1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心素养测评五十一圆 的 方 程(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020丽水模拟)“方程x2+y2-a+1=0表示一个圆”是“a1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.方程x2+y2-a+1=0表示一个圆,则需要满足a-10a1,反之a1,则满足方程是一个圆,故选择充要条件.2.圆:x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是()A.1+B.2C.1+D.2+2【解析
2、】A.由已知得圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,则圆心坐标为(1,1),半径为1,所以圆心到直线的距离为=,所以圆上的点到直线的距离的最大值是1+.3.当方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0所表示的圆取得最大面积时,直线y=(k+1)x+1的倾斜角为()A.B.C.D.【解析】选B.方程x2+y2+2kx+4y+2k2=0可化为(x+k)2+(y+2)2=4-k2,若表示圆,则4-k20,且当k2=0时,圆的面积最大,此时直线y=(k+1)x+1的斜率为1,故倾斜角为.4.经过三点A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的圆的面积S=()A.B.2C.3D.4【解析】选D.设
3、圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A(-1,0),B(3,0),C(1,2)的坐标代入圆的方程可得解得所以圆的方程为(x-1)2+y2=4,所以圆的半径r=2,所以S=4.5.已知圆C:x2+y2-4x+3=0,则圆C关于直线y=-x-4的对称圆的方程是()A.(x+4)2+(y+6)2=1B.(x+6)2+(y+4)2=1C.(x+5)2+(y+7)2=1D.(x+7)2+(y+5)2=1【解析】选A.根据题意,设要求圆的圆心为C,其坐标为(a,b),圆C:x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,故其圆心为(2,0),半径r=1,C与C关于直线y=-x-4对称,则有解得
4、则要求圆的圆心为(-4,-6),半径r=1,其方程为(x+4)2+(y+6)2=1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020嘉兴模拟)公元前3世纪,古希腊数学家阿波罗尼斯在前人的基础上写了一部划时代的著作圆锥曲线论,该书给出了当时数学家们所研究的六大轨迹问题,其中之一便是“到两个定点的距离之比等于不为1的常数的轨迹是圆”,简称“阿氏圆”.用解析几何方法解决“到两个定点O(0,0),A(3,0)的距离之比为的动点M轨迹方程是:x2+y2+2x-3=0”,则该“阿氏圆”的圆心坐标是_,半径是_.【解析】由x2+y2+2x-3=0得M:(x+1)2+y2=4,所以圆心坐标为(-1,0),半径
5、为2.答案:(-1,0)27.若圆x2+y2+2ax-b2=0的半径为2,则点(a,b)到原点的距离为_.【解析】由半径r=2,得=2.所以点(a,b)到原点的距离d=2.答案:28.(2020金华模拟)已知mR,若方程x2+y2+2x+2y+m=0表示圆,则圆心坐标为_;m的取值范围是_.【解析】若方程表示圆,那么根据圆心坐标公式,可得x=-=-1,y=-=-1,圆心坐标(-1,-1);若方程表示圆,那么需满足22+22-4m0,即m2.答案:(-1,-1)m2三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D
6、,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程.(2)求圆P的方程.【解析】(1)由题意知,直线AB的斜率k=1,中点坐标为(1,2).则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由点P在CD上得a+b-3=0.又因为直径|CD|=4,所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40.由解得 或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2).所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.10.已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0).动点P满足:=k|2,实数k为常数.世纪金榜导学号(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表
7、示的曲线类型;(2)当k=2时,求|2+|的最大、最小值.【解析】(1)设动点坐标为P(x,y),则=(x,y-1),=(x,y+1),=(1-x,-y).因为=k|2,所以x2+y2-1=k(x-1)2+y2,(1-k)x2+(1-k)y2+2kx-k-1=0.若k=1,则方程为x=1,表示过点(1,0)且平行于y轴的直线.若k1,则方程化为+y2=.表示以为圆心,以为半径的圆.(2)当k=2时,方程化为(x-2)2+y2=1,因为2+=(3x,3y-1),所以|2+|=.又(x-2)2+y2=1,x2+y2=4x-3,所以|2+|=.令36x-6y-26=z,直线l:36x-6y-26-z
8、=0与圆(x-2)2+y2=1有公共点的充要条件是:1,即(-3)2=46-6z46+6=(+3)2.|2+|的最大值是+3,最小值为-3.(20分钟40分)1.(5分)当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角=_.【解析】由题意知,圆的半径r=1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan =-1,又0,),故=.答案:2.(5分)已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为_;其面积为_.【解析】由题意知,此平面区域表示的是以O(0
9、,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.因为OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=,因此圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,所以其面积为S=5.答案:(x-2)2+(y-1)2=553.(5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为_.【解析】设P(x0,y0),d=|PB|2+|PA|2=+(y0+1)2+(y0-1)2=2(+)+2.+为圆上任一点到原点距离的平方,所以(+)max=(5+1)2=3
10、6,所以dmax=74.答案:744.(12分)在平面直角坐标系xOy中,经过函数f(x)=x2-x-6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C.(1)求圆C的方程.世纪金榜导学号(2)求经过圆心C且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.由f(x)=x2-x-6得,其图象与两坐标轴的交点为(0,-6),(-2,0),(3,0),将交点坐标代入圆的方程得解得所以圆的方程为x2+y2-x+5y-6=0.(2)由(1)知圆心坐标为,-,若直线经过原点,则直线l的方程为5x+y=0;若直线不过原点,设直线l的方程为x+y=a,则a=-=-2,即直线l的方
11、程为x+y+2=0.综上,直线l的方程为5x+y=0或x+y+2=0.5.(13分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程.世纪金榜导学号(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0) 的距离等于线段OF的长?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆C的圆心为C(a,b),则圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=8.因为直线y=x与圆C相切于原点O,所以O点在圆C上,且OC垂直于直线y=x,于是有解得或由于点C(a,b)在第二象限,故a0,所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2
12、=8.(2)假设存在点Q符合要求,设Q(x,y),则有解得x=或x=0(舍去).所以存在点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.1.过点P(-1,1)作圆C:(x-t)2+(y-t+2)2=1(tR)的切线,切点分别为A,B,则的最小值为世纪金榜导学号()A.B.C.D.2-3【解析】选C.由已知,圆心坐标为C(t,t-2),半径r=1,其中|PC|2=(-1-t)2+(1-t+2)2=2t2-4t+10,|PA|2=|PB|2=|PC|2-1=2t2-4t+9,cosAPC=,cosAPB=2cos2APC-1=2-1=,利用平面向量数量积的定义有=|cosAPB=(2t2-4t
13、+9)=(t2-2t+5)+(t2-2t+4),设m=t2-2t+4,(m3),则 =m+(m+1)=2(m+1)+-3,结合对勾函数的性质得,f(m)=2(m+1)+-3在区间3,+)上单调递增,当m=3时,()min=24+-3=.2.已知P是直线l:3x-4y+11=0上的动点,PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,C是圆心,那么四边形PACB面积的最小值是_,此时|PC|=_.世纪金榜导学号【解析】圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C(1,1),半径r=1,根据对称性可知,四边形PACB的面积为2SAPC=2|PA|r=|PA|=,要使四边形PACB的面积最小,则只需|PC|最小,最小时为圆心到直线l:3x-4y+11=0的距离d=2,所以四边形PACB面积的最小值为=.答案:2关闭Word文档返回原板块
