1、第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题基础知识整合1判断二元一次不等式表示的平面区域由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示直线AxByC0哪一侧的平面区域2线性规划中的基本概念名称定义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件关于x，y的一次不等式(或等式)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取
2、得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线AxByC0的两侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.2画二元一次不等式表示的平面区域的方法(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证 1不等式组表示的平面区域是()答案C解析由xy20，得yx2，故表示直线yx2的下方(包括边界)，由x3y6x6，故表示直线x3y60的上方(不包括边界)，故选C. 2已知点(3，1
3、)和(4，6)在直线3x2ya0的两侧，则实数a的取值范围为()A(7,24) B(，7)(24，)C(24,7) D(，24)(7，)答案A解析由题意可知(92a)(1212a)0，所以(a7)(a24)0，所以7a24.3(2019浙江高考)若实数x，y满足约束条件则z3x2y的最大值是()A1 B1 C10 D12答案C解析如图，不等式组表示的平面区域是以A(1,1)，B(1，1)，C(2,2)为顶点的ABC区域(包含边界)作出直线yx并平移，知当直线yx经过C(2,2)时，z取得最大值，且zmax322210.故选C.4若x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是()A0,6 B0,4C
4、6，) D4，)答案D解析作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示由题意可知，当直线yx过点A(2,1)时，z取得最小值，即zmin2214.所以zx2y的取值范围是4，)故选D.5(2019广州模拟)若实数x，y满足则z的最小值为()A3 B. C. D.答案D解析作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示z 表示可行域内的点到原点的距离，结合图形可知可行域内的点(1,1)到原点的距离最短，即z的最小值为.故选D.6(2019北京高考)若x，y满足则yx的最小值为_，最大值为_答案31解析作出x，y满足的平面区域如图中阴影部分所示设zyx，则yxz.把z看作常数，则目标函数是可平行移
5、动的直线，z的几何意义是直线yxz的纵截距，通过图象可知，当直线yxz经过点A(2,3)时，z取得最大值，此时zmax321.当经过点B(2，1)时，z取得最小值，此时zmin123.核心考向突破考向一二元一次不等式(组)表示平面区域 例1(1)若满足条件的整点(x，y)恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a的值为()A3 B2 C1 D0答案C解析不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，当a0时，平面区域内只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a1时，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)，5个整点，共9个整点，故选C.
6、(2)不等式组表示的平面区域的面积等于_答案解析不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，易知A(1,0)，B(2,0)，由得C(4,3)SABCAB|yc|13.(1)确定AxByC0表示的区域有两种方法：试点法，一般代入原点；化为ykxb(ykxb)的形式不等式ykxb表示的区域为直线ykxb及其上方，不等式ykxb表示的区域为直线ykxb及其下方(2)可行域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可利用xm逐条分段统计即时训练1.(2019郑州模拟)已知不等式组表示的平面区域为D，若直线ykx1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是_答案解析区域D如图中的阴影
7、部分所示，直线ykx1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线ykx1只要经过AB的中点即可由方程组解得A(1,0)由方程组解得B(2,3)所以AB的中点坐标为，代入直线方程ykx1得，k1，解得k.2若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是_答案(0,1解析不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)由得A；由得B(1,0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线xya中的a的取值范围是00时将直线上移z变大，当b0时将直线下移z变大即时训练3.(2019全国卷)若变量x，y满足约束条件则z3xy的最大值是_答案9解析作出已知约束条件对应的可行域
8、(图中阴影部分)，作出直线y3x，并平移，由图易知，当直线y3xz过点C时，z最小，即z最大由解得即C点坐标为(3,0)，故zmax3309.角度2求非线性目标函数的最值例3(2019重庆一中模拟)已知实数x，y满足则z的最大值为_答案解析画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示因为z表示可行域内的点P(x，y)与点A(0，1)连线的斜率，由得直线交点为B(3,4)，所以当P在点B(3,4)时，z有最大值，因此z的最大值为.目标函数是非线性形式的函数时，常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有： (1)表示点(x，y)与原点(0,0)间的距离，表示点(x，y)与点(a，b)间的距
9、离(2)表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率即时训练4.(2019辽宁五校联考)已知a，b是正数，且满足2a2b1时，直线ymxz过点B时纵截距最小，从而z最小，由得B.由m3得m9与m1矛盾综上可知，m.考向三线性规划中的实际应用问题例5(2019安徽合肥模拟)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件甲、乙两种产品都需要在A，B两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时A，B两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企
10、业每月利润的最大值为()A320千元 B360千元C400千元 D440千元答案B解析设生产甲产品x件，生产乙产品y件，利润z千元，则z2xy，作出表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2xy0，平移该直线，当直线z2xy经过直线2x3y480与直线6xy960的交点(150,60)(满足xN，yN)时，z取得最大值，为360.解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解
11、)(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)(5)检验：根据结果，检验反馈即时训练6.某中学生在制作纸模过程中需要A，B两种规格的小卡纸，现有甲、乙两种大小不同的卡纸可供选择，每张卡纸可同时截得A，B两种规格的小卡纸的块数如下表，现需A，B两种规格的小卡纸分别为4,7块，所需甲、乙两种大小不同的卡纸的张数分别为m，n(m，n为整数)，则mn的最小值为()A规格B规格甲种卡纸21乙种卡纸13A2 B3 C4 D5答案B解析由题意知又不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可得目标函数zmn在点(1,2)处取得最小值3.故选B.(2019北京西城区模拟)x，y满足约束条件若zyax取得最大值
12、的最优解不唯一，则实数a的值为()A.或1 B2或C2或1 D2或1答案D解析作出可行域(如图阴影部分)，为ABC内部(含边界)由题设zyax取得最大值的最优解不唯一可知：线性目标函数对应直线与可行域某一边界重合由kAB1，kAC2，kBC可得a1或a2或a，验证：a1或a2时，成立；a时，不成立故选D.答题启示若目标函数所表示的直线正好与可行域的某一条边界平行，且可行域的边界是可以取到的，此时目标函数取得的最优解就有无穷多个，求解时注意分类讨论的思想对点训练已知变量x，y满足约束条件且有无穷多个点(x，y)使目标函数zxmy取得最小值，求m的值解作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示若m0，则zx，目标函数zxmy取得最小值的最优解只有一个，不符合题意若m0，则目标函数zxmy可看作斜率为的动直线yx，若m0，数形结合知使目标函数zxmy取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m0，则0，数形结合可知，当动直线与直线AB重合时，在线段AB上有无穷多个点(x，y)，使目标函数zxmy取得最小值，即1，则m1.综上可知，m1.
