1、湖北省武汉市武昌区2022届高三数学模拟试题题号一二三四总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40分）1. 已知全集U=0,1,2,3,4，集合A=1,2,3，B=2,4，则(UB)A为()A. 1,3B. 2,3,4C. 0,1,2,3D. 0,2,3,42. 已知复数z=i+i2+i3+i20191+i，z是z的共轭复数，则zz=()A. 0B. 12C. 1D. 23. 从一副扑克牌(54张)中抽取一张牌，抽到牌“K”的概率是()A. 154B. 127C. 118D. 2274. 已知函数f(x)=3sin(2x+6)，则下列说法正确的是()A. 图象关于点(6,0)对称B. 图象关于
2、点(3,0)对称C. 图象关于直线x=6对称D. 图象关于直线x=3对称5. 矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，得到的四面体ABCD的体积的最大值为()A. 43B. 125C. 245D. 56. 已知实数a，b满足如下两个条件：(1)关于x的方程3x22xab=0有两个异号的实根；(2)2a+1b=1，若对于上述的一切实数a，b，不等式a+2bm2+2m恒成立，则实数m的取值范围是()A. (4,2)B. (2,4)C. (,42,+)D. (,24,+)7. 等差数列an中，若a2=1，a6=13，则公差d=()A. 3B. 6C. 7D. 108. 下列函数
3、中，定义域是R且为增函数的是()A. y=x+sinxB. y=exC. y=lnxD. y=|x|二、多选题（本大题共4小题，共20分）9. 已知双曲线C1：x2a12y2b12=1(a10,b10)的一条渐近线的方程为y=3x，且过点(1,32)，椭圆C2：x2a2+y2b2=1的焦距与双曲线C1的焦距相同，且椭圆C2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交C2于A，B两点，若点A(1,y1)，则下列说法中正确的有()A. 双曲线C1的离心率为2B. 双曲线C1的实轴长为12C. 点B的横坐标的取值范围为(2,1)D. 点B的横坐标的取值范围为(3,1)10. 甲、乙两名学生的六次数
4、学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示，以下说法正确的是()A. 甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数B. 甲同学的平均分比乙同学的平均分高C. 甲同学的平均分比乙同学的平均分低D. 甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差11. 已知F是抛物线C：y2=x的焦点，A，B是抛物线C上的两点，O为坐标原点，则()A. 若|AF|=54，则AOF的面积为18B. 若BB垂直C的准线于点B，且|BB|=2|OF|，则四边形OFBB周长为3+54C. 若直线AB过点F，则|AB|的最小值为1D. 若OAOB=14，则直线AB恒过定点(12,0)12. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直
5、径2R相等，下列结论正确的是()A. 圆柱的侧面积为4R2B. 圆锥的侧面积为2R2C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等D. 球的体积是圆锥体积的两倍三、单空题（本大题共4小题，共20分）13. 写出一个最小正周期为1的偶函数f(x)=_14. (1)若数列an的通项公式为an=n7n，则该数列中的最小项的值为_(2)若2x3x6+1xxn的展开式中含有常数项，则n的最小值等于_(3)如图所示的数阵中，用Am,n表示第m行的第n个数，则以此规律A8,2为_ (4)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA:sinB:sinC=ln2:ln4:lnt，且CACB=mc2，有下列结
6、论：2t8；29m2；t=4，a=ln2时，ABC的面积为15ln228；当25tx成立，则实数的取值范围是_ 16. 在ABC中，AB+AC=2AM，|AM|=1，点P在AM上且满足AP=2PM，则PA(PB+PC)= _ 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据(单位：小时).根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：0,2，(2,4，(4,6，(6,8，(8,10，(10,12(1)估计该校学生每周平
7、均使用手机上网时间(每组数据以组中值为代表)；(2)估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；(3)将每周使用手机上网时间在(4,12内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4内的定义为“不长时间使用手机上网”.在样本数据中，有25名学生不近视请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的22列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”近视不近视合计长时间使用手机不长时间使用手机15合计25附：K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2k0)0.10.050.0100.005k02.7063.8416
8、.6357.87918. 在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccosB=2ab(1)求C；(2)若AB=AC，D是ABC外的一点，且AD=2，CD=1，则当D为多少时，平面四边形ABCD的面积S最大，并求S的最大值19. 已知an是各项均为正数的等比数列，an是等比数列吗？为什么？20. 如图，在几何体中，平面，平面，又， (1)求与平面所成角的正弦值；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值21. 已知右焦点为F的椭圆M：x2a2+y23=1(a3)与直线y=37相交于P，Q两点，且PFQF(1)求椭圆M的方程：(2)O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同三点，并且O
9、为ABC的重心，试探究ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是说明理由22. 已知函数f(x)=x3+ax24()若f(x)在x=2处取得极值，且关于x的方程f(x)=m在1,1上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；()若存在x0(0,+)，使得不等式f(x0)0成立，求实数a的取值范围答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题根据补集与并集的定义，计算即可【解答】解：全集U=0,1,2,3,4，集合A=1,2,3，B=2,4，则UB=0,1,3，(UB)A=0,1,2,3故选：C2.【答案】B【解析】解：i+i2+i3+i2019=i(1
10、i2019)1i=i(1+i)1i=i(1+i)2(1i)(1+i)=1，z=i+i2+i3+i20191+i=11+i=1+i2，zz=|z|2=(12)2+(12)2)2=12，故选：B利用等比数列前n项和化简复数z的分子，代入后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由zz=|z|2求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查等比数列的前n项和，考查复数模的求法，是基础题3.【答案】D【解析】解：一副扑克共54张，有4张K，正好为K的概率为454=227，故选D用K的扑克张数除以一副扑克的总张数即可求得概率此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果
11、，那么事件A的概率P(A)=mn4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了正弦函数的对称性，属于基础题利用正弦函数的对称轴以及对称中心的性质即可求解【解答】解：令2x+6=2+k，kZ，解得x=6+k2,kZ，所以当k=0时，函数的对称轴为x=6，故C正确，D错误；因为f(6)=3sin(26+6)=3sin2=30所以A错误；f(3)=3sin(23+6)=3sin56=320，故B错误故选：C5.【答案】C【解析】【分析】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题当平面ABC平面ACD时，得到的四面体ABCD的
12、体积取最大值，由此能求出四面体ABCD的体积的最大值【解答】解：矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将三角形ABC折起，当平面ABC平面ACD时，得到的四面体ABCD的体积取最大值，此时点B到平面ACD的距离d=ABBCAC=4316+9=125，SADC=1243=6，四面体ABCD的体积的最大值为：V=13SADCd=136125=245故选：C6.【答案】A【解析】解：设方程3x22xab=0的两个异号的实根分别为x1，x2，则x1x2=ab30，b0，则a+2b=(a+2b)(2a+1b)=4+ab+4ba4+2ab4ba=8(当且仅当a=4，b=2时取“=”)，由不等式a+2b
13、m2+2m恒成立，得m2+2m8，解得：4m0，b0，结合2a+1b=1求得a+2b的最小值，代入a+2bm2+2m转化为关于m的不等式得答案本题考查命题的真假判断与应用，考查了方程根的个数的判断，训练了基本不等式求最值，考查了数学转化思想方法，考查不等式的解法，是中档题7.【答案】A【解析】解：由等差数列的通项公式可得a6=a2+4d，代入数据可得13=1+4d，解得d=3 故选：A 把已知数据代入等差数列的通项公式可得d的方程，解方程可得本题考查等差数列的通项公式，属基础题8.【答案】A【解析】解：对于A，函数y=x+sinx的定义域是R，且y=1cosx0，y是R上的增函数，满足题意；对
14、于B，函数y=ex=(1e)x是R上的减函数，不满足题意；对于C，函数y=lnx的定义域是(0,+)，不满足题意；对于D，函数y=|x|=x,x0x,x0,b10)的一条渐近线的方程为y=3x，则可设双曲线C1的方程为x2y23=，过点(1,32)，134=，解得=14，双曲线C1的方程为4x243y2=1，即x214y234=1，可知双曲线C1的离心率e=ca=2，实轴的长为1，故选项A正确，选项B错误；由14+34=1可知椭圆C2：x2a2+y2b2=1的焦点F1(1,0)，F2(1,0)，不妨设A(1,y1)(y10)，代入x2a2+y2b2=1得1a2+y12b2=1，y1=b2a，直
15、线AB的方程为y=b22a(x+1)，联立y=b22a(x+1)x2a2+y2b2=1，消去y并整理得(a2+3)x2+2(a21)x3a21=0，根据韦达定理可得1xB=3a2+1a2+3，可得xB=3a2+1a2+3=3+8a2+3，.又a21，a2+34，18a2+32，3xB0)，可得直线AB的方程为y=b22a(x+1)，联立y=b22a(x+1)x2a2+y2b2=1，根据韦达定理可得xB=3a2+1a2+3=3+8a2+3，即可求解本题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的离心率及直线与椭圆的位置关系，考查推理论证能力和函数与方程思想，考查数学运算、逻辑推理核心素养，属于中档题10.【
16、答案】CD【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查茎叶图的性质、中位数、平均数、方差的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题利用茎叶图的性质、中位数、平均数、方差的定义直接求解【解答】解：甲的中位数为：80+822=81，乙的中位数为：87+882=87.5，甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，故A错误；甲的平均数为：16(72+76+80+82+86+90)=81，乙的平均分为：16(69+78+87+88+92+96)=85，甲同学的平均分比乙同学的平均分低，故B错误，C正确；由茎叶图得甲的成绩比乙的成绩稳定，甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，故D正确故选：CD11.【答
17、案】ACD【解析】解：对于选项A，设A(x1,y1)，由焦半径公式得x1+14=54，解得x1=1，所以y1=1，从而SAOF=12141=18，选项A正确；对于选项B，由题意知|OF|=14，根据抛物线的定义可知|BF|=|BB|=12.设BB与y轴的交点为D，易知|OD|=|BF|=12，|BD|=14，故|OB|=(12)2+(14)2=54，所以四边形OFBB的周长为14+12+12+54=5+54，选项B错误；对于选项C，若直线AB过点F，则当ABx轴时，|AB|最小，且最小值为1，选项C正确；对于选项D，设直线AB：x=my+t，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线AB与抛
18、物线方程得y2myt=0，则y1y2=t，所以x1x2=y12y22=t2，由OAOB=14可得x1x2+y1y2=14，即t2t=14，解得t=12，故直线AB的方程为x=my+12，即直线AB恒过定点(12,0)，选项D正确故选：ACD根据焦半径公式和三角形额的面积公式即可判断A；根据抛物线的定义和两点之间的距离公式可得周长，即可判断B；根据当ABx轴时，|AB|最小，即可判断C；设直线AB：x=my+t，根据韦达定理和向量的数量积，即可判断D本题考查了抛物线的性质，直线和抛物线的位置关系，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题12.【答案】ACD【解析】解：对于A，圆柱的底面直径
19、和高都等于2R，所以圆柱的侧面积S圆柱=2R2R=4R2，选项A正确；对于B，圆锥的底面直径和高等于2R，所以圆锥的侧面积为S圆锥侧=RR2+4R2=5R2，选项B错误；对于C，圆柱的侧面积为S圆柱侧=2R2R=4R2，球的表面积S球=4R2，故圆柱的侧面积与球的表面积相等，选项C正确；对于D，球的体积为V球=43R3，圆锥的体积为V圆锥=13R22R=23R3，所以球的体积是圆锥体积的两倍，选项D正确故选：ACD根据题意，分别求出圆柱、圆锥、球的表面积和体积，然后逐一判断四个选项得答案本题考查了圆柱、圆锥、球的表面积及体积计算问题，考查运算求解能力，是基础题13.【答案】cos2x【解析】解
20、：一个最小正周期为1的偶函数f(x)=cos2x，故答案为：cos2x由题意利用余弦函数的周期性和奇偶性，得出结论本题主要考查余弦函数的周期性和奇偶性，属于基础题14.【答案】(1)12143；(2)215；(3)1122；(4)【解析】(1)【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性求解数列的最小值，属于基础题【解答】解：由题意得，考察函数fx=x7x的单调性(x0)，fx=172x，令f(x)=0，解得x=494，当且仅当n=12时，数列an取得最小值12143，故答案为12143(2)【分析】本题主要考查二项式定理的应用，是高考中常见的题型，属于中档题【解答】解：由题意得，x6+1xxn
21、的展开式的项为Tr+1=Cnrx6nr1xxr=Cnrx6n6r32r=Cnrx6n152r，令6n152=0，则n的最小值等于215，故答案为215(3)【分析】本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础【解答】解：由题意，观察每一行分母与上一行的关系，发现第6行个分母为28，58，81，81，58，28；第7行分母为36，86，139，162，139，86，36，第8行的分母为21+7+8+9=45，122，225，301，301，225，122，45，故答案为1122(4)【分析】本题主要考查解三角形的应用，属于中档题【解答】解：由题意得，a:b:c=ln2:ln4:t,CA
22、CB=ln2ln4cosC=mc2，解得2t8，29m2，当25tx，所以xsinxx当0x时，sinx，当0x时，sinx(0,1，当x=2时，sinx取得最大值1即有1故答案为：(,1)求出函数的导数，由题意可得当0x时，3.841，有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”【解析】(1)根据频率分布直方图，计算平均数即可；(2)由频率分布直方图求得对应的频率值；(3)根据题意填写22列联表，计算观测值，对照临界值得出结论本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题18.【答案】解：(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2ccos
23、B=2ab由正弦定理得：2sinCcosB=2sinAsinB，又A=(B+C)，2sinCcosB=2sin(B+C)sinB=2sinBcosC+2cosBsinCsinB，2sinBcosC=sinB，sinB0，cosC=12，0C，C=3(2)AB=AC，ACB=3，ABC是等边三角形，设AC=x，D=，AD=2，CD=1，SABC=34x2，SADC=12ADCDsinD=sin，由余弦定理得AC2=x2=1+44cos=54cos，S=SABC+SADC=34x2+sin=34(54cos)+sin=534+sin3cos=534+2sin(3)，0，330an+1an=an+1
24、an=q，an是等比数列，首项为a1，公比为q【解析】利用等比数列的定义及其通项公式即可的得出本题考查了等比数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20.【答案】(1)(2)【解析】试题分析：依据已知条件本题采用空间向量求解比较合适，过点作的垂线交于，以为原点，分别以为轴建立空间上角坐标系(1)中需找到直线方向向量与平面的法向量，代入公式计算(2)中需要找到两平面的法向量代入 试题解析：过点作的垂线交于，以为原点，分别以为轴建立空间上角坐标系，又，则点到轴的距离为1，到轴的距离为.则有，.(1)设平面的法向量为，.则有，取，得，又，设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦
25、值为(2)设平面的法向量为，则有，取，得，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值是考点：1.直线与平面所成角；2.二面角21.【答案】解：(1)设F(c,0)，P(t,37)，Q(t,37)，代入椭圆方程可得t2a2+37=1，即t2=47a2且PFQF，可得37tc37tc=1，即c2t2=97，由可得c2=47a297又a2c2=3，解得a=2，c=1，即有椭圆方程为x24+y23=1；(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程3x2+4y2=12，可得(3+4k2)x2+8kmx+4m212=0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1x2=4m2123+
26、4k2，x1+x2=8km3+4k2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m3+4k2，由O为ABC的重心，可得OC=(OA+OB)=(8km3+4k2,6m3+4k2)，由C在椭圆上，则有3(8km3+4k2)2+4(6m3+4k2)2=12，化简可得4m2=3+4k2，|AB|=1+k2(x1+x2)24x1x2=1+k2(8km3+4k2)244m2123+4k2=41+k23+4k29+12k23m2，点C到直线AB的距离d等于点O到直线AB的距离的3倍，d=|3m|1+k2，SABC=12|AB|d=6|m|3+4k29+12k23m2=6|m|4m212m23m2=92当直线AB
27、的斜率不存在时，|AB|=3，d=3，SABC=12|AB|d=92综上可得，ABC的面积为定值92【解析】本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程和两直线垂直的条件：斜率之积为1，考查三角形的面积的计算，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理，考查运算能力，属于中档题(1)设F(c,0)，P(t,37)，Q(t,37)，代入椭圆方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，解方程可得a=2，c=1，即可得到所求椭圆方程；(2)设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，由O为ABC的重心，可得OC=(OA+OB)，可得C的坐标，代入椭圆方程，可得4m2=
28、3+4k2，由弦长公式和点到直线的距离公式可得三角形的面积，化简整理，可得定值；再验证直线AB的斜率不存在，即可得到ABC的面积为定值22.【答案】解：()f(x)=3x2+2ax由题意得f(2)=0，解得a=3-(2分)经检验a=3满足条件-(3分)f(x)=x3+3x24，则f(x)=3x2+6x-(4分)令f(x)=0，则x=0，x=2(舍去)-(5分)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,1)1f(x)0+f(x)042-(7分)关于x的方程f(x)=m在1,1上恰有两个不同的实数根，40即可f(x)=x3+ax24，f(x)=3x2+2ax=3x(x2
29、3a)若a0，则当x0时，f(x)0，f(x)在(0,+)单调递减f(0)=40时，f(x)40-(10分)当a0时f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(0,23a)23a(23a,+)f(x)+0f(x)4a3274当x(0,+)时，f(x)max=f(23a)=4a3274由4a32740得a3-(12分)综上得a3另：第2小题可以分离参数，可按步得分【解析】()求出导函数，f(x)在x=2处取得极值，求出a，然后求解函数的极值，通过关于x的方程f(x)=m在1,1上恰有两个不同的实数根，求解实数m的取值范围；()求出函数的最大值，利用最大值大于0，即可满足条件，利用函数的导数判断函数的单调性，结合a的取值讨论，求解即可本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，难度比较大
