1、第七节离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列(1)理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性(2)理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用知识点一离散型随机变量分布列1随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，表示(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量2离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，X取每一个值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2xixnPp1p2pipn此表称为离散型随机变量
2、X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列(2)分布列的性质pi0，i1,2,3，n.pi1.易误提醒(1)对于分布列易忽视其性质p1p2pn1及pi0(i1，2，n)其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确(2)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的自测练习1设随机变量X的分布列如下：X1234Pp则p为()A.B.C. D.解析：由p1，p.答案：B2已知随机变量X的分布列为P(Xi)(i1,2,3)，则P(X2)_.解析：由分布列的性质知1，a3，P(X2).答案：知识点二常见的离散型随机变量的分布列
3、1两点分布列X01P1pp若随机变量X的分布列具有上表的形式，就称X服从两点分布，并称pP(X1)为成功概率2超几何分布列在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.X01mP如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布易误提醒对mminM，n的理解易忽视其含义如下：m为k的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中次品件数，即nM时，k(抽取的样本中次品的件数)的最大值为mn；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即nM时，k的最大值为mM.自测练习3设某项试验的成功率是失败率的2倍
4、，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X0)等于()A0 B.C. D.解析：由已知得X的所有可能取值为0,1，且P(X1)2P(X0)，由P(X1)P(X0)1，得P(X0).答案：C考点一离散型随机变量分布列的性质|1已知随机变量X的概率分布如下：X12345678910Pm则P(X10)()A. B.C. D.解析：由离散型随机变量分布列的性质可知m1，m1129.答案：C2若随机变量X的分布列为()X210123P0.10.20.20.30.10.1则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是()A(，2 B1,2C(1,2 D(1,2)解析：由随机变量X的分布列知：P(X1)0
5、.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5，P(X2)0.8，则当P(X8且nN*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于，求n的最大值；(2)当n12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为，求的分布列解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为，则，化简得n225n1440，解得9n16，故n的最大值为16.(2)由题意得，的可能取值为0,1,2，则P(0)，P(1)，P(2)，的分布列为012P23.忽视分布列性质致误【典例】随机变量
6、的分布列如下：101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|1)_，公差d的取值范围是_解析因为a，b，c成等差数列，所以2bac.又abc1，所以b.所以P(|1)ac.又ad，cd，根据分布列的性质，得0d，0d，所以d，此即公差d的取值范围答案易误点评求解易忽视a，b，c因大于或等于0而致误防范措施利用分布列的性质解决问题时要注意每一变量对应的概率值0Pi1.跟踪练习设X是一个离散型随机变量，其分布列为X123Pq21q1则q_；P(X2)_.解析：由分布列的性质得：由，得q.由，得q2q10，即(q2)0，解得q或q2(舍去)故q.由分布列可知X的可能取值只有1,2,3，故P(X2)
7、P(X1)P(X2)q2(1q)2.答案：A组考点能力演练1袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是()A5 B9C10 D25解析：X的所有可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10共9个答案：B2已知随机变量X的分布列为P(Xi)(i1,2,3,4)，则P(2X4)等于()A. B. C. D.解析：由分布列的性质，1，则a5.P(2X4)P(X3)P(X4).答案：B3在15个村庄有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列
8、概率中等于的是()AP(X2)BP(X2)CP(X4) DP(X4)解析：X服从超几何分布，故P(Xk)，k4.答案：C4(2016厦门质检)设随机变量X的分布列为P(Xk)mk(k1,2,3)，则m的值为()A. B.C. D.解析：由分布列的性质得P(X1)P(X2)P(X3)mm2m31.m.答案：B5一只袋内装有m个白球，nm个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了个白球，下列概率等于的是()AP(3) BP(2)CP(3) DP(2)解析：依题意知，是取了3次，所以取出白球应为2个答案：D6设随机变量X的概率分布列为X1234Pm则P(|X3|1)_.解析：由m
9、1，解得m，p(|X3|1)P(X2)P(X4).答案：7一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完即为旧，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X4)的值为_解析：事件“X4”表示取出的3个球有1个新球，2个旧球，故P(X4).答案：8若P(x2)1，P(x1)1，其中x1x2，则P(x1x2)等于_解析：由分布列性质可有：P(x1x2)P(x2)P(x1)1(1)(1)11()答案：1()9(2016大连质检)某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为，.(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；(2)若球队
10、获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y的分布列解：(1)由题意知X的可能取值为0,1,2,3，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).X的分布列为X0123P(2)该高中得分的可能取值为6,9,12,15.P(6)，P(9)，P(12)，P(15)，该高中得分的分布列为691215P10.(2016开封模拟)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法，从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x、y的含量(单位：mg)，下表是乙厂的5件产品测量数据.编号12345x169178166175180y7580777081(1)已知甲厂生产的产
11、品共有98件，求乙厂生产的产品数量；(2)当产品中微量元素x、y满足x175，y75时，该产品为优质品，试估计乙厂生产的优质品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件，求抽取的3件产品中优质品数的分布列解：(1)设乙厂生产的产品为m件，依题意得，m35.(2)上述样本数据中满足x175且y75的只有2件，估计乙厂生产的优质品为3514(件)(3)依题意，可取0,1,2，则P(0)，P(1)，P(2).的分布列为：012PB组高考题型专练1(2014高考天津卷改编)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七
12、个学院现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A).所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)所以，随机变量X的分布列是X0123P2.(2015高考重庆卷改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同从中任意选取3个(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列解：(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A).(2)X的所有可能值为0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).综上可知，X的分布列为 x012P
