1、2022-2023学年（上）高二年级期中考试数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 3. 已知等差数列中，则的公差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5. 已知原点与点关于直线对称，则在轴上截距为（ ）A. 5B. C. D. 6. 有一辆高铁列车一共有8节车厢，从第2节车厢开始每节车厢的乘客均比前一节少10人，且前4节目车
2、厢乘客总数是后4节车厢乘客总数的2倍，则这辆列车上的乘客总数为（ ）A. 400B. 440C. 480D. 5207. 如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 8. 若直线与曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 9. 设抛物线：（）的焦点为，点在轴正半轴上，线段与抛物线交于点，若，且点到抛物线准线的距离为，则点的纵坐标为（ ）A 1B. C. D. 10. 已知圆与圆交于、两点，且四边形面积为，则（ ）A. B. C. D. 11. 设等差数列的前项和为，已知，则当取最大值时，（ ）A. 15B. 7C.
3、 D. 12. 已知双曲线：（）的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与在第一象限交于点，的平分线与轴交于点，则（ ）A. 1B. C. 2D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若直线与平行，则直线与之间的距离为_14. 已知数列的前几项为，则的一个通项公式为_15. 抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴入射光线经抛物线反射后反射光线必经过抛物线的焦点已知抛物线的焦点为，一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则_16. 已知椭圆的两个焦点分别为、，离心率为，点在椭圆
4、上，若，且的面积为，则的方程为_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知点，直线，直线过点且与平行，直线交圆于两点、（1）求直线的方程；（2）求线段的长18. 已知数列的前项和为的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）求19. 已知等差数列的各项均不为0，记为前项和，且，（1）求数列的通项公式；（2）设（为非零常数），若数列为等差数列，求的值20. 如图，四棱锥底面是矩形，平面底面，平面底面，为的中点（1）求证：；（2）求平面与平面夹角的正弦值21. 已知抛物线：（）的焦点为，点在上，且（1）求的方程；（2）若不过点的直线与相交于两点，且直线，的斜率之积为1，证
5、明：直线过定点22. 已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为（1）求的方程（2）若点为椭圆的上顶点，是否存在斜率为的直线，使与椭圆交于不同的两点、，且？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由答案1-12 ACBDB CBADC DC13. #14. 15. 416. 17.（1）解：设直线的方程为，将点的坐标代入直线的方程可得，解得，所以，直线的方程为.（2）解：圆的圆心为，半径长为，圆心到直线的距离为，因此，.18.（1）因为，所以当时，当时，所以，经检验：满足，所以.（2）由（1）可知，令，则，得，又，所以当时，；当时，；所以.19.（1）因为是等差数列，所以由，得，解得或（舍
6、去），故.（2）由（1）得，则，所以，因为数列为等差数列，所以，即，解得或（舍去），故.20. （1）证明：因为四边形为矩形，则，因为平面底面，平面平面，平面，平面，平面，同理可证，因为，、平面，平面，又因为，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，故.（2）解：设平面的法向量为，则，取，可得，由题意可知，平面的一个法向量为，所以，故.因此，平面与平面夹角的正弦值为.21.（1）因为抛物线：，所以准线方程为，因为点在上，所以由抛物线焦半径公式得，联立，解得或（由于，舍去），所以抛物线方程为.（2）依题意，易知，直线的斜率存在（若不存在，则与抛物线至多只有一个交点），设直线为，联立，消去，得，则，因为直线，的斜率之积为1，即，故，整理得，所以，得，故直线为，所以直线过定点.22.（1）解：由题意可知，点到直线的距离为，解得，又因为，则，所以，因此，椭圆的方程为.（2）解：易知点，设直线的方程为，设点、，联立可得，可得，由韦达定理可得，若，则轴，此时、关于轴对称，则；若，则，所以，线段的中点为，则，所以，所以， ，解得且综上所述，实数的取值范围是.
