1、数学试题（满分150分，考试用时120分钟）一. 单项.选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的.1. 已知集合U1,2,3,4,5,6,7，8，A2,3,4,5，B2,3,6,8，则BUA()A1,6 B1,8 C6,8 D1,6,82. 已知abi (a，bR)是的共轭复数，则ab()A1 B C. D 1 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. ； B. 命题“”的否定是“”； C. “”是“”的充分不必要条件； D. 函数在区间内有且仅有两个零点 4. 将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为则函数在上为增函数 的概率为（ ） A.
2、B. C. D. 5. 已知数列an的首项为2，且数列an满足an1，数列an的前n项的和为Sn，则S1 008等于 ()A504 B294 C294 D504 6. 如图，在同一个平面内，三个单位向量，满足条件：与的夹角为，且 tan 7，与的夹角为45.若mn (m，nR)，则mn的值为()A B C3 D7. 如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现 有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数为()A24 B.48 C96 D120 8. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足， 则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 二. 多项选择题:本
3、题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9. 下面给出了关于正态曲线的 4 个说法,其中正确的说法是（ ) A.曲线在 x 轴上方且与 x 轴不相交; B.当 x 时,曲线下降,当 x 时,曲线上升 C.当 一定时, 越小,总体分布越分散, 越大,总体分布越集中; D.曲线关于直线 x= 对称, 且当 x= 时位于最高点. () 10. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF1，则当E，F 移 动时，下列结论正确的是() AAE平面C1BD B四面体ACEF
4、的体积不为定值 C三棱锥ABEF的体积为定值 D四面体ACDF的体积不为定值 11. 已知圆C：(x3)2(y3)272，若直线l：xym0垂直于圆C的一条直径，且经过这条直径的 一个三等分点，则直线l的方程是() Axy20 Bxy40 Cxy80 Dxy100 12. 已知函数f(x)及其导数f(x)，若存在x0使得f(x0)f(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”给出下列四 个函数，其中有“巧值点”的函数是() Af(x)x2 Bf(x)ex Cf(x)ln x Df(x)tan x三. 填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 展开式中的系数为 . (用数字作答)
5、 14. A、B、C、D四位同学站成一排照相，则A、B中至少有一人站在两端的概率为_ 15. 如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕 圆锥表面爬行一周后回到点P处若该小虫爬行的最短路程为4 m，则圆锥底面圆的半径等于_ m.16. 希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A,B的 距 离之比为定值（1）的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2, 1)，B(-2, 4)，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为_；若点Q为抛物线
6、E: y2 =4x上的动点，Q在直线x= -1上的射影为H，则的最小值为 四. 解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本大题 满分10分) 在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b2ac且_ (cos B.,任选一个条件填入上空).求的值； 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 18. (本大题 满分12分)已知数列的前项和为，数列是首项为1，公差为1的等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和Tn，求Tn 19. (本大题 满分12分) 2020年春节期间，随着新型冠状病毒肺炎疫情在全国扩散，各省均启动重
7、大突发公共卫生事件一级响应，采取了一系列有效的防控措施。如测量体温、有效隔离等.(1) 现从某社区的体温登记表中随机采集100个样本。据分析，人群体温近似服从正态分布.若表示所采集100个样本的数值在之外的的个数，求及X的数学期望.(2) 疫情期间，武汉大学中南医院重症监护室（ICU）团队对138例确诊患者进行跟踪记录.为了分析并发症(complications)与重症患者(ICU)有关的可信程度，现从该团队发表在国际顶级医学期刊JAMA美国医学会杂志研究论文中获得相关数据. 请将下列22列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关”？无并发症并发症
8、合计非重症38102重症10合计64138附：若 , 则,，, .参考公式与临界值表：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82820. (本大题 满分12分) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方 形，BF平面ABCD， DE平面ABCD，BFDE，M为棱AE的中点(1)求证：平面BDM平面EFC；(2)若DE2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值 21. (本大题 满分12分) 已知椭圆的左右顶点为A，B，点P，Q为椭圆上异于A， B的两点，直线AP、BP、 BQ的斜率分别记为 （1）求的值； （2）若，
9、判断直线PQ是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由 22.（本大题 满分12分）已知函数.(是自然对数的底数) 求的单调递减区间； 若函数，证明在(0，)上只有两个零点.(参考数据：)数学参考答案一. 选择题:题号123456789101112答案CDCDCBCCABDACADAC二. 填空题:13. 14. 15. 16. 三. 解答题:17.解选由cos B，得sin B . . .2分由b2ac及正弦定理得sin2Bsin Asin C. . . .4分于是 . . . .10分选18.（1）因为数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以 . . .2分当时， . . .3
10、分当时， . . .5分当时，也符合上式所以数列的通项公式 . . .6分（2）由（1）知，. .8分所以数列的前项和 . . . .11分 故. . . .12分19. （1）由已知体温落在之内的概率为，落在之外的概率为 .2分 .4分 . .6分（2）填表如下： 无并发症并发症合计非重症6438102重症102636合计7464138. . .8分 .11分而P(K210.828)=0.001，故由独立性检验的意义可知: 能在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为“重症患者与并发症有关” . .12分20. (1)证明：连接AC交BD于点N，连接MN，则N为AC的中点，又M为AE的中点，M
11、NEC.MN平面EFC，EC平面EFC，MN平面EFC.BF，DE都与平面ABCD垂直，BFDE.BFDE，四边形BDEF为平行四边形，BDEF.BD平面EFC，EF平面EFC，BD平面EFC.又MNBDN，平面BDM平面EFC. . . .5分(2)DE平面ABCD，四边形ABCD是正方形，DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设AB2，则DE4，从而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A(2,0,0)，E(0,0,4)，(2,2,0)，(1,0,2)，设平面BDM的法向量为n(x，y，z)，则得令x2，则y2，z1，从而n(2，2，1)为平面BDM的
12、一个法向量. . .9分(2,0,4)，设直线AE与平面BDM所成的角为，则sin |cos|，. . .11分直线AE与平面BDM所成角的正弦值为. . .12分21. （1）设，则，又，则，代入上式，得. .4分（2），又由（1）知，即 .6分设直线的方程为：，设，联立得：，由D0得：，由韦达定理：，.8分，则，即：，所以：，得：或，.11分当时，直线，则直线过B（2，0），不合题意，当时，直线，则直线过定点， 直线PQ是过定点，该定点为 .12分22. (1)，定义域为.由得，解得().的单调递减区间为().5分(2)，.，当时，；当时，.在上单调递增，在上单调递减，又，在上图象大致如右图.，使得，且当或时，；当时，.在和上单调递减，在上单调递增.，.，又，由零点存在性定理得，在和内各有一个零点，函数在上有两个零点. 12分
