1、2016-2017学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（理科）一.选择题（每题5分）1在复平面内复数z=对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2对具有线性相关关系的两个变量x和y，测得一组数据如下表所示：x24568y20406070m根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y=10.5x+1.5，则m=（）A85.5B80C85D903用数学归纳法证明不等式“1+n（nN*，n2）”时，由n=k（k2）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A2k1B2k1C2kD2k+14设m=3（x2+sinx）dx，则多项式（x+）6的常数项（）ABCD5将4本完
2、全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A24种B28种C32种D16种62015年6月20日是我们的传统节日”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）ABCD7函数f（x）=x+sinx在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）ABCD8某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，则3个人中有2个人成功咨询的概率是（）ABCD9九章算术中有如下问题：“今
3、有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）ABCD10设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR），若函数y=f（x）ex在x=1处取得极值，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）ABCD11不等式|x+3|x1|a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A（，14，+）B（，25，+）C1，2D（，12，+）12设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2017
4、）2f（x+2017）9f（3）0的解集（）A（，2010）B（，2014）C（2014，0）D（2020，0）二.填空题1336的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2232，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+23+232）+（22+223+2232）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为 14四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是 15若ba1且3logab+6logba=11，则的最小值为 16已知函数f
5、（x）=+lnx，则f（x）在，2上的最大值等于 三.解答题17已知函数f（x）=ax3bx+2（a0）（1）在x=1时有极值0，试求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）在x=2处的切线方程18某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比实验甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在60，100区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如图，两个班人数均为60人，成绩80分及以上为优良（1）根据以上信息填好22联表，并判断出有多大的把握认为学生（2）成绩优良与班级有关？（3）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选
6、3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率（以下临界值及公式仅供参考）P（k2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=，n=a+b+c+d19已知函数f（x）=|2x+1|x2|，不等式f（x）2的解集为M（1）求M；（2）记集合M的最大元素为m，若正数a，b，c满足a2+3b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值20在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=1（）分别写出C1的极坐标方
7、程和C2的直角坐标方程；（）若射线l的极坐标方程=（0），且l分别交曲线C1、C2于A、B两点，求|AB|21为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为Sn”（1）求S6=20且Si0（i=1，2，3）的概率；（2）记X=|S5|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）22已知函数f（x）=alnx（a+2）x+x2（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意a4，10，x1，x21，2，恒有|成立，
8、试求的取值范围2016-2017学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每题5分）1在复平面内复数z=对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出【解答】解：复数z=2+i在复平面内对应的点的坐标（2，1）复平面内复数z=对应的点在第一象限，故选：A2对具有线性相关关系的两个变量x和y，测得一组数据如下表所示：x24568y20406070m根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为y=10.5x+1.5，则m=（）A85.5B80C85D90【考点】BK：线性回
9、归方程【分析】求出横标，代入线性回归方程，求出纵标的平均数，解方程求出m【解答】解： =5，回归直线方程为y=10.5x+1.5，=54，554=20+40+60+70+m，m=80，故选：B3用数学归纳法证明不等式“1+n（nN*，n2）”时，由n=k（k2）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A2k1B2k1C2kD2k+1【考点】RG：数学归纳法【分析】分别写出n=k和n=k+1时，不等式左边的所有项，根据分母特点计算多出的项数【解答】解：n=k时，左边=1+，当n=k+1时，左边=1+左边增加的项数为2k+11（2k1）=2k+12k=2k故选：C4设m=3（x2+si
10、nx）dx，则多项式（x+）6的常数项（）ABCD【考点】67：定积分【分析】利用微积分基本定理化简可知m=2，再求出通项公式，令6r=0，解得r=4，即可求出答案【解答】解：设m=3（x2+sinx）dx=3（x3cosx）|=3（cos1+cos1）=2，多项式（x+）6的通项为Tr+1=（）rC6rx，令6r=0，解得r=4，多项式（x+）6的常数项为（）4C64=，故选：D5将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A24种B28种C32种D16种【考点】D3：计数原理的应用【分析】分二类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本小说，
11、根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，每位同学各分1本小说，再把1本诗集全部分给4名同学任意一个，共有4种方法，第二类，这本诗集单独分给其中一位同学，4相同的小说，分给另外3个同学，共有C41C31=12种，根据分类计数原理，共有4+12=16种，故选：D62015年6月20日是我们的传统节日”端午节”，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B=“取到的两个都是豆沙馅”，则P（B|A）=（）ABCD【考点】CM：条件概率与独立事件【分析】求出P（A）=，P（AB）=，利用P（B|A）=，可得结论【解答】解：由题意，
12、P（A）=，P（AB）=，P（B|A）=，故选：A7函数f（x）=x+sinx在x=处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）ABCD【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，可得切线的方程，求得x，y轴的截距，运用三角形的面积公式，计算即可得到所求值【解答】解：f（x）=x+sinx，则f（x）=1+cosx，则，而，故切线方程为令x=0，可得y=1；令y=0，可得x=1故切线与两坐标围成的三角形面积为故选A8某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，则3个人中有2个人成功咨询的概率是
13、（）ABCD【考点】C5：互斥事件的概率加法公式【分析】利用n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出3个人中有2个人成功咨询的概率【解答】解：某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，则3个人中有2个人成功咨询的概率：P=故选：C9九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）ABCD【考点】CE：模拟方法估计概率【分析】求出内切圆半径，计算内切圆和
14、三角形的面积，从而得出答案【解答】解：直角三角形的斜边长为=17，设内切圆的半径为r，则8r+15r=17，解得r=3内切圆的面积为r2=9，豆子落在内切圆外部的概率P=1=1故选：D10设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，cR），若函数y=f（x）ex在x=1处取得极值，则下列图象不可能为y=f（x）的图象是（）ABCD【考点】6D：利用导数研究函数的极值；3O：函数的图象【分析】先求出函数f（x）ex的导函数，利用x=1为函数f（x）ex的一个极值点可得a，b，c之间的关系，再代入函数f（x）=ax2+bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可【解答】解：由y=f（x）ex=
15、ex（ax2+bx+c）y=f（x）ex+exf（x）=exax2+（b+2a）x+b+c，由x=1为函数f（x）ex的一个极值点可得，1是方程ax2+（b+2a）x+b+c=0的一个根，所以有a（b+2a）+b+c=0c=a所以函数f（x）=ax2+bx+a，对称轴为x=，且f（1）=2ab，f（0）=a对于A，由图得a0，f（0）0，f（1）=0，不矛盾，对于B，由图得a0，f（0）0，f（1）=0，不矛盾，对于C，由图得a0，f（0）0，x=0b0f（1）0，不矛盾，对于D，由图得a0，f（0）0，x=1b2af（1）0与原图中f（1）0矛盾，D不对故选：D11不等式|x+3|x1|a2
16、3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A（，14，+）B（，25，+）C1，2D（，12，+）【考点】R5：绝对值不等式的解法【分析】利用绝对值的几何意义，求出|x+3|x1|的最大值不大于a23a，求出a的范围【解答】解：因为|x+3|x1|4对|x+3|x1|a23a对任意x恒成立，所以a23a4即a23a40，解得a4或a1故选A12设函数f（x）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为f（x），且有2f（x）+xf（x）x2，则不等式（x+2017）2f（x+2017）9f（3）0的解集（）A（，2010）B（，2014）C（2014，0）D（2020，0）【考点】6B：利用
17、导数研究函数的单调性【分析】根据题意，令g（x）=x2f（x），x（，0），对g（x）求导分析可得g（x）在（，0）递减，原问题转化为gg（3），根据函数的单调性得到关于x的不等式组，解出即可【解答】解：根据题意，令g（x）=x2f（x），x（，0），故g（x）=x2f（x）+xf（x），而2f（x）+xf（x）x2，故x0时，g（x）0，g（x）递减，（x+2017）2f（x+2017）9f（3）0，即（x+2017）2f（x+2017）（3）2f（3），则有g（x+2017）g（3），则有x+20173，解可得x2020；即不等式（x+2017）2f（x+2017）9f（3）0的解集为（，
18、2010）；故选：A二.填空题1336的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=2232，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+23+232）+（22+223+2232）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为465【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】这是一个类比推理的问题，在类比推理中，参照上述方法，200的所有正约数之和可按如下方法得到：因为200=2352，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52），即可得出答案【解答】解：类比36的所有正约数之和的方法，有：200的所有正约数之和可按如下方法得到：因
19、为200=2352，所以200的所有正约数之和为（1+2+22+23）（1+5+52）=465可求得200的所有正约数之和为465故答案为：46514四根绳子上共挂有10只气球，绳子上的球数依次为1，2，3，4，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是12600【考点】F4：进行简单的合情推理【分析】将气球进行编号，则下方气球号码小于上方气球号码的编号方法即为打破气球的方法数使用排列数公式进行计算即可【解答】解：将10个气球进行编号110，则下方气球号码小于上方气球号码的排列方法种数就是打破气球的方法数不同的打破方法有=12600种故答案为：
20、1260015若ba1且3logab+6logba=11，则的最小值为【考点】7F：基本不等式【分析】根据对数的运算，求出a3=b，根据基本不等式的性质求出其最小值即可【解答】解：3logab+6logba=11，（3logab2）（logab3）=0，ba1，logab=3，a3=b，=b1+12+1=2+1，故答案为：2+116已知函数f（x）=+lnx，则f（x）在，2上的最大值等于1ln2【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值【分析】求出导函数，从而确定函数的单调性，进而求函数的最值【解答】解：函数f（x）=+lnx，f（x）=+=，故f（x）在，1上单调递减，在1，2单调递增，又
21、f（）=1ln2，f（2）=ln2，f（1）=0，f（）f（2）=2ln20，故fmax（x）=1ln2，故答案为：1ln2三.解答题17已知函数f（x）=ax3bx+2（a0）（1）在x=1时有极值0，试求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）在x=2处的切线方程【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D：利用导数研究函数的极值【分析】（1）求出f（x）的导数，可得f（1）=0，且f（1）=0，得到a，b的方程，解方程可得a，b的值，进而得到f（x）的解析式；（2）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求切线的方程【解答】解：（1）函数f（x）=ax3bx+
22、2的导数为f（x）=3ax2b，在x=1时有极值0，可得f（1）=0，且f（1）=0，即为ab+2=0，且3ab=0，解得a=1，b=3，可得f（x）=x33x+2；（2）f（x）=3ax2b，可得f（x）在x=2处的切线斜率为12ab，切点为（2，8a2b+2），即有f（x）在x=2处的切线方程为y（8a2b+2）=（12ab）（x2），化为（12ab）xy16a+2=018某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比实验甲班采用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在60，100区间内（满分100分），并绘制频率分布直方图如图，两个班人数均
23、为60人，成绩80分及以上为优良（1）根据以上信息填好22联表，并判断出有多大的把握认为学生（2）成绩优良与班级有关？（3）以班级分层抽样，抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率（以下临界值及公式仅供参考）P（k2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=，n=a+b+c+d【考点】BO：独立性检验的应用【分析】（1）根据题意，计算甲班、乙班优良人数，填好22联表；（2）由（1）中表格的数据计算K2，对照临界值即可得出结论；（3）
24、根据分层抽样方法，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值【解答】解：（1）根据题意，计算甲班优良人数为6010（+）=30，乙班优良人数为6010（+）=20，填好22联表如下：优良不优良总计甲班303060乙班204060总计5070120（2）由（1）中表格的数据知，计算K2=3.429，K23.4292.706，有90%的把握认为学生成绩优良与班级之间有关系；（3）根据分层抽样知甲班抽取3人，记作A1，A2，A3，乙班抽取2人，记作B1，B2；从中任意抽取3人，有A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A2B1B
25、2，A3B1B210种情形，其中至少有2人来自甲班的有7种情形，则至少有2人来自甲班的概率为P=19已知函数f（x）=|2x+1|x2|，不等式f（x）2的解集为M（1）求M；（2）记集合M的最大元素为m，若正数a，b，c满足a2+3b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，求出不等式f（x）2的解集为M（ 2）由（1）知m=1，可得a2+3b2+2c2=1，利用基本不等式求ab+2bc的最大值【解答】解：（1）不等式f（x）2，即|2x+1|x2|2，即；或；或解求得5x；解求得x1；解求得 x综合可得
26、，不等式f（x）2的解集为M=x|5x1（2）由（1）可得M中的最大元素m=1，故有 a2+3b2+2c2=m=1，ab+2bc+b2+c2=，当且仅当a=b时，等号成立，故ab+2bc的最大值为20在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为=1（）分别写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（）若射线l的极坐标方程=（0），且l分别交曲线C1、C2于A、B两点，求|AB|【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（） 将C1的参数方程化为普通方程为（x1）2+y2=3，即x2
27、+y22x2=0，利用互化公式可得：C1的极坐标方程同理利用互化公式将C2的极坐标方程=1化为直角坐标方程（）将（0），代入C1：22cos2=0整理得22=0，解得：1，可得|OA|=1把射线=（0）代入C2的方程，解得2=1，即|OB|=2可得|BA|=|12|【解答】解：（） 将C1的参数方程化为普通方程为（x1）2+y2=3，即x2+y22x2=0，C1的极坐标方程为22cos2=0将C2的极坐标方程=1化为直角坐标方程为x2+y2=1（）将（0），代入C1：22cos2=0整理得22=0，解得：1=2，即|OA|=2曲线C2是圆心在原点，半径为1的圆，射线=（0）与C2相交，则2=1
28、，即|OB|=1故|BA|=|12|=21=121为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分根据以往统计，某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为Sn”（1）求S6=20且Si0（i=1，2，3）的概率；（2）记X=|S5|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列【分析】（1）当S6=20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2
29、个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个记回答每个问题正确的概率为p，则，同时回答每个问题错误的概率为，由此能求出S6=20且Si0（i=1，2，3）的概率（2）由X=|S5|可知X的取值为10，30，50，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）【解答】解：（1）当S6=20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个记回答每个问题正确的概率为p，则，同时回答每个问
30、题错误的概率为故所求概率为：（2）由X=|S5|可知X的取值为10，30，50可有，故X的分布列为：X103050PE（X）=22已知函数f（x）=alnx（a+2）x+x2（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对于任意a4，10，x1，x21，2，恒有|成立，试求的取值范围【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为2x3（a+2）x2+ax+0在x1，2恒成立，根据x的范围得2x312x2+10x+0在x1，2恒成立，设h（x）=2x312x2+10x+，根据函数的性质
31、求出的范围即可【解答】解：（1）函数的定义域是（0，+），f（x）=（a+2）+2x=，a0时，函数在（0，1）递减，在（1，+）递增，0a2时，函数在（0，），（1，+）递增，在（，1）递减，a=2时，函数在（0，+）递增，a2时，函数在（0，1），（，+）递增，在（1，）递减；（2）|成立，即|f（x1）f（x2）|恒成立，不妨设x2x1，a4，10时，f（x）在1，2递减，则f（x1）f（x2）（），得f（x1）f（x2），设g（x）=f（x）=alnx（a+2）x+x2，故对于任意的a4，10，x1，x21，2，x2x1，g（x1）g（x2）恒成立，故g（x）=f（x）在1，2递增，g（x）=0在x1，2恒成立，故2x3（a+2）x2+ax+0在x1，2恒成立，即a（x2+x）+2x32x2+0在x1，2恒成立，x1，2时，x2+x0，只需10（x2+x）+2x32x2+0在x1，2恒成立，即2x312x2+10x+0在x1，2恒成立，设h（x）=2x312x2+10x+，则h（2）=12+0，故12，故实数的范围是12，+）2017年8月10日
