1、江苏省无锡市大桥实验学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.若复数z满足（i为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算计算可得；【详解】解：因为，故选：B【点睛】本题考查了复数代数形式的运算，属于基础题2.由下表确定结论“X与Y有关系”的可信度为95%时，则随机变量的观测值k必须（ ）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4
2、550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828A. 大于10.828B. 大于3.841C. 小于6.635D. 大于2.706【答案】B【解析】【分析】由独立性检验的意义即可判定.【详解】查表可知犯错误的概率不超过0.05时的对应观测值为3.841，所以确定结论“X与Y有关系”的可信度为95%时，随机变量需大于3.841.故选：B【点睛】本题考查独立性检验的理解，属于基础题.3.函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后求导，求出导函数大于零时不等式的解集即可.【详解】函数的定义域为；
3、，当时，函数单调递增，解得，所以函数的单调递增区间是.故选：C【点睛】本题考查了利用导数与函数的单调区间，考查了数学运算能力.4.设，则复数所对应点组成的图形为（ ）A. 单位圆B. 单位圆除去点C. 单位圆除去点D. 单位圆除去点【答案】D【解析】【分析】根据复数，得到复数z对应点的坐标为：，然后由，利用复数的模求解.【详解】因为复数，所以复数z对应点的坐标为：，即，所以，因为，又因为，所以，所以，所以，即，所以复数z对应点组成的图形为单位圆除去点.故选：D【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5.影片红海行动里的“蛟龙突击队”在奉命执行
4、撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成6项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在第2位，且任务E、F必须排在一起，则这6项任务的不同安排方案共有（ ）A. 18种B. 36种C. 144种D. 216种【答案】B【解析】【分析】根据A必须排在第2位，且任务E、F必须排在一起，先得到任务E、F相邻的位置的种数，再考虑E、F的顺序，然后将剩下的3个任务全排列，最后用分步计数原理求解.【详解】因为A必须排在第2位，且任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3种，考虑E、F的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他3个位置，有种，所以这6项任务的不同安排方案共有种，
5、故选：B【点睛】本题主要考查计数原理中的排列问题，还考查了分析求解的能力，属于中档题.6.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可【详解】由题可知，则解得，由可得，答案选A【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功7.已知函数，若关于x的方程有5个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D.
6、 【答案】A【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或画出函数图象，数形结合得答案【详解】解：设，则，由，解得，当时，函数为增函数，当时，函数为减函数当时，函数取得极大值也是最大值为（e）方程化解得或如图画出函数图象：可得的取值范围是故选：A【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题8.设函数，若存在的极值点满足，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对函数进行求导，根据极值的定义得到等式，结合特殊角的正弦值、余弦值、二次函数的性质、解一元二次不等式的方法进行求解即可.
7、【详解】，因为存在极值点，所以，可得：，于是有，因为，所以，所以由，可得：或.故选：C【点睛】本题考查了极值的定义，考查了不等式成立时求参数取值范围，考查了导数的运算、解一元二次不等式，考查了数学运算能力.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.下列说法中，正确的命题是（ ）A. 已知随机变量服从正态分布，则B. 由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀C. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程
8、，则c，k的值分别是和0.3D. 在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越差【答案】CD【解析】【分析】根据正态分布，独立性检验、回归分析的概念判断【详解】量服从正态分布，则，A错；独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，并不能说明他物理一定可能优秀，B错；把线性方程代入，得，所以，C正确；残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越差，D正确故选：CD【点睛】本题考查统计的常用知识，掌握正态分布，独立性检验、回归分析的概念是解题基础，本题属于基础题10.已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）A. 7B. 8C
9、. 9D. 10【答案】ABC【解析】【分析】按照哪几项的二项式系数最大分三种情况讨论，结合二项式系数的性质可得答案.【详解】当的展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大时，；当当的展开式中第5项和第6项的二项式系数相等且最大时，；当的展开式中只有第5项的二项式系数最大时，.故选：ABC.【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了二项式系数性质，属于基础题.11.对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则以下说法正确的是（ ）A. 函数对称中心
10、B. 的值是99C. 函数对称中心D. 的值是1【答案】BC【解析】【分析】根据题意求出函数对称中心，然后根据函数对称中心的性质进行求解即可.【详解】,令，解得，由题意可知：函数的对称中心为；因为函数的对称中心为，所以有，设，所以有，得，即的值是99.故选：BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的对称中心，考查了利用函数的对称性求函数值之和问题，考查了数学阅读能力和数学运算能力.12.如图所示，已知直线与曲线相切于两点，则对于函数，以下结论成立的是（ ）A. 有3个极大值点，2个极小值点B. 有2个零点C. 有2个极大值点，没有极小值点D. 没有零点【答案】AD【解析】【分析】根据图象可以判断出
11、的正负性、得出恒成立，判定B错误，D正确；作出与直线平行的所有的切线，即可观察得到与的大小关系的不同区间，进而得出的正负区间，得出的单调性，进而得到的极值情况，从而判定A,C的正确与否.【详解】由题意可知：直线与曲线相切于两点，所以方程有两个不相等的实数根，由图象可知；，因此有，所以，因此函数没有零点，故选项B错误，选项D正确；，作出与直线平行的所有切线，各切线与函数的切点的横坐标依次为在处的导数都等于,在上，,单调递增，在上，单调递减，因此函数有三个极大值点，有两个极小值点，所以选项A正确，选项C错误.故选：AD【点睛】本题考查了利用导数判断函数的极值，考查了函数零点的判断，考查了数形结合思
12、想.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13.某企业从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，如表记录了该企业第x年（2013年是第一年）捐赠的现金数y(万元)：x3456y2.5344.5由表中数据得到y关于x的线性回归方程是，则可预测2020年捐赠的现金大约为_万元.【答案】5.95【解析】【分析】根据回归直线过样本点的中心求出，再计算出2020年从2013年算起是第几年，最后代入求值即可.【详解】因为，所以有，解得，因此，因为2020年从2013年算起是第8年，所以预测2020年捐赠的现金大约为：.故答案为：5.95【点睛】本题考查了线性
13、回归方程的应用，考查了数学运算能力 .14.已知函数，当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】由当时，不等式恒成立，变形得到当时，不等式恒成立，即，在上是增函数，然后由，在上是恒成立求解.【详解】因为当时，不等式恒成立，即当时，不等式恒成立，所以，在上是增函数，所以，在上是恒成立，即，在上是恒成立，令，所以，当时，当时，所以当时，取得最小值，最小值为，所以实数a的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.设集合，那么集合A中满足条件“”的元素有_个.【答案】130【解析】【分析】由且，得
14、到中至少两个为0，至多四个为0，再分三种情况讨论.【详解】因为且，所以中至少两个为0，至多四个为0.中4个0，1个为1或1，A有个元素；中3个0，2个为1或1，A有个元素；中2个0，3个1或1，A有个元素；从而，集合A中共有个元素.故答案：【点睛】本题考查组合数的计算，考查分类讨论思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16.设函数，. 若，且的最小值为，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】设，用表示，再利用导数求函数最小值，最后根据的最小值为得实数的值.【详解】因为，设，则，所以，因为，所以当时，；当时，.所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.，因此，.故答案为：.【点睛】两函数
15、关系问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式或方程，从而求出参数的取值范围或值.四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设复数z的实部为正数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.（1）求复数z；（2）若有，对任意均有成立，试求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，且，由条件可得，由联立的方程组得、的值，即可得到的值（2）首先可得，因为均有成立，即对恒成立，对分类讨论可得；【详解】解：（1）设，且在一、三象限角平分线上，由、得或，；（
16、2），均有成立，即对恒成立，时，恒成立，解得，综上所述，.【点睛】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，不等式恒成立问题，属于中档题18.已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512.(1)求展开式的所有有理项（指数为整数）；(2)求展开式中项的系数【答案】（1） （2）164【解析】【试题分析】（1）依据题设运用二项式展开式的公式及待定系数法进行求解；（2）依据题设先求出展开式中项的系数，再组合数公式的性质求解：解:（1）， （ r =0, 1, ，10 ）Z，6有理项为，（2），项的系数为19.已知a是实数，函数.（1）若曲线在处的切线l与直线平行，求切线l的方
17、程；（2）求在区间上的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义表示斜率求参数，进而表示切点与斜率，最后由点斜式方式表示直线即可；（2）利用分类讨论导函数两根大小，正根与区间边界大小，从而分析单调性并表示此时最值，最后综合在一起即可.【详解】（1）因为函数，则，即，由题可知，所以，故在处的切点为，切线方程为，即.（2）因为，当时，在区间上，所以函数单调递增，所以，当时，若时，在区间上，在区间上，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因为，若时，若时，当，即时，在区间上，所以函数单调递减，所以，综上所述，在区间上函数【点睛】本题考查由导数的几何意义求切线方程，还
18、考查了分类讨论含参函数的在指定区间的最值，属于中档题.20.已知圆的方程，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径问：（1）可以作多少个不同的圆？（2）经过原点的圆有多少个？（3）圆心在直线上的圆有多少个？【答案】(1)448；(2)4；(3)38.【解析】【分析】(1)由题意利用乘法原理结合排列数公式可得满足题意的圆的个数；(2)由题意首先确定满足该条件的a，b，r，然后求解满足题意的圆的个数即可；(3)首先确定圆心满足的条件，然后结合排列数公式和分步加法计数原理可得满足题意的圆的个数.【详解】(1)可分两步完成：第一步，先选r，
19、因r0，则r有种选法，第二步再选a，b，在剩余8个数中任取2个，有种选法，所以由分步计数原理可得有个不同的圆.(2)圆经过原点，a、b、r满足，满足该条件的a，b，r共有3，4，5与6，8，10两组，考虑a、b的顺序，有种情况，所以符合题意的圆有.(3)圆心在直线x+y10=0上，即满足a+b=10，则满足条件的a、b有三组：0，10；3，7；4，6.当a、b取10、0时，r有7种情况，当a、b取3、7；4、6时，r不可取0，有6种情况，考虑a、b的顺序，有种情况，所以满足题意的圆共有个.【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，分类加法计数原理与分步乘法计数原理，排列数公式的应用等知识，意在考查
20、学生的转化能力和计算求解能力.21.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间频率估计最高气温位于该区间的概率.（1）求六月份这种酸奶一天的需求量（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），当六月份这种酸
21、奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，的数学期望达到最大值？【答案】（1）分布列见解析；（2）520.【解析】分析：（1）根据题意所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，；（2）分两种情况：当时，当时，分别得到利润表达式.详解：（1）由题意知，所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知，.因此的分布列为0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；若最高气温低于20，则因此当时，若最高气温不低于20，则，若最高气温低于20，则，因此所以时，的数学期望达到最大值，最大值为
22、520元.方法点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.22.已知函数，其中a为正实数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有两个极
23、值点，求证：.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析；【解析】【分析】（1）根据函数，求导得到，然后根据，分讨论求解.（2）由（1）得到若函数有两个极值点，则，且，代入，得到，要证，只需证，构造函数，用导数法结合零点存在定理证明即可.【详解】（1）因为函数，所以，函数的定义域为，令，若，即时，则，此时的单调减区间为；若，即时，令，得，当或时，当时，此时的单调减区间为，单调增区间为.（2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，且，.因为，要证，只需证.构造函数，则，在上单调递增，又，且在定义域上不间断，由零点存在定理，可知在上唯一实根，且.则在上递减，上递增，所以的最小值为因为，当时，则，所以恒成立.所以，所以，得证.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式证明问题，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.
