直线PA方程y=kx代入，解得，记，则P（m，mk），A（m，mk），于是C（m，0），故直线AB方程为，代入椭圆方程得（k2+2）x22k2mx+k2m24=0，由，因此，故PAPB解法二：由题意设P（x0，y0），A（x0，y0），B（x1，y1），则C（x0，0），A、C、B三点共线，=，又因为点P、B在椭圆上，两式相减得：，=1，PAPB2017年4月20日
