1、2022年春学期高二年级期中考试数学（文科）试卷卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在给出的四个选项中，只有一项符合要求1设O是原点，向量，对应的复数分别为23i，32i，那么向量对应的复数是（ ）A55iB55iC55iD55i2曲线在点处的切线斜率是（ ）A9B6C3D13甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的相关指数分别如下表：甲乙丙丁0.980.780.500.85哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？（ ）A甲B乙C丙D丁4用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以”，你认为这个推理（ ）A大前提错误B小前
2、提错误C推理形式错误D是正确的5已知的内角，对边分别为，则（ ）ABCD6已知复数，i为虚数单位，则等于（ ）ABCD7已知函数，则等于（ ）ABCD8设a，b，c都是非零实数，则关于a，bc，ac，b四个数有以下说法：四个数可能都是正数；四个数可能都是负数；四个数中既有正数又有负数以上说法中正确的个数为（ ）A0B1C2D39在ABC中，B30，AC2，则ABC的面积为（ ）ABC或D或10某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）A63.6万元B65.
3、5万元C67.7万元D72.0万元11在ABC中，则ABC为（ ）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰或直角三角形12已知定义在R上的奇函数，设其导函数为，当时，恒有，令，则满足的实数x的取值范围是（ ）ABCD卷一、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若复数为纯虚数，则实数的值为_14函数，的单调递增区间为_15函数，已知x3是函数的一个极值点，则实数a_16如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m二、解答题：共70分，解答应写出文字说
4、明、证明过程或演算步骤17（12分）求下列函数的导数（1）；（2）18（12分）已知顶点在单位圆上的ABC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（1）求角A的大小；（2）若，求ABC的面积19（12分）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率
5、附：0.1000.0500.0102.7063.8416.63520（12分）如图，甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？21（12分）已知函数（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）若，且对任意恒成立，求k的最大值22（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为，（为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）写出直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；（2）求圆C截直线l所得的弦长2022年春学期高二文科数学答案
6、一、选择题D A A A B D B B D B C D1【答案】D【解析】由复数的几何意义，得(2,3)，(3,2)，(2,3)(3,2)(5,5)对应的复数是55i2【答案】A【解析】y(2x)33(2x)2369x6(x)2(x)3，yx96x(x)2，limx0yx=limx096x(x)29，由导数的几何意义可知，曲线yx33x在点(2,2)处的切线斜率是93【答案】A【解析】相关指数R2越接近于1，表示回归模型的拟合效果越好4【答案】A【解析】任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0故选A5【答案】B6【答案】D【解
7、析】因为zi，所以|z|ii7【答案】B【解析】f(x)2x，f(x)2xln28【答案】B【解析】可用反证法推出不正确，因此正确9【答案】D【解析】方法一如图，ADABsinB2，故ABC有两解，且BC2，BC4，SABCBCAD，SABCBCAD2方法二如图，设BCx，由余弦定理可得22(2)2x22x2cos30，解得x2或x4，故ABC有两解，SABCBCABsinB22sin30，或SABCBCABsinB24sin30210【答案】B【解析】3.5，42，429.43.59.1，回归方程为9.4x9.1，当x6时，9.469.165.5，故选B11【答案】C【解析】由已知得cosB
8、cosC，由正弦、余弦定理得，即a2(bc)(bc)(b2bcc2)bc(bc)，即a2b2c2，故ABC是直角三角形12【答案】D【解析】f（x）是奇函数，不等式xf(x)f(x)，等价于xf(x)f(x)，即xf(x)f(x)0，F(x)xf(x)，F(x)xf(x)f(x)，即当x(,0时，F(x)xf(x)f(x)0，函数F(x)为减函数，f(x)是奇函数，F(x)xf(x)为偶数，且当x0为增函数即不等式F(3)F(2x1)等价为F(3)F(|2x1|)，|2x1|3，32x13，即22x4，1x2，即实数x的取值范围是(1,2)，故选D13【答案】114【答案】【解析】，令，即，解
9、得故函数的单调递增区间为15【答案】5【解析】f(x)3x22ax3，f(x)在x3时取得极值，f(3)0a5，验证知，符合题意16【答案】1006【解析】在ABC中，AB600，BAC30，ACB753045，由正弦定理得BCsinBAC=ABsinACB，即BCsin30=600sin45，所以BC3002在RtBCD中，CBD30，CDBCtanCBD3002tan30100617【答案】（1）f(x)（2）yx2x+3，y2xx+3-x2x+32x2+6xx+3218【答案】（1）由b2c2a2bc，得b2c2a2bc，故cosAb2+c2-a22bc=12，又0A，A3（2）由asi
10、nA2R，得a2sinA3，由余弦定理得a2b2c22bccosA，即(3)2b2c22bccos3，即342bc12，bc1，SABC12bcsinA121sin33419【答案】（1）将22列联表中的数据代入计算公式，得K21006010-2010270308020=100214.762由于4.4623.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（2）从5名数学系学生中随机抽取3人的一切可能结果所组成的基本事件为下列10个：(a1,a2,b1)，(a1,a2,b2)，(a1,a2,b3)，(a1,b1,b2)，(a1,b1,b3)，(a1,b2,b
11、3)，(a2,b1,b2)，(a2,b1,b3)(a2,b2,b3)，(b1,b2,b3)，其中ai(i1,2)表示喜欢甜品的学生，bj(j1,2,3)表示不喜欢甜品的学生，这10个基本事件的出现是等可能的抽取3人，至多有1人喜欢甜品的事件为以下7个：(a1,b1,b2)，(a1,b1,b3)，(a1,b2,b3)，(a2,b1,b2)，(a2,b1,b3)，(a2,b2,b3)，(b1,b2,b3)，从这5名学生中随机抽取3人，至多有1人喜欢甜品的概率为71020【答案】如图，设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C、D两点，则AC8x，ADABBD2010xCD2AC2AD22ACADcos6
12、0(8x)2(2010x)216x(2010x)12244x2560x400244(x7061)2480061当CD2取得最小值时，CD取得最小值当x7061时，CD取得最小值因此经过7061小时甲、乙两船相距最近21【答案】解（1）因为函数f(x)xxlnx，所以f(x)lnx2，所以f(1)2，又f(1)1，则函数f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即2xy10（2）因为f(x)xxlnx，所以k(x1)f(x)对任意的x1恒成立，即k(x1)xxlnx，因为x1，即kx+xlnxx-1对任意x1恒成立令g(x)x+xlnxx-1，则g(x)x-lnx-2x-12，令
13、h(x)xlnx2(x1)，则h(x)11x=x-1x0，所以函数h(x)在(1,)上单调递增因为h(3)1ln30，h(4)22ln20，所以方程h(x)0在(1,)上存在唯一实根x0，且满足x0(3,4)当1xx0时，h(x)0，即g(x)0；当xx0时，h(x)0，即g(x)0，所以函数g(x)x+xlnxx-1在(1,x0)上单调递减，在(x0,)上单调递增所以g(x)ming(x0)x01+lnx0x0-1=x01+x0-2x0-1x0(3,4)，所以kg(x)minx0因为x0(3,4)，故整数k的最大值是322【答案】（1）消去参数得圆C的普通方程为(x3)2(y1)29，由cos+60，得32cos12sin0，直线l的直角坐标方程3xy0（2）圆心(3,1)到l的距离d|33-1|(3)2+(-1)21设圆心截直线l所得弦长为m，则m2=r2-d222，m42
