1、2020学年第二学期 台州市书生中学 高二数学第一次月考试卷 （满分：150分 考试时间：120 分钟） 2021.04一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知函数，则A. B. 1C. D. 2设复数z满足i，则z()A.iBiCiDi3已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图1所示，则（）A函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点4.已知函数的图象如右图所示，则函数的图象可能是（）A.
2、 B. C. D. 5已知，且为虚数单位，则的最大值是 （ ）A B C D6.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)() A B C D7已知函数在区间上可导，则“函数在区间上有最小值”是“存在，满足”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件8.用数学归纳法证明不等式 + (n2,nN+) 的过程中由n=k递推到n=k+1时不等式左边应添加的项为()A B C D9若存在，使得函数与的图象在这两个函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为（ ）A B C D10.设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则a的取值范围是
3、（）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。）11i是虚数单位，设复数，则化简复数1+ ，若 ，则 _12f(x)xsin xcos x的图象在点A(x0，f(x0)处的切线斜率为，则tan 2x0的值为 13. (1)已知函数，若在上不 单 调，则实数t的取值范围是_(2)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是 14.若函数的导函数存在导数，记的导数为如果对，都有，则有如下性质：，其中，若，则；在锐角中，根据上述性质推断： 的最大值为 15.记等式左边的式子为，用数学归纳法证明该等式的第二步归纳递推时，即当n
4、从k变为时，等式左边的改变量_16.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解 ，则称点为函数的“拐点”有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心”若已知函数 ，则 的对称中心为 ；17. 已知函数，关于的不等式只有两个整数解，则实数的取值范围是 三、 （本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）18. (本小题满分14分)已知函数，； （）求的解析式； （）求在处的切线方程19. (本小题满分15分)已知函数f(x)x22xaln x，若函数f(x)在(0,1)上单调，求实数a的取值 范围。20. (本小题满分
5、15分) 设函数，设求证：当时，21(本小题满分15分)在数列an中，a11，a2，且an1(n2)(1)求a3，a4，猜想an的表达式，并加以证明；(2)设bn， 求证：对任意的nN*，都有b1b2bn.22.(本题15分）已知函数.（）求的单调区间；（）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围书生中学 2021年高二下第一次月考数学参考答案 一、选择题：1-5DCADB BADDD 二、填空题：11.1; ; 12. ; 13.(1); (2)0a14. ； 15. 16. , 2020;17.三、解答题：18.解：，根据题意有：， ，由解有，所以的解析式是；.（7分）由得，在处的切线的斜
6、率，所以有即，故所求切线的方程为.（14分）19.解：f(x)2x2，x(0,1)，f(x)在(0,1)上单调，f(x)0或f(x)0在(0,1)上恒成立，2x20或2x20在(0,1)上恒成立，即a2x22x或a2x22x在(0,1)上恒成立.（7分）设g(x)2x22x22，则g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)maxg(0)0，g(x)ming(1)4.ag(x)max0或ag(x)min4.（15分）20.解：的定义域为，.（3分）设，当，即在区间为增函数，又因为，所以由零点存在定理可知在的唯一零点为当时，当，故在单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，.（8分）由，
7、即，两边去对数得由于，所以所以 .（15分）21.解：(1)容易求得：a3，a4.故可以猜想an，nN* .（4分）下面利用数学归纳法加以证明：显然当n1,2,3,4时，结论成立，假设当nk(k4，kN*)时，结论也成立，即ak.那么当nk1时，由题设与归纳假设可知：ak1.即当nk1时，结论也成立，综上，对任意nN*，an成立.（8分）(2)bn()，.（12）分所以b1b2bn(1)()()()(1)，所以只需要证明(1)13n13n2102(显然成立)，所以对任意的nN*，都有b1b2bn.（15分）22.解：.（）. 当时， 在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是. （2分） 当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.（4分） 当时， 故的单调递增区间是.（6分）当时， 在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.（8分）（）由已知，在上有.由已知，由（）可知，当时，在上单调递增，故，所以，解得，故.（10分） 当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知，所以， 综上所述，. .（15）分