1、2023年湖北省高三上学期1月期末考试高三数学试卷命题学校:云梦一中 命题教师:江洪 审题学校:襄州一中考试时间:2023年1月10日上午8:00-10:00 试卷满分:150分注意事项1答卷前,考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上。2回答选择题时,选出每题答案后,用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需要改动,先用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效。一、单项选择题(共8小题,每小题5分,共计40分在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的,请把答案填涂在答题卡相应位置上)1已知集合,则A的子集共有( )个A
2、3 B4 C6 D72若复数z满足(其中i是虚数单位),复数z的共轭复数为,则( )Az的实部是 Bz的虚部是C复数在复平面内对应的点在第一象限 D32022年9月16日,接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场,歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机,它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点,歼20机身头部是一个圆锥形,这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形,则机身头部侧面积约为( )平方米A B C D4“”是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5已知是各项均
3、为正数的等差数列,为其前n项和,且,则当取最大值时,( )A10 B20 C25 D506已知,则( )A B C D7已知函数,且(其中e为自然对数的底数,为圆周率),则a,b,c的大小关系为( )A B C D82022卡塔尔世界杯比赛场地是在卡塔尔的8座体育馆举办将甲、乙、丙、丁4名裁判随机派往卢赛尔,贾努布,阿图玛玛三座体育馆进行执法,每座体育馆至少派1名裁判,A表示事件“裁判甲派往卢赛尔体有馆”;B表示事件“裁判乙派往卢赛尔体育馆”;C表示事件“裁判乙派往贾努布体育馆”,则( )A事件A与B相互独立 B事件A与C为互斥事件C D二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共计20分在每小题
4、给出的四个选项中,至少有两个是符合题目要求的,全部选对得5分,部分选对得2分,有错选得0分)9新冠肺炎疫情防控期间,进出小区、超市、学校等场所,我们都需要先进行体温检测某学校体温检测员对一周内甲,乙两名同学的体温进行了统计,其结果如图所示,则下列结论正确的是( )A乙同学体温的极差为 B甲同学体温的第三四分位数为C甲同学的体温比乙同学的体温稳定 D乙同学体温的众数,中位数,平均数都相等10已知函数的部分图象如图,则( )A函数解析式B将函数的图象向左平移个单位长度可得函数的图象C直线是函数图象的一条对称轴D函数在区间上的最小值为11设圆,直线,P为l上的动点过点P作圆O的两条切线,切点为A,B
5、,则下列说法中正确的是( )A直线l与圆O相交 B的取值范围为C存在点P,使四边形为正方形 D当点P坐标为时,直线的方程为12如图,棱长为2的正方体中,动点P满足则以下结论正确的为( )A,使直线面B直线与面所成角的正弦值为C,三棱锥体积为定值D当时,三棱锥的外接球表面积为三、填空题(共4小题,每小题5分,共计20分,请把答案填写在答题卡相应位置上)13的展开式中的系数为_(用数字作答)14若向量在向量上的投影向量为,且,则数量积_15已知双曲线右焦点为,点P,Q在双曲线上,且关于原点O对称若,且的面积为4,则双曲线的离心率_162022年12月3日,南昌市出士了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠如图
6、(1)所示。现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型准备一张圆形纸片,己知圆心为O,半径为,该纸片上的正六边形的中心为为圆O上的点,如图(2)所示分别是以为底边的等腰三角形沿虚线剪开后,分别以为折痕折起,使重合,得到六棱锥,则当六棱锥体积最大时,底面六边形的边长为_四、解答题(本大题共6小题,共计70分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题10分)己知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c;,且边,(1)求的周长;(2)若角,求的面积18(本小题12分)己知数列的前n项和为,且,_请在;成等比数列;,这三个条件中任选一个补充在上面题干中,并解答下面
7、问题(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前n项和注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分19(本小题12分)如图1,直角梯形中,E为的中点,现将沿着折叠,使,得到如图2所示的几何体,其中F为的中点,G为上一点,与交于点O,连接(1)求证:平面;(2)若面,求平面与平面的夹角20(本小题12分)皮影戏是一种民间艺术,是我国民间工艺美术与戏曲巧妙结合而成的独特艺术品种,已有千余年的历史。而皮影制作是一项复杂的制作技艺,要求制作者必须具备扎实的绘画功底和高超的雕刻技巧,以及持之以恒的毅力和韧劲。每次制作分为画图与剪裁,雕刻与着色,刷清与装备三道主要工序,经过以上工序处理之后,一幅幅形态各
8、异,富有神韵的皮影在能工巧匠的手里浑然天成,成为可供人们欣赏和操纵的富有灵气的影人。小李对学习皮影制作产生极大兴趣,师从名师勒学苦练,目前水平突飞猛进,三道主要工序中每道工序制作合格的概率依次为,三道序彼此独立,只有当每道工序制作都合格才为一次成功的皮影制作,该皮影视为合格作品(1)求小李进行3次皮影制作,恰有一次合格作品的概率;(2)若小李制作15次,其中合格作品数为X,求X的数学期望与方差;(3)随着制作技术的不断提高,小李制作的皮影作品被某皮影戏剧团看中,聘其为单位制作演出作品,决定试用一段时间,每天制作皮影作品,其中前7天制作合格作品数y与时间:如下表:(第1天用数字1表示)时间(t)
9、1234567合格作品数(y)3434768其中合格作品数(y)与时间(t)具有线性相关关系,求y关于t的线性回归方程(精确到0.01),并估算第15天能制作多少个合格作品(四舍五入取整)?(参考公式,参考数据:)21(本小题12分)已知抛物线上一动点G,过点G作x轴的垂线,垂足为D,M是上一点,且满足(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)若为曲线C上一定点,过点P作两条直线分别与抛物线交于A,B两点,若满足,求证:直线恒过定点,并求出定点坐标22(本小题12分)已知函数(1)若,求的极小值(2)讨论函数的单调性;(3)当时,证明:有且只有2个零点2023年湖北省高三上学期1月期末考试高三数学答
10、案一、单选题1-4 BCAB 5-8 DACD二、多选题9ABD 10CD 11BD 12ACD三、填空题1320 1416 15 16【答案解析】1B【解析】由题设,A的子集共有个2C【解析】由题设,对A,z的实部是,故A错误;对B,z的虚部是,故B错误;对C,复数在复平面内对应的点在第一象限,故C正确;对D,故D错误;3A【解析】根据圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形可知,圆锥底面半径为1米,圆锥高为米,母线长为2米,根据圆锥侧面积公式得4B【解析】“方程表示焦点在y轴上椭圆”的充要条件为故“”是“方程表示焦点在y轴上椭圆”的必要不充分条件5D【解析】,由已知,得,当且仅当时等号成立
11、此时,6A【解析】,7C【解析】由函数为奇函数,有:,且:,结合函数为增函数有:,8D【解析】记三座体育馆依次为,每个体育馆至少派一名裁判,则有种方法,事件A:甲派往,则若体育馆分2人,则有种,若体育馆分1人:则有种,共有种,同理,若甲与乙同时派往体有馆,则体育馆分两人,有种,A错误;由互斥事件概念易知,B错误;,D正确;事件C:裁判乙派往体育馆,若体育馆分2人,则有种,若体育馆分1人,则有种,共有种,若事件A,C同时发生,则有种,C错误;9ABD【解析】对A:乙同学体温的最大值为,最小值为,故极差为,A正确;对B:甲同学体温按照从小到大的顺序排列为:,又,故甲同学体温的第三四分位数为上述排列
12、中的第6个数据,即,B正确;对C:乙同学体温按照从小到大的顺序排列为:,故乙同学体温的平均数为:,故乙同学体温的方;又甲同学体温的平均数为:,故甲同学体温的方差;又,故乙同学的体温比甲同学的体温稳定,C错误;对D:乙同学体温的众数,中位数,平均数均为,故D正确10CD【解析】由题图知:,函数的最小正周期满足,即,则,所以函数将点代入解析式中可得,则,得,因为,所以,因为,故A错误;将函数的图像向左平移个单位长度可得函数的图像,故B错误;由,当时,故C正确;当时,所以,即,即最小值为,故D正确11BD【解析】对于A,直线与圆相离,A错误;对于B,设点,即的取值范围为,故B正确;对于C,当四边形为
13、正方形时,又圆的圆心,半径,所以,设点,则,所以,化简得,该方程的判别式,该方程无解,所以不存在点P使得四边形为正方形,故C不正确;对于D,当点P坐标为时,以为直径的圆的圆心为,半径为,所以以为直径的圆的方程为,两圆相减可得直线的方程为:,故D正确。12ACD【解析】显然,存在满足,所以A项正确;以方向为x轴,方向为y轴,方向为z轴建立空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则,即,令,得,故,设直线与面所成角为,则,故B项错误;因为,所以四边形为平行四边形,所以,又因为平面平面,所以平面,又P为线段上动点,所以P到平面距离为定值,故三棱锥体积为定值,当点P与重合时,故C正确;当点P为中点时,易
14、得平面,又平面,所以平面,所以平面,即平面,所以,的外接圆半径为,故所求问题等价于求以为半径的底面圆,高为的圆柱的外接球表面积,设三棱锥的外接球半径为R,则,故三棱锥的外接球表面积为,故D项正确1320【解析】的展开式中第项为,令得:的系数为1416【解行】设的夹角为,因为向量在向量上的投影向量为,所以,又,则15【解析】因为双曲线的右焦点,设其左焦点为,因为,P,Q关于原点O对称,所以,由的面积为4,所以,得,又,所以又由双曲线的对称性可得,由双曲线的定义可得,所以,故离心率16【解析】连接,交于点H,由题意得,设,则,因为,所以,六棱锥的高正六边形的面积,则六棱锥的体积令函数,则,当时,当
15、时,所以在上单调递增,在上单调递减,所以此时,底面边长四、解答题17(1) (2)【解】(1)解:,由正弦定理可得,三角形周长为(2)解:由(1)知,由余弦定理得,解得,18(1) (2)【解】(1),所以,即,所以数列是首项为,公差为1的等差数列若选:由,得,即,解得所以,即数列的通项公式为若选:由成等比数列,得,解得,所以若选:因为,解得,所以(2),则,则,两式相减得:,故19(1)证明见解析 (2)【解】(1)在直角梯形中,由翻折的性质可得,翻折后,又,则,故两两互相垂直,以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,如图示:则,即,又平面平面,平面(2)由面,点G为的中点,在空间直角
16、坐标系中,设平面的法向量为,则即令,则,故平面的一个法向量为,又平面的一个法向量为平面与平面的夹角为20(1) (2), (3),14【解】(1)小李制作一次皮影合格的概率,小李进行3次制作,恰有一次合格作品的概率(2)由题知:,则(3),所以回归直线方程为当时,所以第15天能制作14个合格作品21(1); (2)证明见解析,【解】(1)设,则,由,得,代入得,所以动点M的轨迹(2)易得的斜率存在,设,由联立可得:,即将代入得:,所以,所以直线恒过定点22(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析【解】(1)当时,的定义域为,所以在区间递减;在区间递增所以当时,取得极小值(2)的定义域为,令,当时,恒成立,所以即在上递增当时,在区间即递减;在区间即递增(3)当时,由(2)知,在上递增,所以存在使得,即在区间,递减;在区间递增所以当时,取得极小值也即是最小值为,由于,所以,根据零点存在性定理可知在区间和,各有1个零点,所以有2个零点