1、江苏省镇江中学高一年级第二学期月阶段检测数学试卷一、单项选择（每小题5分，共45分）1.已知向量，且，则的值是（ ）A. 6B. 6C. 9D. 12【答案】B【解析】【分析】直接由平面向量共线的坐标表示列方程求解即可.【详解】，由，得，解得，故选B.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.2.已知平面向量，则向量模是（）A. B. C. D. 5【答案】C【解析】【详解】因为向量，故选C.3.已知等比数列an中，a3a1320，a64，则a10的值是（）A. 16B. 14C. 6D. 5【答案】D【解析】【分
2、析】用等比数列的性质求解【详解】等比数列， 故选D【点睛】本题考查等比数列的性质，灵活运用等比数列的性质可以很快速地求解等比数列的问题在等比数列中，正整数满足，则，特别地若，则4.如图所示，P、Q是ABC的边BC上的两点，且，则化简的结果为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用平面向量运算的三角形法则以及相反向量的定义求解即可.【详解】因为，所以，所以- ,故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则以及相反向量的性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.5.如图1，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是
3、:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（ ）尺. A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，已知，解得， ，解得.折断后的竹干高为4.55尺故选B.6.已知中，那么角等于（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：三角形中由正弦定理得.,所以.即选C.本题的关键就是正弦定理的应用.考点：正弦定理.7.设ABC的三条边分别为a、b、c，三角形面积为，则C为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果【详解】设ABC的三条边分别为a、b、c，三角形面
4、积为，所以，整理得tanC=1，由于0C，所以C=故选C【点睛】本题考查了正弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题8.如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】本题考查向量加法和减法的平行四边形分法则或三角形法则,向量的数量积.因为圆半径为1是直径，所以根据向量加法和减法法则知：；又是直径，所以则故选 B9.已知四边形是平行四边形，若，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题的关键在于找到两个基底，然后可将化成两个基底的表示形式，最终比较系数就能得到答案【详解】又所以，解得故选：B.【
5、点睛】本题主要考查向量的数乘运算，以及构建基底然后去算出系数，属中档题二、多项选择（每小题5分，共15分）10.已知平面，则下列结论正确是（ ）A. B. C. D. 与的夹角为【答案】AD【解析】【分析】由条件根据向量代数形式的加法运算、模、共线定理和夹角公式分别进行判断，从而得出结论.【详解】根据向量的坐标运算易知选项正确；因为，所以选项B错误因为，所以C错误因为，所以与的夹角为，D选项正确故选：AD.【点睛】本题主要考查向量代数形式的坐标运算、向量的平行、向量的模、向量的夹角和数量积运算.11.已知，若，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】根据平
6、面向量的坐标运算和共线向量基本定理可求出，进一步对每个选项进行判断即可得到答案.【详解】因为，所以，因为，所以，则，A正确；，B正确；，C错误，由于，所以，D正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算和向量平行，考查的核心素养是数学运算.12.在中，角的对边分别为，且满足，则下列结论正确的是（ ）A. B. 的面积为C. D. 锐角三角形【答案】AB【解析】【分析】已知等式利用正弦定理边化角，结合三角形的内角与两角和差公式化简得到，大角对大边，所以，再利用余弦定理可解三角形，利用面积公式可得到的面积.【详解】，即，在中，A正确由余弦定理，得得，即，解得或，又，C错误，的面积，B正
7、确又，A为钝角，为钝角三角形，D错误故选：AB.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和面积公式在解三角形中的灵活运用，属于中档题.三、填空题（每小题5分，共20分）13.已知点，则与向量方向相同的单位向量的坐标为_.【答案】【解析】点，可得，因此，与向量同方向的单位向量为：故答案为：14.在中，则_【答案】【解析】【详解】试题分析：考点：正余弦定理解三角形15.设、为的两点，且满足=+,则_【答案】【解析】取BC的中点为P，则()，则点D是中线AP的中点，所以.16.在等腰三角形中，底边，若，则_.【答案】【解析】【分析】由 ，得D是AC的中点，利用已知条件求出BA的长度，求出cosB，即
8、可的值【详解】因为D是AC的中点 ，且所以 ，因为在等腰三角形中，底边，得AB= 所以cosB = 且所以 = 2 52 故答案为 【点睛】本题考查了向量加减法的几何中的应用和平面向量的数量积的应用，也考查计算能力，属于基础题.四解答题：（17、18每题10分，19、21每题12分，22题14分，共70分）17.平面内给定三个向量，（1）求满足的实数，；（2）设满足，且，求【答案】（1），；（2）或.【解析】【分析】（1）由平面向量的线性运算的坐标表示，列方程组求出、的值；（2）利用平面向量垂直得出数量积为零，结合模长公式列方程组求出向量【详解】（1）由，则即，解得，；（2）由，又，且，解得或
9、；或.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题18.已知分别为内角的对边，（）求；（）已知点在边上，求【答案】（）（）1【解析】【分析】（）由余弦定理化简已知可得，可求得，结合范围，可求的值（）由已知可求得，由余弦定理求得的值，可求的值，在中，由余弦定理可得的值【详解】解：（），整理可得：，（），可得：，由余弦定理，可得，可得：，解得： （负值舍去），中，由余弦定理可得：【点睛】本题主要考查了余弦定理及方程思想，还考查了计算能力及转化能力，属于中档题19.记等差数列的前项和为，若，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解
10、析】【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前项和公式求出和，由此能求出数列的通项公式（2）由，利用裂项相消法能求出数列的前项和【详解】（1）设等差数列的公差为，若，则，解得故（2）【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项相消法的合理运用20.如图，在边长为1的正六边形中，为边上一点，且满足，设，（1）若，试用，表示和；（2）若，求的值【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）设正六边形的中心为，利用三角形法则和平行四边形法则，用，表示出和即可；（2）分别用，表示与，利用向量数量积即可求得的值【详解】（1）记正六边形的中心为点，连结
11、、，在平行四边形中，在平行四边形中，（2）若，又因为，所以.【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积的运算的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题型21.某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏（1）若当时，求此时的值；（2）设，且（i）试将表示为的函数，并求出的取值范围；（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值【答案】(1)；(2)(i)，；(ii).【解析】【分析】（1）在中，由正弦定理可得所求；（
12、2）（i）由余弦定理得，两式相加可得所求解析式（ii）在中，由余弦定理可得，根据的最大值不小于可得关于的不等式，解不等式可得所求【详解】（1）在中，由正弦定理得，所以，即（2）（i）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，又所以，即又，解得，所以所求关系式为，（ii）当观赏角度的最大时，取得最小值在中，由余弦定理可得，因为的最大值不小于，所以，解得，经验证知，所以即两处喷泉间距离的最小值为【点睛】本题考查解三角形在实际中的应用，解题时要注意把条件转化为三角形的边或角，然后借助正余弦定理进行求解解题时要注意三角形边角关系的运用，同时还要注意所得结果要符合实际意义22.如图，在平面四边形中，.（）
13、若，求；（）求四边形面积最大值.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（）连接，于在中，由余弦定理得，又，所以为等腰三角形，从而，所以（）先求出在中，由余弦定理得，然后利用不等式可得，于是，进而可得，故得所求最大值详解】（）连接，在中，由余弦定理得：，所以,又，所以为等腰三角形，作于，则在中，所以，所以（）由题意知在中，由余弦定理得，所以又，当且仅当时等号成立，所以，所以，所以，所以故四边形面积的最大值为【点睛】本题考查解三角形的应用，解题时注意通过合理作辅助线构造出三角形求解，同时还要注意平面几何图形性质的灵活应用对于解三角形中的最值问题，要注意重要不等式的应用，解题时要注意等号成立的条件
