1、甘肃省民乐县第一中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）；.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】先确定集合的元素，然后根据元素与集合、集合与集合的关系逐一判断即可【详解】因为，对于，显然正确；对于，是集合与集合之间的关系，显然用不对；对于，根据空集是任何集合的子集知正确；对于，根据子集的定义知正确故选：C【点睛】本题主要考查元素与集合、集合与集合的关系，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题2. 函
2、数的定义域为（ ）A. B. C. ，且D. ，且【答案】D【解析】【分析】可看出，要使得有意义，需满足，然后解出的范围即可【详解】解：要使有意义，则，解得且，的定义域为，且故选：3. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. 和B. 和C. 和 D. 和【答案】D【解析】【详解】【分析】对于A，和 定义域不相同，不是同一函数；对于B，和定义域不相同，不是同一函数；对于C， 和定义域不相同，不是同一函数；对于D，和定义域相同，对应法则相同，是同一函数故选D点睛：判断两个函数是否为同一函数需要注意三点：第一点抓定义域是否相同；第二点抓对应法则是否相同；第三点抓值域是否相同.一般只需考虑前两个即
3、可.4. 已知函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（ ）A. 2B. -1C. -1或2D. -2【答案】A【解析】【分析】由幂函数的概念,可得,求出的值,并验证是否在上为增函数即可.【详解】函数是幂函数,解得或.若,则,函数在上为增函数,符合题意;若,则,函数在上为减函数,不符合题意,舍去.故实数值是2.故选:A.【点睛】本题考查幂函数概念的应用,考查函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.5. 已知函数f（x）7ax1的图象恒过点P，则P点的坐标是（ ）A. （1,8）B. （1,7）C. （0,8）D. （8,0）【答案】A【解析】【详解】【分析】试题分析：当时 ，
4、此时，过定点（1,8） 考点：指数函数性质6. 若,则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】,故选A.7. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）A. 是偶函数，单调递增区间是B. 是偶函数，单调递减区间是C. 是奇函数，单调递减区间是D. 是奇函数，单调递增区间是【答案】C【解析】【分析】由函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，结合分段函数、二次函数的性质可判断函数的单调性，即可得解.【详解】函数的定义域为R，因为，所以函数是奇函数；又，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；又函数连续，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，.故选：C.8. 若，则
5、取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由对数函数的性质可得，即可得解.【详解】由题意，且，所以即，因为，所以，解得.故选：B.9. 设，则、的大小顺序为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性比较、三个数与和的大小，从而可得出这三个数的大小关系.【详解】由于指数函数为增函数，则.由于对数函数在上为增函数，则，即.由于对数函数在上为增函数，则，即.因此，故选A.【点睛】本题考查指数式、对数式的大小比较，一般利用中间值、，结合指数函数和对数函数的单调性来得出各数的大小关系，考查逻辑推理能力，属于中等题.10. 函数是上的偶函
6、数，且在上是增函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由偶函数的性质及函数的单调性可转化条件为，即可得解.【详解】函数是上的偶函数，且在上是增函数，在上是减函数，又等价于，或，实数的取值范围为.故选：D.11. 设，在同一直角坐标系中，函数与的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合对数函数与指数函数的性质，即可得出结果.【详解】因为，所以为增函数，过点；为增函数，过点，综上可知，B选项符合题意.故选B【点睛】本题主要考查对数函数与指数函数图像的识别，熟记对数函数与指数函数的性质即可，属于常考题型.12. 若函
7、数同时满足：（1）对于定义域上的任意，恒有；（2）对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”给出下列四个函数：；，其中被称为“理想函数”的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】首先确定“理想函数”满足的条件为奇函数；函数在定义域内为单调递增函数；进一步对这四个函数进行判断即可【详解】由（1）知：为定义域上的奇函数；由（2）知：，可知单调递增.即“理想函数”满足奇函数；函数在定义域内为单调递增函数；对于，是偶函数，在定义域内不单调递增，不是“理想函数”；对于，；满足函数是奇函数，在定义域内单调递增，为“理想函数”；对于，函数不是奇函数，不是“理想函
8、数”；对于，当时，则，又，可知为定义域上奇函数；又当时，单调递增，由奇函数性质知：在上单调递增，则在定义域内单调递增，为“理想函数”.故选：【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是能够明确新定义函数的具体要求，即函数需为奇函数且在定义域内单调递增，进而利用函数奇偶性和单调性的判断方法依次判断各个选项.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 函数的单调递减区间为_【答案】【解析】分析】根据复合函数的单调性“同增异减”判断即可【详解】令函数x2+2x3u，（u0）则ylgu是增函数，函数ux2+2x3，开口向上，对称轴为x，u0，即x2+2x30，解得：x1或x函数u在单调递减，根
9、据复合函数的单调性“同增异减”可得该函数单调递减区间为故答案为【点睛】本题考查了复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循“同增异减”，属于基础题.14. 若是一次函数，且，则 _.【答案】或【解析】【分析】可设，代入可得，可得关于与的方程，解方程可得到结论.【详解】由题意可设，又，解得或，或，故答案为或.【点睛】本题主要考查函数的解析式，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互
10、为倒数或相反数的函数解析式.15. 用表示三个数中的最大值，设，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】先求出分段函数的解析式，确定函数的单调性，然后解不等式，【详解】作出函数的图象，如图，由得，由得，在上递减，在上递增，或，不等式的解集为故答案为：【点睛】本题考查新定义函数，解函数不等式，解题关键是确定新函数的解析式，由数形结合思想很容易得结论16. 设是两个非空集合，定义集合间的一种运算“”：，如果，则_.【答案】【解析】【分析】根据函数性质求值域，解出两个集合，再根据新定义运算求交集并集，进而求解【详解】对于P集合，即对于Q集合，即，则故答案为：【点睛】本题考查函数的值域求法观察法，
11、集合的交集并集运算，新定义题型，属中等题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 化简:（1）（2）【答案】（1）4；(2)【解析】【分析】（1）根据实数指数幂的运算性质，即可求解；（2）由对数的运算性质，即可求解【详解】（1）由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得（2）由对数的运算性质，可得【点睛】本题主要考查了实数指数幂的运算性质，对数的运算性质的应用，其中解答中熟记实数指数幂和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题18. 设函数的定义域为A，集合.（1）；（2）若集合是的子集，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2
12、）.【解析】【分析】（1）由函数的定义域、指数函数的性质可得，再由集合的并集运算即可得解；（2）由集合的交集运算可得，再由集合的关系可得，即可得解.【详解】由可得，所以，（1）所以；（2）因为，所以，所以，解得，所以实数a的取值范围为.【点睛】本题考查了函数定义域及指数不等式的求解，考查了集合的运算及根据集合间的关系求参数，属于基础题.19. 已知定义在上的函数是偶函数，且时，.（1）当时，求解析式；（2）写出的单调递增区间.【答案】（1）时，；（2）和.【解析】【分析】（1）设，得，可求出的表达式，然后利用偶函数的性质得出得出函数在的解析式；（2）利用复合函数同增异减法得出函数在上的单调增区
13、间和减区间，再利用偶函数的性质得出函数在上的增区间，于此得出函数的单调递增区间.【详解】（1）设，得，此时，由于函数是上的偶函数，则，因此，当时，；（2）当时，设，则内层函数在上的增区间为，减区间为，外层函数为增函数，由复合函数同增异减的规律可知，函数在上的的增区间为，减区间为.由于函数是上的偶函数，所以，函数在上的增区间为，因此，函数的单调递增区间为和.【点睛】本题考查偶函数解析式求解，考查复合函数单调区间的求解，考查函数的单调性与奇偶性的综合问题，解题时要注意函数奇偶性与单调性之间的关系，具体关系如下：（1）奇函数在区间和区间上具有相同的单调性；（2）偶函数在区间和区间上具有相反的单调性.
14、20. 已知函数（1）若在上是增函数，求的取值范围；（2）若，求函数在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二次函数的单调性即可求出的取值范围；（2）分，两种情况讨论函数在区间上的最大值.【详解】（1）因为，且在上是增函数，所以；（2）若，结合图象，可知：当时，即，当时，即，.【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，最值问题的求解，考查了分类讨论与数形结合的思想.21. 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若旅行团人数不超过30人，每人需交费用900元；若旅行团人数超过30人，则给予优惠：每多1人，人均费用减少10元，直到达到规定人数75人为止.旅行社需支付各种费用
15、共计15000元.（1）写出每人需交费用关于旅行团人数的函数；（2）旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润?最大利润是多少?【答案】（1），；（2）旅行团人数为60人时，旅行社可获得最大利润，最大利润是21000元.【解析】【分析】（1）由题中的等量关系运算即可得解；（2）写出利润的函数解析式，结合分段函数的最值即可得解.【详解】（1）由题意，即，；（2）设旅行社可获得利润为，则，所以，当时，为增函数，所以当时，；当时，所以当时，；所以当旅行团人数为60人时，旅行社可获得最大利润，最大利润是21000元.22. 已知为正数，函数.（）解不等式；（）若对任意的实数总存在，使得对任意恒成立，求实
16、数的最小值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）对化简，因式分解可得出，解对数不等式即可.（）先求函数，在上的最大值.则题目转化为，恒成立，求a得的最小值，可知对称轴为，只需讨论和，分别求出，化简不等式，求范围即可，最后得出和，由于t的任意性，取交集即可.【详解】（）.解得即.（）因为，故.即，恒成立.又对称轴.又区间关于对称，故只需考虑的情况即可.当，即时，易得，故即，又.故，解得.当，即时，易得，即.化简得，即，所以.综上所述， 故实数的最小值为【点睛】本题主要考查了与二次函数的复合函数有关的问题，需要理解题意明确求最值，同时注意分析对称轴与区间的位置关系，再分情况进行讨论求最值即可.属于难题.
