1、2022中考数学压轴题一元二次方程精选解析(二)例4请阅读下列材料：问题：已知方程x 2x10，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍解：设所求方程的根为y，则y2x，所以x 把x 代入已知方程，得()2 10化简，得y 22y40故所求方程为y 22y40这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；（1）已知方程x 2x20，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_；（2）已知关于x的一元二次方程ax 2bxc0（a0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根
2、分别是已知方程根的倒数解析：（1）y 2y20 2分（2）设所求方程的根为y，则y （x0），于是x （y0）3分把x 代入方程ax 2bxc0，得a()2bc0 4分去分母，得abycy 20 5分若c0，有ax 2bx0，于是方程ax 2bxc0有一个根为0，不符合题意c0，故所求方程为cy 2bya0（c0）6分例5 已知关于x的一元二次方程x 2(abc)xabbcca0，且abc0（1）若方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长；（2）若方程有实数根x0，求证：bcx0a；（3）若方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值解析：（1）方程有实数根，(abc)24(a
3、bbcca)0a 2b 2c 22ab2bc2ca0a(abc)b(acb)c(abc)00a(abc)b(acb)c(abc)a(abc)a0，abc0，即abca，b，c不能构成一个三角形的三边长 4分（2）设yx 2(abc)xabbcca则当xbc时，ybc0；当xa时，ybc0函数yx 2(abc)xabbcca图象的顶点坐标为（ ， ）当x 时，y 0由（1）知abc，bc a方程的实数根在bc与a之间，即bcx0a 7分（3）方程x 2(abc)xabbcca0的实数根为6和9abc6915，abbcca6954a 2b 2c 2(abc)22(abbcca)15 2254117
4、11 2由（2）知a9，9 2a 211 2a为正整数，a10 8分bc5，10bbc10c54bc5410(bc)541054由bc5，bc4及bc，解得b4，c1 10分例6已知方程x 22axa40有两个不同的实数根，方程x 22axk0也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x 22axa40的两根之间，求k的取值范围解析：方程x 22axa40有两个不同的实数根10，而14a 24(a4)4(a )21515 1分又方程x 22axk0也有两个不同的实数根24a 24k0，即k a 2 3分对于二次函数y1x 22axa4和y2x 22axk，它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同的交点y2与x轴的两个交点都在y1与x轴的两个交点之间y2与y轴的交点在y1与y轴的交点上方，如图 4分k a4 5分k的取值范围是：a4k a 2 6分Oxy（0，k）（0，a4）y2y1
