1、 二次函数单元检测题一、单选题1若不等式ax2+7x-12x+5对-1a1恒成立，则x的取值范围是()A 2x3 B -1x1 C -1x1 D 2x0)过点(1,0)和点(0,-2)，且顶点在第三象限，设P=a-b+c，则P的取值范围是()A -1P0 B -2P0 C -4P-2 D -4P07如图，抛物线y=-23x2+103x+4分别交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，动点P从D(0,2)出发，先到达x轴上的某点E，再到达抛物线对称轴上的某点F，最后运动到点C，求点P运动的最短路径长为()A 61 B 8 C 7 D 98已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，OA=OC，则由
2、抛物线的特征写出如下含有a、b、c三个字母的等式或不等式：4ac-b24a=1；ac+b+1=0；abc0；ab+c0其中正确的个数是（ ）A 4个 B 3个 C 2个 D 1个9下列对二次函数y=x2x的图象的描述，正确的是（）A 开口向下 B 对称轴是y轴C 经过原点 D 在对称轴右侧部分是下降的10若 二 次 函 数 y =ax+ bx + c 的 图 象 与 x 轴 交 于 A 和 B 两 点 ， 顶 点 为 C ， 且b - 4ac = 4 ，则 ACB 的度数为（）A 120 B 90 C 60 D 3011二次函数y=2x2-8x+m满足以下条件：当-2x-1时，它的图象位于x轴
3、的下方；当6x2x+5得，ax2+5x-60，当x=0时，-60不成立，x0，关于a的一次函数y=x2a+5x-6，当a=-1时，y=-x2+5x-6=-(x-2)(x-3)，当a=1时，y=x2+5x-6=(x-1)(x+6)，不等式对-1a1恒成立，(x-1)(x+6)0-(x-2)(x-3)0，解得2x0可知抛物线开口向上，再根据抛物线与x轴最多有一个交点可c0，由此可判断，根据抛物线的对称轴公式x=b2a可判断，由ax2+bx+c0可判断出ax2+bx+c+110，从而可判断，由题意可得ab+c0，继而可得a+b+c2b，从而可判断.【详解】抛物线y=ax2+bx+c（02ab）与x轴
4、最多有一个交点，抛物线与y轴交于正半轴，c0，abc0，故正确；02ab，b2a1，b2a1，该抛物线的对称轴在x=1的左侧，故错误；由题意可知：对于任意的x，都有y=ax2+bx+c0，ax2+bx+c+110，即该方程无解，故正确；抛物线y=ax2+bx+c（02ab）与x轴最多有一个交点，当x=1时，y0，ab+c0，a+b+c2b，b0，a+b+cb2，故正确，综上所述，正确的结论有3个，故选C【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系.5A【解析】【分析】A、设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值；B
5、、根据函数图象判断；C、根据函数图象判断；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=0.2x2+3.5，当x=2，5时，即可求得结论【详解】解：A、抛物线的顶点坐标为（0，3.5），可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a1.52+3.5，a=15，y=15x2+3.5故本选项正确；B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误；C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误；D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y=0.2x2+3.5，当x=2.5时
6、，h=0.2（2.5）2+3.5=2.25m这次跳投时，球出手处离地面2.25m故本选项错误故选：A【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键6C【解析】【分析】先利用待定系数法求出经过点(1,0)和(0,-2)的直线解析式为y=2x-2，则当x=-1时，y=2x-2=-4，再利用抛物线的顶点在第三象限，所以x=-1时，对应的二次函数值为负数，从而得到所以-4a-b+c-2【详解】经过点(1,0)和(0,-2)的直线解析式为y=2x-2，当x=-1时，y=2x
7、-2=-4，而x=-1时，y=ax2+bx+c=a-b+c，所以-4a-b+c-2，即-4P0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点7A【解析】【分析】根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解.可做C点关于直线x=52的对称点C，做D点关于x轴的对称点D，连接CD.那么E、F就是直线CD与x轴和抛物线对称轴的交点，求出长度即可【详解】作C点关于直线x=52的对称点C，做D点关于x轴的对称点D，连接CD则E、F就是直线CD与x轴和抛物线对称轴的交点，此时即为点P运动的最短路径长，则有C(5,4)
8、，D(0,-2)；故点P运动的最短路径长故选：A【点睛】此题主要考查了轨迹，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，以及利用对称求最小值问题等知识，得出C、D点的坐标是解题关键8A【解析】【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：a0，1c0，b0，再对各结论进行判断即可得答案【详解】由图象知抛物线顶点纵坐标为1，即4ac-b24a=1，故正确；设C（0，c），则OC=|c|，OA=OC=|c|，A（c，0）代入抛物线得ac2+bc+c=0，又c0，ac+b+1=0，故正确；从图象中易知a0，b0，c0，则abc0，故正确；当x=1时y=ab+c，由图象知（1，ab+c）在第二象限，ab+
9、c0，故正确，故选A【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，读懂图象、掌握二次根式的顶点坐标公式、二次根式图象上一些特特殊点的坐标特征是解题的关键.9C【解析】【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴公式以及二次函数性质逐项进行判断即可得答案.【详解】A、a=10，抛物线开口向上，选项A不正确；B、b2a=12，抛物线的对称轴为直线x=12，选项B不正确；C、当x=0时，y=x2x=0，抛物线经过原点，选项C正确；D、a0，抛物线的对称轴为直线x=12，当x12时，y随x值的增大而增大，选项D不正确，故选C【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a0），对称轴直线x=-
10、b2a，当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向上，当a0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的开口向下，c=0时抛物线经过原点，熟练掌握相关知识是解题的关键.10B【解析】【分析】过点C作CDx轴，垂足为D，由已知可得三角形ABC是等腰三角形，所以，CD是AB上的中线，求出A,B,C的坐标，再证CD=12AB,所以，ACB=90.【详解】过点C作CDx轴，垂足为D，由已知可得三角形ABC是等腰三角形，所以，CD是AB上的中线，因为，b - 4ac = 4 ，所以，x=-bb2-4ac2a=-b22a ,4ac-b24a=-1a,所以，C（-b2a ，-1a），设A（-b-22a
11、，0），B（-b+22a,0），所以，AB=|-b-22a-b+22a|=|2a|,CD=|-1a|=|1a|所以，CD=12AB,所以，ACB=90.故选：B【点睛】本题考核知识点：二次函数与三角形综合.解题关键点：求出各个点的坐标，运用等腰三角形性质定理.11D【解析】【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=2，通过顶点坐标位置特征求出m的范围，将A选项剔除后，将B、C、D选项带入其中，并根据二次函数对称性和增减性特点判断是否合理【详解】抛物线y=2x2-8x+m=2(x-2)2-8+m的对称轴为直线x=2，而抛物线在-2x-1时，它的图象位于x轴的下方；当6x7时，它的图象位于x轴的
12、上方，m0，当m=-10时，则y=2x2-8x-10，令y=0，则2x2-8x-10=0，解得x1=-1，x2=5，则有当-2x-1时，它的图象位于x轴的上方；当m=-42时，则y=2x2-8x-42，令y=0，则2x2-8x-42=0，解得x1=-3，x2=7，则有当6x7时，它的图象位于x轴的下方；当m=-24时，则y=2x2-8x-24，令y=0，则2x2-8x-24=0，解得x1=-2，x2=6，则有当-2x-1时，它的图象位于x轴的下方；当6x0时，抛物线与x轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b2-4ac0，即（-4）2-4k0，k4，故答案为：k4.【点
13、睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，由题意得出抛物线与x轴有两个交点是解题的关键.15-2【解析】【分析】由抛物线y=ax2+bx-1经过点(2，7)，得4a+2b-1=7, 2a+b=4,12a2+12ab+3b2-50=3(2a+b)2-50.【详解】因为，抛物线y=ax2+bx-1经过点(2，7)，所以，4a+2b-1=7,所以，2a+b=4,所以，12a2+12ab+3b2-50=3（4a2+4ab+b2）-50=3(2a+b)2-50=342-50=-2故答案为：-2【点睛】本题考核知识点：二次函数. 解题关键点：理解二次函数性质.16x=3【解析】【分析】根据二次函数对称轴直线方
14、程x=-b2a,代入直线方程即可求解.【详解】由二次函数对称轴直线方程x=-b2a可得:抛物线y=-14x2+32x+4的对称轴是直线x=-322-14=3,故答案为:x=3.【点睛】本题主要考查二次函数对称轴直线方程,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数对称轴直线方程.17（1）y=-x2+2x+3；（2）当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(1,2)；（3）点M的坐标为(1,1)、(1,2)、(1,83)或1,-23.【解析】【分析】(1)由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；(2)连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点
15、B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；(3)设点M的坐标为(1,m)，则CM=(1-0)2+(m-3)2，AC=0-(-1)2+(3-0)2=10，AM=1-(-1)2+(m-0)2，分AMC=90、ACM=90和CAM=90三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标【详解】解：(1)将A(-1,0)、C(0,3)代入y=-x2+bx+c中，得：c=3-1-b+c=0，解得：c=3b=2，抛物线的解析式为y=-x2+2x+
16、3(2)连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，如图1所示当y=0时，有-x2+2x+3=0，解得：x1=-1，x2=3，点B的坐标为(3,0)抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，抛物线的对称轴为直线x=1设直线BC的解析式为y=kx+d(k0)，将B(3,0)、C(0,3)代入y=kx+d中，得：d=33k+d=0，解得：d=3k=-1，直线BC的解析式为y=-x+3当x=1时，y=-x+3=2，当PA+PC的值最小时，点P的坐标为(1,2)(3)设点M的坐标为(1,m)，则CM=(1-0)2+(m-3)2，AC=0-(-1)2+(3-0)2=10，AM=
17、1-(-1)2+(m-0)2分三种情况考虑：当AMC=90时，有AC2=AM2+CM2，即10=1+(m-3)2+4+m2，解得：m1=1，m2=2，点M的坐标为(1,1)或(1,2)；当ACM=90时，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+(m-3)2，解得：m=83，点M的坐标为(1,83)；当CAM=90时，有CM2=AM2+AC2，即1+(m-3)2=4+m2+10，解得：m=-23，点M的坐标为(1,-23).综上所述：当MAC是直角三角形时，点M的坐标为(1,1)、(1,2)、(1,83)或(1,-23).【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函
18、数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：(1)由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；(2)由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P的位置；(3)分AMC=90、ACM=90和CAM=90三种情况，列出关于m的方程18(1)抛物线的解析式为y=(x-2)2-1，顶点M的坐标为(2,-1)；(2)tanOCM=12；(3)P点坐标为(2,2+5)或(2,2-5).【解析】【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；根据顶点式解析式，可得顶点坐标；(2)根据勾股定理及逆定理，可得OMC=90，根据正切函数，可得答案；(3)根据相似三角形的判定与性质，可得P
19、M的值，可得M点坐标【详解】(1)由抛物线y=a(x-2)2-1过点C(4,3)，得3=a(4-2)2-1，解得a=1，抛物线的解析式为y=(x-2)2-1，顶点M的坐标为(2,-1)；(2)如图1，连接OM，OC2=32+42=25，OM2=22+12=5，CM2=22+42=20，CM2+OM2=OC2，OMC=90，OM=5，CM=25，tanOCM=OMCM=525=12；(3)如图2，过C作CN对称轴，垂足N在对称轴上，取一点E，使EN=CN=2，连接CE，EM=6当y=0时，(x-2)2-1=0，解得的x1=1，x2=3，A(1,0)，B(3,0)CN=EN，CEP=PMB=CPB
20、=45，EPB=EPC+CPB=PMB+PBM，EPC=PBM，CEPPMB，EPMB=CEPM，易知MB=2，CE=22，6-PM2=22PM，解得PM=35，P点坐标为(2,2+5)或(2,2-5).【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线面构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题19(1)y=34x2+94x+3；(2) 当a=2时，DE取最大值，最大值是125；（3）存在点D，使得CDE中有一个角与CFO相等，点D的横坐标为73或10733【解析】【分析】（
21、1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据正切函数，可得CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案【详解】（1）由题意，得a-b+c016a+4b+c0c3，解得a-34b94c3，抛物线的函数表达式为y=-34x2+94x+3；（2）设直线BC的解析是为y=kx+b，4k+b0b3，解得k-34b3，y=-34x+3，设D（a，-34a2+94a+3），（0a4），过点D作DMx轴
22、交BC于M点，如图1M（a，-34a+3），DM=（-34a2+94a+3）-（-34a+3）=-34a2+3a，DME=OCB，DEM=BOC，DEMBOC，DEDM=OBBC，OB=4，OC=3，BC=5，DE=45DMDE=-35a2+125a=-35（a-2）2+125，当a=2时，DE取最大值，最大值是125，（3）假设存在这样的点D，CDE使得中有一个角与CFO相等，点F为AB的中点，OF=32，tanCFO=OCOF=2，过点B作BGBC，交CD的延长线于G点，过点G作GHx轴，垂足为H，如图2若DCE=CFO，tanDCE=GBBC=2，BG=10，GBHBCO，GHBO=HB
23、OC=GBBC GH=8，BH=6，G（10，8），设直线CG的解析式为y=kx+b，b310k+b8，解得k12b3，直线CG的解析式为y=12x+3，y12x+3y-34x2+94x+3，解得x=73，或x=0（舍）若CDE=CFO，同理可得BG=52，GH=2，BH=32，G（112，2），同理可得，直线CG的解析是为y=-211x+3，y-211x+3y-34x2+94x+3，解得x=10733或x=0（舍），综上所述，存在点D，使得CDE中有一个角与CFO相等，点D的横坐标为73或10733【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出DE的长，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，利用了待定系数法求函数解析式，解方程组求得横坐标
