1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析考点一抛物线的定义及标准方程1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,定点P(4,-2),在抛物线上找一点M,使得|PM|+|MF|最小,则点M的坐标为()A.(2,-2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,2)2.已知直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.B.2C. D.33.(2020保定模拟)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF
2、为直径的圆过点A(0,2),则C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x4.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为焦点,若B(3,2),则|PB|+|PF|的最小值为_.5.(2020金华模拟)已知F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,点A在抛物线上,点B在抛物线的准线上,且A,B两点都在x轴的上方,若FAFB,tanFAB=,则直线FA的斜率为_.【解析】1.选C.过P作PM垂直于抛物线的准线,交抛物线于点M,交准线于点N,则|PM|+|MF|=|PM|+|MN|=|PN|,此时|PM|+|MF|最小,点M
3、纵坐标为-2,故横坐标为1,所以点M的坐标为(1,-2).2.选B.由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点(1,0)为F,则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1 和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.3.选C.由已知得抛物线的焦点F,设点M(x0,y0),则=,=.由已知得,=0,即-8y0+16=0,因而y0=4,M.由|MF|=5,得 =5.又p0,解得p=2或p=8.故C的方程为y2=4x或y2=16x.4.如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,则|P1Q|=|P1F|,则有|PB
4、|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.答案:45.y2=2px(p0)的焦点F,准线方程为x=-,如图,设A在x轴上的射影为N,准线与x轴的交点为M,由FAFB,tanFAB=,可设|AF|=3t,|BF|=t,可得AFN=FBM,sinAFN=sinFBM=,即有yA=3p,xA=p,则直线AF的斜率为=.答案:1.抛物线定义的应用利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线”,这是解决有关抛物线距离问题的有效途径.2.求抛物线的标准方程的方法(1)定义法根据
5、抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.(2)待定系数法根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线的标准方程.当焦点位置不确定时,有两种方法解决:方法一分情况讨论,注意要对四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点在x轴上的抛物线,为避免开口方向不确定可分为y2=2px(p0)和y2=-2px(p0)两种情况求解方法二设成y2=mx(m0),若m0,开口向右;若m0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若直线l的倾斜角为,
6、则=()A.B.C.D.2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A、B两点,弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线l的斜率k为()A.B.1C. D.3.(2019全国卷)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程.(2)若=3,求|AB|.世纪金榜导学号【解题导思】序号联想解题1一看到抛物线上的点到焦点或到准线的距离问题,即联想到利用抛物线的定义进行转化2当条件中出现弦的中点(即中点弦问题)时,应立即考虑到设而不求(点差)法3当条件中出现过抛物线焦点的直线时,应立即考虑到
7、抛物线焦点弦的有关结论【解析】1.选A.过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,作AEBN,垂足为E,设|AF|=m,|BF|=n,则由抛物线的定义得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|BE|=n-m,因为ABN=60,于是=,解得n=3m,则=.2.选C.抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),则x0=,y0=,由弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,即x0+=5,则x0=4,由两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),则=,即k=,则=,即y0=,所以直线l的斜率k
8、=.3.设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-.从而-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.1.直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.2.解决抛物线的弦及弦中
9、点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用焦点弦公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.1.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,E为其准线与x轴的交点,过F的直线交抛物线C于A,B两点,M为线段AB的中点,且|ME|=,则|AB|=()A.6B.3C.8D.9【解析】选A.由y2=4x得焦点F(1,0),E(-1,0),设直线AB的方程为x=ty+1并代入抛物线y2=4x得:
10、y2-4ty-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4,所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,所以M(2t2+1,2t),|ME|2=(2t2+2)2+(2t)2=11,即4t4+12t2-7=0,解得t2=或t2=-(舍),所以|AB|=x1+x2+p=4t2+2+2=4+2+2=6.2.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为_.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得|AF|+|BF|=5,即x1+x2+=5,则x1+x2=,所以线段AB的中点
11、到y轴的距离为=.答案:3.已知抛物线y2=2x与直线l:x=ty+2相交于A,B两点,点O是坐标原点.(1)求证:OAOB.(2)当OAB的面积等于2时,求t的值.【解析】(1)由 整理得y2-2ty-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2t,y1y2=-4.所以=x1x2+y1y2=y1y2+=(-4)+=0,所以,即OAOB.(2)设l:x=ty+2与x轴交于点E,则E(2,0),所以|OE|=2,SOAB=|OE|(|y1|+|y2|)=|y1-y2|=2,解得t=.考点三抛物线的性质及应用命题精解读考什么:(1)考查抛物线的定义、顶点及直线与抛物线中的最值范围
12、问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、转化与化归等思想方法.怎么考:借助距离考查抛物线的定义;结合函数单调性或基本不等式考查最值问题.新趋势:抛物线离心率的求解仍是考查的重点.学霸好方法1.定义的应用:当题目中出现到焦点的距离或到准线(或到与对称轴垂直直线)的距离时,应立即考虑到利用定义转化.2.交汇问题:与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题.与抛物线有关的最值问题【典例】(2019浙江高考)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p0)的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线上,使得ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q
13、在点F右侧.记AFG,CQG的面积为S1,S2.(1)求p的值及抛物线的标准方程.(2)求的最小值及此时点G的坐标.【解析】(1)由题意得=1,即p=2.所以,抛物线的标准方程为y2=4x.(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t0,则xA=t2.由于直线AB过F,故直线AB的方程为x=y+1,代入y2=4x,得y2-y-4=0,故2tyB=-4,即yB=-,所以B.又由于xG=(xA+xB+xC),yG=(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-+yC=0,得C,G.所以,直线AC的方程为y-2t=2t,得Q.由于Q在焦点F的右
14、侧,故t22.从而=2-.令m=t2-2,则m0,=2-=2-2-=1+.当且仅当m=,即m=时等号成立,所以取得最小值1+,此时G(2,0).如何求解与抛物线有关的最值问题?提示:(1)数形结合:一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”,将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”;将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”.这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)构造函数:将所求转化为函数求最值.抛物线与向量的综合问题 【典例】已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点为F,准线l:x=-,点M在抛物线C上,点A在准线l上,若MAl,直线AF的倾斜角为,则|MF|=_.【解析】如图,设准线与x轴交点为B,由于AF的倾斜角为,所以FAM=,又|MA|=|MF|,所以|MA|=|MF|=|FA|=2|FB|,又由已知p=2=,即|FB|=,所以|MF|=5.答案:5关闭Word文档返回原板块
