1、2020学年第二学期 台州市书生中学 高二数学第一次月考试卷 (满分:150分 考试时间:120 分钟) 2021.04一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知函数,则A. B. 1C. D. 2设复数z满足i,则z()A.iBiCiDi3已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图1所示,则()A函数f(x)有1个极大值点,1个极小值点B函数f(x)有2个极大值点,2个极小值点C函数f(x)有3个极大值点,1个极小值点D函数f(x)有1个极大值点,3个极小值点4.已知函数的图象如右图所示,则函数的图象可能是()A.
2、 B. C. D. 5已知,且为虚数单位,则的最大值是 ( )A B C D6.已知函数f(x)的导函数为f(x),且满足f(x)2xf(1)ln x,则f(1)() A B C D7已知函数在区间上可导,则“函数在区间上有最小值”是“存在,满足”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8.用数学归纳法证明不等式 + (n2,nN+) 的过程中由n=k递推到n=k+1时不等式左边应添加的项为()A B C D9若存在,使得函数与的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同,则b的最大值为( )A B C D10.设函数,其中,若存在唯一的整数使得,则a的取值范围是
3、()A. B. C. D. 二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。)11i是虚数单位,设复数,则化简复数1+ ,若 ,则 _12f(x)xsin xcos x的图象在点A(x0,f(x0)处的切线斜率为,则tan 2x0的值为 13. (1)已知函数,若在上不 单 调,则实数t的取值范围是_(2)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点,则实数a的取值范围是 14.若函数的导函数存在导数,记的导数为如果对,都有,则有如下性质:,其中,若,则;在锐角中,根据上述性质推断: 的最大值为 15.记等式左边的式子为,用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时,即当n
4、从k变为时,等式左边的改变量_16.对于三次函数,定义:设是函数的导数的导数,若方程有实数解 ,则称点为函数的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有拐点,任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心”若已知函数 ,则 的对称中心为 ;17. 已知函数,关于的不等式只有两个整数解,则实数的取值范围是 三、 (本大题共5小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)18. (本小题满分14分)已知函数,; ()求的解析式; ()求在处的切线方程19. (本小题满分15分)已知函数f(x)x22xaln x,若函数f(x)在(0,1)上单调,求实数a的取值 范围。20. (本小题满分
5、15分) 设函数,设求证:当时,21(本小题满分15分)在数列an中,a11,a2,且an1(n2)(1)求a3,a4,猜想an的表达式,并加以证明;(2)设bn, 求证:对任意的nN*,都有b1b2bn.22.(本题15分)已知函数.()求的单调区间;()设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围书生中学 2021年高二下第一次月考数学参考答案 一、选择题:1-5DCADB BADDD 二、填空题:11.1; ; 12. ; 13.(1); (2)0a14. ; 15. 16. , 2020;17.三、解答题:18.解:,根据题意有:, ,由解有,所以的解析式是;.(7分)由得,在处的切线的斜
6、率,所以有即,故所求切线的方程为.(14分)19.解:f(x)2x2,x(0,1),f(x)在(0,1)上单调,f(x)0或f(x)0在(0,1)上恒成立,2x20或2x20在(0,1)上恒成立,即a2x22x或a2x22x在(0,1)上恒成立.(7分)设g(x)2x22x22,则g(x)在(0,1)上单调递减,g(x)maxg(0)0,g(x)ming(1)4.ag(x)max0或ag(x)min4.(15分)20.解:的定义域为,.(3分)设,当,即在区间为增函数,又因为,所以由零点存在定理可知在的唯一零点为当时,当,故在单调递减,在单调递增,所以当时,取得最小值,最小值为,.(8分)由,
7、即,两边去对数得由于,所以所以 .(15分)21.解:(1)容易求得:a3,a4.故可以猜想an,nN* .(4分)下面利用数学归纳法加以证明:显然当n1,2,3,4时,结论成立,假设当nk(k4,kN*)时,结论也成立,即ak.那么当nk1时,由题设与归纳假设可知:ak1.即当nk1时,结论也成立,综上,对任意nN*,an成立.(8分)(2)bn(),.(12)分所以b1b2bn(1)()()()(1),所以只需要证明(1)13n13n2102(显然成立),所以对任意的nN*,都有b1b2bn.(15分)22.解:.(). 当时, 在区间上,;在区间上,故的单调递增区间是,单调递减区间是. (2分) 当时, 在区间和上,;在区间上,故的单调递增区间是和,单调递减区间是.(4分) 当时, 故的单调递增区间是.(6分)当时, 在区间和上,;在区间上,故的单调递增区间是和,单调递减区间是.(8分)()由已知,在上有.由已知,由()可知,当时,在上单调递增,故,所以,解得,故.(10分) 当时,在上单调递增,在上单调递减,故.由可知,所以, 综上所述,. .(15)分