1、2015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：（共70分）1复数的虚部是2命题“xR，x2+x+10”的否定是3C22+C32+C42+C112=（用数字作答）4用反证法证明命题：“若x0，y0 且x+y2，则和中至少有一个小于2”时，应假设5（x2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为（用数字作答）6在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为，则cos2+cos2=1类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为，则有7有5种不同的书（每种书不少于3本），从中选购3本送给3名同学，每
2、人各一本，共有种不同的送法（用数字作答）8观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10照此规律，第n个等式可为9椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为10用数学归纳法证明“1+2+3+（2n+1）=（n+1）（2n+1）”时，由n=k（k1）等式成立，推证n=k+1，左边应增加的项为11设直线2x+3y+1=0与圆x2+y22x+4y=0相交于A，B，则弦AB的垂直平分线的方程为12甲，乙两人独立地破译1个密码，他们能破译密码的概率分别是和，则这个密码能被破译的概率为13设随机变量B（2，p），B（4，p），若P（1）=，则P（2）
3、=14从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出4个不同的数字构成四位数，不大于3410的个数是二解答题（共90分）15设复数z=（m22m3）+（m2+3m+2）i，试求实数m的取值，使得（1）z是纯虚数；（2）z对应的点位于复平面的第二象限16若3名女生，5名男生排成一排拍照，问：（用数字作答）（1）3名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）3名女生不相邻的不同排法共有多少种？（3）5名男生顺序一定的不同排法有多少种？17已知在（）n的展开式中，第6项为常数项（1）求n；（2）求含x2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项18学校游园活动有这样一个游戏：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱
4、子里装有1个白球，2个黑球，这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在1次游戏中：摸出3个白球的概率获奖的概率（2）求在3次游戏中获奖次数X的分布列（用数字作答）19已知数列an满足an+1=an2nan+1（nN*），且a1=3（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列an的通项公式，并给出证明；（2）求证：当n2时，ann4nn20设f（x）=x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+）上是单调减函数，求实数a的取值范围（2）当0a2时，f（x）在1，4上的最小值为，求f（x）在该区间的最大值2
5、015-2016学年江苏省苏州市张家港市高级中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（共70分）1复数的虚部是【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：=，复数的虚部是故答案为：2命题“xR，x2+x+10”的否定是xR，x2+x+10【考点】命题的否定【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：“”；：“”即可，据此分析选项可得答案【解答】解：命题“xR，x2+x+10“的否定是：xR，x2+x+10故答案为：xR，x2+x+103C22+C32+C42+C112=220（用数字作答）【考点】组合及组合数公式【分析】由组
6、合数的性质Cn+1m=Cnm+Cnm1，把C22换作C33逐步利用该性质化简可得【解答】解：C22+C32+C42+C112=C33+C32+C42+C112=C43+C42+C112=C123=220故答案为：2204用反证法证明命题：“若x0，y0 且x+y2，则和中至少有一个小于2”时，应假设和都大于等于2 ）【考点】反证法与放缩法【分析】由于“和中至少有一个小于2”的反面是：“和都大于或等于2”，从而得到答案【解答】解：由于“和中至少有一个小于2”的反面是：“和都大于或等于2”，故用反证法证明命题：“若x0，y0 且x+y2，则和中至少有一个小于2”时，应假设和都大于或等于2，故答案为
7、：和都大于或等于25（x2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为48（用数字作答）【考点】二项式系数的性质【分析】根据x2y7的来由分析两种可能，结合二项展开式求系数【解答】解：当因式x2y取x，则二项式（x+y）8则取xy7，此时系数为=8；当因式x2y取2y，则二项式（x+y）8则取x2y6，此时系数为=56；所以（x2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为856=48；故答案为：486在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为，则cos2+cos2=1类比到空间中一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为，则有cos2+cos
8、2+cos2=2【考点】类比推理【分析】本题考查的知识点是类比推理，由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是，则有cos2+cos2=1，根据长方体性质可以类比推断出空间性质，从而得出答案【解答】解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是，则有cos2+cos2=1，我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质，长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为，cos=，cos=，cos=，cos2+cos2+cos2=2故答案为：cos2
9、+cos2+cos2=27有5种不同的书（每种书不少于3本），从中选购3本送给3名同学，每人各一本，共有125种不同的送法（用数字作答）【考点】计数原理的应用【分析】根据题意，3个人，每人都有5种不同的选法，由分步计数原理计算可得答案【解答】解：分析可得，这是一个分步计数原理问题，根据题意，3个人，每人都有5种不同的选法，则有555=125种故答案为：1258观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10照此规律，第n个等式可为【考点】归纳推理【分析】等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为1222+3242+（1）n1n2再分n为奇数和偶数
10、讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可【解答】解：观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10分n为奇数和偶数讨论：第n个等式左边为1222+3242+（1）n1n2当n为偶数时，分组求和（1222）+（3242）+（n1）2n2=，当n为奇数时，第n个等式左边=（1222）+（3242）+（n2）2（n1）2+n2=+n2=综上，第n个等式为故答案为：9椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】根据正三角形的性质可知b=3c，进而根据a，b和c的关系进而求得a和c的关系，则椭圆的离心率可得【解答】
11、解：依题意可知b=3ca=ce=故答案为：10用数学归纳法证明“1+2+3+（2n+1）=（n+1）（2n+1）”时，由n=k（k1）等式成立，推证n=k+1，左边应增加的项为（2k+2）+（2k+3）【考点】数学归纳法【分析】由数学归纳法可知n=k时，左端为1+2+3+（2k+1），到n=k+1时，左端1+2+3+（2k+3），从而可得答案【解答】解：用数学归纳法证明等式1+2+3+（2n+1）=（n+1）（2n+1）时，当n=1左边所得的项是1+2+3；假设n=k时，命题成立，左端为1+2+3+（2k+1）；则当n=k+1时，左端为1+2+3+（2k+1）+（2k+2）+2（k+1）+1，
12、从“kk+1”需增添的项是（2k+2）+（2k+3）故答案为：（2k+2）+（2k+3）11设直线2x+3y+1=0与圆x2+y22x+4y=0相交于A，B，则弦AB的垂直平分线的方程为3x2y7=0【考点】圆的标准方程【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标，再由已知直线方程求出所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案【解答】解：由圆x2+y22x+4y=0，得（x1）2+（y+2）2=5，圆心坐标为（1，2），又直线2x+3y+1=0的斜率为，则所求直线的斜率为弦AB的垂直平分线的方程为y（2）=整理得：3x2y7=0故答案为：3x2y7=012甲，乙两人独立地破译1个密码，他们能破译密码的概
13、率分别是和，则这个密码能被破译的概率为【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式【分析】密码被译出的对立事件是密码不能被译出，而密码不能被译出的情况是：两个人同时不能破译这个密码，由此利用对立事件概率计算公式能求出密码被译出的概率【解答】解：两人独立地破译一个密码，他们能译出的概率分别为，密码被译出的对立事件是密码不能被译出，而密码不能被译出的情况是：两个人同时不能破译这个密码，密码被译出的概率：p=1（1）（1）=，故答案为：13设随机变量B（2，p），B（4，p），若P（1）=，则P（2）=【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】根据变量B（2，p），且P（1）=，
14、得到P（1）=1P（=0）=，由此解出p值，根据B（4，p），代入所求的概率的值，根据P（2）=1P（=0）p（=1）得到结果【解答】解：随机变量B（2，p），且P（1）=，P（1）=1P（=0）=1（1p）2=，解得p=，P（2）=1P（=0）P（=1）=1（）0（）4=1=故答案为：14从0，1，2，3，4，5，6这7个数字中选出4个不同的数字构成四位数，不大于3410的个数是305【考点】计数原理的应用【分析】分类讨论，根据不大于3410，利用排列知识，即可得出结论【解答】解：首位是1的四位数，有A63=120个；首位是2的四位数，有A63=120个；首位是3，千位是0，1，2的四位数，
15、有C31A52=60个；首位是3，千位是4，十位是0的四位数，有4个，不大于3410的个数是120+120+60+4+1=305故答案为：305二解答题（共90分）15设复数z=（m22m3）+（m2+3m+2）i，试求实数m的取值，使得（1）z是纯虚数；（2）z对应的点位于复平面的第二象限【考点】复数的基本概念；复数的代数表示法及其几何意义【分析】（1）当复数是一个纯虚数时，需要实部等于零而虚部不等于0，得到关于m的方程组，解方程组即可（2）复平面内第四象限的点对应的复数，得到实部为正和虚部为负得出不等关系，最后解不等式即可【解答】解：（1）复数是一个纯虚数，实部等于零而虚部不等于0由，得m
16、=3（2）当复数对应的点在第二象限时，由，得1m316若3名女生，5名男生排成一排拍照，问：（用数字作答）（1）3名女生相邻的不同排法共有多少种？（2）3名女生不相邻的不同排法共有多少种？（3）5名男生顺序一定的不同排法有多少种？【考点】计数原理的应用【分析】（1）先把3名女生捆绑在一起看作一个复合函数，再和5名男生全排，可得结论；（2）先任意排5名男生形成了6个空，将3名女生插入到其中三个空中；（3）5名男生的顺序一定，在8个位置任意排3名女生【解答】解：（1）先把3名女生捆绑在一起看作一个复合函数，再和5名男生全排，故有，（2）先任意排5名男生形成了6个空，将3名女生插入到其中三个空中，故
17、有，（3）5名男生的顺序一定，在8个位置任意排3名女生，故有17已知在（）n的展开式中，第6项为常数项（1）求n；（2）求含x2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项【考点】二项式定理【分析】（1）由二项式定理，可得（）n的展开式的通项，又由题意，可得当r=5时，x的指数为0，即，解可得n的值，（2）由（1）可得，其通项为Tr+1=（）rC10r，令x的指数为2，可得，解可得r的值，将其代入通项即可得答案；（3）由（1）可得，其通项为Tr+1=（）rC10r，令x的指数为整数，可得当r=2，5，8时，是有理项，代入通项可得答案【解答】解：（1）根据题意，可得（）n的展开式的通项为=，又由第6项
18、为常数项，则当r=5时，即=0，解可得n=10，（2）由（1）可得，Tr+1=（）rC10r，令，可得r=2，所以含x2项的系数为，（3）由（1）可得，Tr+1=（）rC10r，若Tr+1为有理项，则有，且0r10，分析可得当r=2，5，8时，为整数，则展开式中的有理项分别为18学校游园活动有这样一个游戏：甲箱子里装有3个白球，2个黑球，乙箱子里装有1个白球，2个黑球，这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在1次游戏中：摸出3个白球的概率获奖的概率（2）求在3次游戏中获奖次数X的分布列（用数字作答）
19、【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】（1）求出基本事件总数，计算摸出3个白球事件数，利用古典概型公式，代入数据得到结果；获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据求出摸出2个白球的概率，再相加即可求得结果；（2）确定在3次游戏中获奖次数X的取值是0、1、2、3，求出相应的概率，即可写出分布列【解答】解：（1）设“在1次游戏中摸到i个白球”为事件Ai（i=0，1，2，3），则P（A3）=；设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B=A2A3，又P（A2）=+=，且A2、A3互斥，所以P（B）=P（A2）+P（A3）=+=（2）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3；P（X=0）=（1
20、）3=，P（X=1）=C31=，P（X=2）=（1）=，P（X=3）=；所以X的分布列为X0123P19已知数列an满足an+1=an2nan+1（nN*），且a1=3（1）计算a2，a3，a4的值，由此猜想数列an的通项公式，并给出证明；（2）求证：当n2时，ann4nn【考点】数列递推式；数列与不等式的综合【分析】（1）由，且a1=3，分别令 n=1，2，3即可求解，进而可猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可（2）由（1）可得an=n+2，从而有=（n+2）n，利用二项式定理展开后即可证明【解答】解：（1），且a1=3a2=4，a3=5，a4=6猜想an=n+2证明：当n=1时显然成立假设
21、n=k时（k1）时成立，即ak=k+2则n=k+1时，ak+1=k+3即n=k+1时命题成立综上可得，an=n+2证明：（2）an=n+2，n2=（n+2）n=5nn2nn1=4nn+nn1（n2）4nn，即证20设f（x）=x3+x2+2ax（1）若f（x）在（，+）上是单调减函数，求实数a的取值范围（2）当0a2时，f（x）在1，4上的最小值为，求f（x）在该区间的最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）由已知得f（x）=x2+x+2a，求出函数的最值，继而得到a的取值范围（2）先根据导数求出极值点在判断函数的再某个区间上的单调性，根据单调性得到最值【解答】解：（1）由当时，f（x）的最大值为因为f（x）在上是单调减函数，则f（x）0在上成立，所以，解得，故所求实数a的取值范围为（2）令因为当xx1或xx2时f（x）0，当x1xx2时f（x）0所以f（x）在（，x1）和（x2，+）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f（x）在1，4上的最大值为f（x2），又所以f（x）在1，4上的最小值为得a=1，x2=2，从而f（x）在1，4上的最大值为2016年7月7日
