1、高考资源网（） 您身边的高考专家专练46高考大题专练(四)立体几何的综合运用12019全国卷如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值2如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值3如图，ADBC且AD2BC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且CD2FG，DG平面ABCD，DADCDG2.(1)若M为CF的中点，N
2、为EG的中点，求证：MN平面CDE；(2)求二面角EBCF的正弦值；(3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长42020全国卷如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEAD.ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PODO.(1)证明：PA平面PBC；(2)求二面角BPCE的余弦值5.2020全国卷如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；(2)设O
3、为A1B1C1的中心若AO平面EB1C1F，且AOAB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值专练46高考大题专练(四)立体几何的综合运用1.解析：本题主要考查空间直线与平面的位置关系、利用空间向量法求二面角，意在考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算(1)由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长
4、，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，(1,0,0)，(1，1,1)，(0,0,2)设平面EBC的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(0，1，1)设平面ECC1的法向量为m(x1，y1，z1)，则即所以可取m(1,1,0)于是cosn，m.所以，二面角BECC1的正弦值为.2解析：(1)证明：由已知可得BFPF，BFEF，PFEFF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)解析：作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，
5、建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，故PEPF.可得PH，EH.则H(0,0,0)，P，D，为平面ABFD的法向量设DP与平面ABFD所成角为，则sin .所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.3解析：依题意，可以建立以D为原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0，2,0)，E(2，0,2)，F(0,1,2)，G(0,0,2)，M，N(1,0,2)(1)证明：依题意(0,2,0)，(2,0,2)设n0(x，y，z)为平面CDE
6、的法向量，则即不妨令z1，可得n0(1,0，1)又，可得n00，又因为直线MN平面CDE，所以MN平面CDE.(2)依题意，可得(1,0,0)，(1，2，2)，(0，1,2)设n(x1，y1，z1)为平面BCE的法向量，则即不妨令z1，可得n(0,1,1)设m(x2，y2，z2)为平面BCF的法向量，则即不妨令z1，可得m(0,2,1)因此有cosm，n，于是sinm，n.所以，二面角EBCF的正弦值为.(3)设线段DP的长为h(h0,2)，则点P的坐标为(0,0，h)，可得(1，2，h)易知，(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量，故|cos，|，由题意，可得sin 60，解得h0,2所以
7、，线段DP的长为.4解析：(1)设DOa，由题设可得POa，AOa，ABa，PAPBPCa.因此PA2PB2AB2，从而PAPB.又PA2PC2AC2，故PAPC.所以PA平面PBC.(2)以O为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz.由题设可得E(0,1,0)，A(0，1,0)，C，P.所以，.设m(x，y，z)是平面PCE的法向量，则即可取m.由(1)知是平面PCB的一个法向量，记n，则cosn，m.易知二面角B PCE的平面角为锐角，所以二面角B PC E的余弦值为.5解析：(1)因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MNCC1.又由已知得AA1CC1，故AA1MN.因为A1B1C1是正三角形，所以B1C1A1N.又B1C1MN，故B1C1平面A1AMN.所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)由已知得AMBC.以M为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，则AB2，AM.连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM，E.由(1)知平面A1AMN平面ABC，作NQAM，垂足为Q，则NQ平面ABC.设Q(a,0,0)，则NQ，B1，故，|.又n(0，1,0)是平面A1AMN的法向量，故sin所以直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为.cosn，.- 8 - 版权所有高考资源网
