1、第1页专项检测十 直线与圆第2页一、选择题1已知命题 p：“m1”，命题 q：“直线 xy0 与直线 xm2y0 互相垂直”，则命题 p 是命题 q 的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A解析：“直线 xy0 与直线 xm2y0 互相垂直”的充要条件是 11(1)m20m1.命题 p 是命题 q 的充分不必要条件第3页2过点(3,1)作圆(x1)2y2r2 的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A2xy50 B2xy70Cx2y50 Dx2y70B解析：依题意知，点(3,1)在圆(x1)2y2r2 上，且为切点圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12
2、，所以切线的斜率 k2.故过点(3,1)的切线方程为 y12(x3)，即 2xy70.第4页3(2019河北省九校联考)圆 C 的半径为 2，圆心在 x 轴的正半轴上，直线 3x4y40 与圆 C 相切，则圆 C 的方程为()Ax2y22x30 Bx2y24x0Cx2y24x0Dx2y22x30C解析：由题意设所求圆的方程为(xm)2y24(m0)，则|3m4|32422，解得 m2 或 m143(舍去)，故所求圆的方程为(x2)2y24，即 x2y24x0.故选 C.第5页4(2019重庆市七校联考)两圆 x2y24x4y0 和 x2y22x80 相交于两点 M，N，则线段 MN 的长为()
3、A.3 55B4C.6 55D.12 55D第6页解析：两圆方程相减，得直线 MN 的方程为 x2y40，圆 x2y22x80 的标准形式为(x1)2y29，所以圆 x2y22x80 的圆心为(1,0)，半径为 3，圆心(1,0)到直线 MN 的距离 d 35，所以线段 MN 的长为 232 35212 55.故选 D.第7页5(2019昆明市教学质量检测)已知直线 yax 与圆 C：x2y26y60 相交于 A，B 两点，C 为圆心若ABC 为等边三角形，则 a 的值为()A1B1C.3D 3D第8页解析：圆的方程可以化为 x2(y3)23，圆心为 C(0,3)，半径为 3，根据ABC 为等
4、边三角形可知 ABACBC 3，所以圆心 C(0,3)到直线 yax 的距离 d 32 332，所以32|a03|a21 2 a21a 3.第9页6(2019成都市第二次诊断性检测)已知 aR 且为常数，圆 C：x22xy22ay0，过圆 C 内一点(1,2)的直线 l 与圆 C相交于 A，B 两点当ACB 最小时，直线 l 的方程为 2xy0，则 a 的值为()A2B3C4D5B第10页解析：圆的方程配方，得(x1)2(ya)21a2，圆心为C(1，a)，当弦 AB 长度最短时，ACB 最小，此时圆心 C与定点(1,2)的连线和直线 2xy0 垂直，所以 a21121，a3.第11页二、填空
5、题7(2019长春市质量监测)若直线 l：y 33 x2 与圆 C：x2y24 相交于 A，B 两点，则线段 AB 中点的坐标为_(32，32)第12页解析：解法 1：由题意，联立得y 33 x2，x2y24，消元得43x24 33 x0，解得 x0 或 x 3，所以 A，B 两点的坐标分别为(0,2)，(3，1)，所以线段 AB 中点的坐标为(32，32)第13页解法 2：由题意知，圆心 C 与坐标原点 O 重合，设线段AB 的中点为 D，则直线 OD 与直线 l 垂直，所以直线 OD 的方程为 y 3x.联立得y 33 x2，y 3x，解得x 32，y32，所以线段 AB 中点的坐标为(3
6、2，32)第14页8过点(1,1)的直线 l 与圆(x2)2(y3)29 相交于 A，B两点，当|AB|4 时，直线 l 的方程为_.x2y30解析：易知点(1,1)在圆内，且直线 l 的斜率 k 存在，则直线l 的方程为 y1k(x1)，即 kxy1k0.又|AB|4，r3，圆心(2,3)到 l 的距离 d 3222 5.因此|k2|k212 5，解得 k12.直线 l 的方程为 x2y30.第15页9某学校有 2 500 名学生，其中高一 1 000 人，高二 900人，高三 600 人，为了了解学生的身体健康状况，采用分层抽样的方法，若从本校学生中抽取 100 人，从高一和高三抽取样本数
7、分别为 a，b，且直线 axby80 与以 A(1，1)为圆心的圆交于 B，C 两点，且BAC120，则圆 C 的方程为_.(x1)2(y1)21817第16页解析：由题意，1002 500a1 000 b600，a40，b24，直线 axby80，即 5x3y10，A(1，1)到直线的距离为|531|259 334，直线 axby80 与以 A(1，1)为圆心的圆交于 B，C 两点，且BAC120，r 634，圆 C 的方程为(x1)2(y1)21817.第17页三、解答题10已知点 A(3,3)，B(5,2)到直线 l 的距离相等，且直线 l经过两直线 l1：3xy10 和 l2：xy30
8、 的交点，求直线 l 的方程第18页解：解方程组3xy10，xy30，得x1，y2，即 l1 与 l2 的交点 P(1,2)若点 A，B 在直线 l 的同侧，则 lAB.而 kAB323512，由点斜式得直线 l 的方程为 y212(x1)，即 x2y50.第19页若点 A，B 分别在直线 l 的异侧，则直线 l 经过线段 AB 的中点4，52，由两点式得直线 l 的方程为y2x152241，即 x6y110.综上所述，直线 l 的方程为 x2y50 或 x6y110.第20页11已知以点 A(1,2)为圆心的圆与直线 l1：x2y70相切过点 B(2,0)的动直线 l 与圆 A 相交于 M，
9、N 两点(1)求圆 A 的方程；(2)当|MN|2 19时，求直线 l 的方程解：(1)设圆 A 的半径为 R.因为圆 A 与直线 l1：x2y70 相切，所以 R|147|52 5.所以圆 A 的方程为(x1)2(y2)220.第21页(2)当直线 l 与 x 轴垂直时，易知 x2 符合题意；当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0.由于|MN|2 19，于是|k22k|k212(19)220，解得k34，此时，直线 l 的方程为 3x4y60.所以所求直线 l 的方程为 x2 或 3x4y60.第22页12已知圆 C：x2y22x4y30，从圆
10、C 外一点 P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为 M，O 为坐标原点，且有|PM|PO|，求使|PM|取得最小值时点 P 的坐标解：圆 C 的方程为(x1)2(y2)22，圆心 C(1,2)，半径 r 2.由|PM|PO|，得|PO|2|PM|2|PC|2|CM|2，x21y21(x11)2(y12)22.整理，得 2x14y130，第23页即点 P 在直线 l：2x4y30 上当|PM|取最小值时，|PO|取最小值，此时直线 POl，直线 PO 的方程为 2xy0.解方程组2xy0，2x4y30，得x 310，y35，故使|PM|取得最小值时，点 P 的坐标为 310，35.第24页13
11、(2019沈阳质量监测)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点 A，B 距离之比是常数(0，1)的点 M 的轨迹是圆若两定点 A，B 的距离为 3，动点 M 满足|MA|2|MB|，则 M 点的轨迹围成区域的面积为()AB2C3D4D第25页解析：以 A 点为原点，直线 AB 为 x 轴建立平面直角坐标系，则可取 B(3,0)设 M(x，y)，依题意有，x2y2x32y22，化简整理得，x2y28x120，即(x4)2y24，圆的面积为 4.故选 D.第26页14(2019广东省七校联合体联考)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 B，C 分别在
12、x 轴和 y 轴的非负半轴上，点 A 在第一象限，且BAC90，ABAC4，则()AOA 的最大值是 4 2，最小值是 4BOA 的最大值是 8，最小值是 4COA 的最大值是 4 2，最小值是 2DOA 的最大值是 8，最小值是 2A第27页解析：因为BAC90，BOC90，所以 O，B，A，C 四点共圆，且在以 BC 为直径的圆上又 ABAC4，所以BC4 2.因此当 OA 为圆的直径时，OA 取得最大值，为 4 2，如图 1 所示；当点 B(或点 C)与原点 O 重合时，OA 取得最小值，为 4，如图 2 所示故选 A.第28页15(2019成都市第二次诊断性检测)在平面直角坐标系xOy
13、 中，定义两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)间的折线距离为 d(A，B)|x1x2|y1y2|.已知点 O(0,0)，C(x，y)，d(O，C)1，则x2y2的取值范围是_ 22，1第29页解析：根据定义有：d(O，C)|0 x|0y|1，即|x|y|1，该 方 程 等 价 于x0，y0，xy1或x0，y0，xy1或x0，y0，xy1或xb0)，F1，F2 为其左、右焦点，B1，B2 为其上、下顶点，四边形 F1B1F2B2的面积为 2.点 P 为椭圆 E 上任意一点，以 P 为圆心的圆(记为圆 P)总经过坐标原点 O.(1)求椭圆 E 的长轴 A1A2 的长的最小值，并确定此时椭圆 E
14、的方程(2)对于(1)中确定的椭圆 E，若给定圆 F1：(x1)2y23，则圆 P 和圆 F1 的公共弦 MN 的长是否为定值？如果是，求|MN|的值；如果不是，请说明理由第31页解：(1)依题意四边形 F1B1F2B2 的面积为 2bc，所以 2bc2.因为|A1A2|2a2b2c22 2bc2 2，当且仅当 bc1时取“”，此时 a 2，所以长轴 A1A2 的长的最小值为 2 2，此时椭圆 E 的方程为x22y21.(2)设点 P(x0，y0)，则x202 y201y201x202.圆 P 的方程为(xx0)2(yy0)2x20y20，即 x2y22x0 x2y0y0，第32页圆 F1 的方程为(x1)2y23，即 x2y22x20，得公共弦 MN 所在直线的方程为(x01)xy0y10，所以点 F1 到公共弦 MN 的距离 d|x02|x012y20|x02|x012112x20|x02|12x202x02 2，则|MN|2 3d22，所以圆 P 和圆 F1 的公共弦 MN 的长为定值 2.
