1、2.3.1 平面向量基本定理 过程与方法借助于由特殊到一般的方式得出平面向量基本定理的过程，培养分析问题和解决问题的能力。二、教学过程设计教学环节教 学 内 容教师活动学生活动设计意图（一）提出问题，导入新课提出问题：如图所示，ABCD的对角线AC和BD交于点M，已知，,探究能否用，表示？前面我们已经学习了向量共线定理，知道了如果与（）是共线向量有且只有一个实数，使得（）。所以，在这一问题中，由与共线，因此有，再由向量的加法可得，即有动手操作：请大家继续做出向量思考：一般地，能否用这两个已知的向量，来表示该平面上的任意一个未知的向量呢？如果可以，那么就可以实现用有限的两个已知向量来驾驭无数个未
2、知的向量这一化繁为简的目的，这正是数学家的追求！教师引导学生思考问题，引出本节课的教学内容。学生听讲并思考，接下来动手操作。经过之前几节课的学习，学生已经基本掌握了向量的线性运算及加减法元算，此处的思考题意在使学生更深入地思考：是否任意的向量都可以用任意的两个向量来表示，进而说明了平面向量基本定理的必要性。（二）探索发现先来看一下大家比较熟悉的一个物理问题：播放导弹升空片段的视频。（1分钟）对于导弹在升空的某一时刻的速度，我们一般把它分解成竖直方向和水平方向两个分速度，如图所示的速度，我们该如何用、表示呢？运用前面学过的三角形法则，我们有，再根据向量共线定理，我们发现与共线，方向相同且长度刚好
3、等于我们规定的单位向量的长度的6倍，因此有；而=，所以，我们可以得到，于是有。1）如果我把两个向量、改为如下图所示的向量、，那么又如何用、表示向量呢？这里，我们仍用三角形法则，可以得到，此时仍与共线，且方向相同，但由于单位向量的长度发生了改变，因此，此时，同样地，竖直方向上，于是。2）现在我把向量的方向改变一下，如下图，这两个向量分别该如何分解和表示呢？我们先看第一个图，同样地，我们用三角形法则，如图分解。易得，而与反向，且长度是其4倍，因此。于是，。下面这个向量大家能用、来表示吗？请一个同学上台来尝试一下，其他同学在老师发的坐标纸上练习。3）经过前面的探索，我们发现，只要两个单位向量相互垂直
4、，不管所要表示的向量如何，我们都可以顺利地把它用两个单位向量表示出来。如果我改变、的方向，它们现在不垂直也不共线，同学们还能正确分解和表示下面这个向量吗？我们还是可以用三角形法则，然后根据两个向量与单位向量长度和方向的关系，把这个向量分解出来，得到。经过前面这一系列的探讨，我们发现，只要是这三个向量共起点，不管是改变我们所要表示的向量，还是改变单位向量的方向或者大小，我们都能够顺利地构造出一个三角形，并且把给出的向量用两个单位向量表示出来。那么，对于图中给出的三个向量，大家能不能用与来表示呢？ 面对一个比较难的问题，我们要学会将它转化为一个简单的问题或者一个已经解决的问题。这一问题与前面问题的
5、差异是这三个向量不共点，我们把这几个向量移到同一个起点O处，事实上，也是通过O点作两个相等的向量。接下来还是利用三角形法则，将分解成两个分别与，共线的向量的和，如图所示，再利用向量共线定理，可得，。即。教师层层设问，把学生带入问题情境中学生按照老师指示作图，回答问题。先在直角坐标系中分解速度，进而改变基底的单位长度，改变速度的方向和大小，最后改变基底的方向，让学生体会并发现只要两个基底不共线，无论其大小方向如何，平面上的任何一个向量都可以用这两个基底线性表示。进而推及一般的情况，让学生尝试作图，培养学生的迁移能力。（三）得出定理通过前面一阶段的探索和发现，学生可以归纳总结，得出结论：如果，是同
6、一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有一对实数，使。此时教师通过几何画板演示任意性，并让学生进一步发现这种表示方法的唯一性。以下是几何画板动画过程的截图。进而得出本节课的重点内容平面向量基本定理：如果，是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。 接下来介绍相关的定义。我们把不共线的向量， 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。不共线向量有不同方向，他们的位置关系可以用夹角来表示，引入夹角概念。如果，共线，那么情况会怎么样？过点分别作，的平行线，显然，当，共线时，平面内与之不共线的向量无法用它们线性表示。教师引导学生得出定理的内容，并给
7、出相关的定义。学生通过前面环节的发现，得出平面向量基本定理，听讲并掌握定理的主要内容。解决课堂一开始提出的问题，顺便也带出了本节课的重点内容，即平面向量基本定理，符合学生的认知水平的发展。（四）牛刀小试例题：对于平面上四点A、B、C、D，选定该平面内的一组基底、，如果，那么，试判断A,B,D是否三点共线？ 分析：要判断A、B、D三点共线，只需判断两个向量和共线即可。 如何表示这两个向量呢？通过这节课的学习，我们知道，我们已经在该平面上找一组基底，如上图所示的，那么和就可以用这组基底线性表示。已经在题目中给出表示结果，那么呢？根据向量加法，我们不难算得，将已知代入计算，可得 ， 于是， 。因此，
8、由向量共线定理可以判断A、B、D三点共线。 通过这个例题我们发现，向量是一个如此神奇的东西，它用代数的知识就能简单且巧妙地把一个几何问题给解决了。就像一座桥，把代数和几何给连接了起来，其实，这也正是我们平常所说的“数形结合”的思想方法啊！教师分析题目学生思考作答本题是平面向量基本定理的一个实际应用题，实际上这道题目也体现了向量在几何和代数上的桥梁作用。有利于学生更充分认识向量的应用价值。（五）小结与思考这节课我们有了一个重大发现：大家想象一下，平面内有多少向量？是的，尽管平面内的向量各种各样、大大小小、千千万万、数不胜数，但它们竟然都可以只用两个不共线的向量线性表示出来，而且表示竟然是唯一的！
9、这充分表明：尽管数学世界纷繁复杂，可神奇的是她居然暗藏着统一。数学是如此精确，如此概括，如此统一，如此令我们如痴如醉！平面向量基本定理把平面内的所有向量都用两个不共线的向量联系到了一起，巧妙地把几何和代数联系到了一起，这就是数形结合的思想。问题与思考：1）如图所示，D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB的中点，G是ABC的重心，请将、用、表示出来，并探究、之间有什么关系？2）你能用向量的方法探究三角形内部的其他一些特殊点的性质吗？教师总结学生听讲1、总结平面向量基本定理的重要地位。2、设计问题与思考目的是培养学生的数学探究能力，进一步体会向量在几何问题解决中的作用。三、【板书设计】作 图 区作 图 区平面向量基本定理： （定理内容）2.3.1 平面向量基本定理
