1、第2课时空间向量与垂直关系学 习 目 标核 心 素 养1能用向量法判断一些简单的线线、线面、面面垂直关系(重点)2掌握用向量方法证明有关空间垂直关系的方法步骤(重点、难点)借助应用向量证明线面垂直和面面垂直的学习，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养空间中垂直关系的向量表示线线垂直设直线l的方向向量为a(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b(b1，b2，b3)，则lmab0a1b1a2b2a3b30线面垂直设直线l的方向向量是a(a1，b1，c1)，平面的法向量是u(a2，b2，c2)，则lauaku(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR)面面垂直若平面的法向量u(a1，b1，c
2、1)，平面的法向量v(a2，b2，c2)，则 uv uv0a1a2b1b2c1c20思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？提示垂直1若直线l的方向向量a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()AlBlCl Dl与斜交Bn(2,0，4)2(1,0,2)2a，na，l2设直线l的方向向量u(2,2，t)，平面的一个法向量v(6，6,12)，若直线l平面，则实数t等于()A4 B4C2 D2B因为直线l平面，所以uv，则，解得t4，故选B3若直线l1的方向向量为u1(1,3,2)，直线l2上有两点A(1,0，1)，B(2，1,2)，则两直线
3、的位置关系是_l1l2(1，1,1)，u11131210，因此l1l24已知两平面，的法向量分别为u1(1,0,1)，u2(0,2,0)，则平面，的位置关系为_u1u20，则用向量方法处理线线垂直问题 【例1】(1)已知空间三点A(0,0,1)，B(1,1,1)，C(1,2，3)，若直线AB上一点M，满足CMAB，则点M的坐标为_(2)如图，ABC中，ACBC，D为AB边中点，PO平面ABC，垂足O在CD上，求证：ABPC(1)设M(x，y，z)，又(1,1,0)，(x，y，z1)，(x1，y2，z3)，由点M在直线AB上得与共线，即x，y，z10，又CMAB，向量与向量的数量积为0，即0，得
4、(x1)(y2)0，联立得所以x，y，z1，所以点M的坐标为(2)证明：设a，b，v由条件知，v是平面ABC的法向量，所以va0，vb0，因为D为AB中点，所以(ab)，因为O在CD上，所以存在实数，使(ab)因为CACB，所以|a|b|，所以(ba)(ab)(ba)(ba)v(|b|2|a|2)bvav0，所以，所以ABPC利用向量方法证明线线垂直，其思路是证明两条直线的方向向量互相垂直，具体方法有以下两种：(1)坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直；(2)基向量法：利用空间向
5、量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直.1如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CNCC1求证：AB1MN证明设AB中点为O，作OO1AA1以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz由已知得A，B，C，N，B1，M为BC中点，M，(1,0,1)，00，AB1MN应用向量法证明线面垂直 【例2】如图所示，正三棱柱ABCA1B1C1的所
6、有棱长都为2，D为CC1的中点求证：AB1平面A1BD思路探究：法一：通过证明，得到AB1BA1，AB1BD法二：证明与平面A1BD的法向量平行证明法一：如图所示，取BC的中点O，连接AO因为ABC为正三角形，所以AOBC因为在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC平面BCC1B1，所以AO平面BCC1B1取B1C1的中点O1，以O为原点，以，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，D(1,1,0)，A1(0,2，)，A(0，0，)，B1(1,2,0)所以(1,2，)，(1,2，)，(2,1,0)因为1(1)22()01(2)21()00所以，即AB1BA1，A
7、B1BD又因为BA1BDB，所以AB1平面A1BD法二：建系同方法一设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，则，即令x1得平面A1BD的一个法向量为n(1,2，)，又(1,2，)，所以n，即n所以AB1平面A1BD本例中增加条件：E，F分别是BC，BB1的中点，求证：EF平面ADE证明如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0，)，D(1,1,0)，E(0,0,0)，F(1,1,0)，所以(0,0，)，(1,1,0)，(1,1,0)所以101000，1(1)11000所以，即EFEA，EFED，又因为EAEDE，所以EF平面ADE1坐标法证明线面垂直有两种思路法一：(1)建立空间直角坐标系；(2
8、)将直线的方向向量用坐标表示；(3)找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；(4)分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0法二：(1)建立空间直角坐标系；(2)将直线的方向向量用坐标表示；(3)求出平面的法向量；(4)判断直线的方向向量与平面的法向量平行2使用坐标法证明时，如果平面的法向量很明显，可以用法二，否则常常选用法一解决应用向量法证明面面垂直【例3】如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，ABBC2，BB11，E为BB1的中点，证明：平面AEC1平面AA1C1C思路探究：要证明两个平面垂直，由两个平面垂直的条件，可证明这两个平面的法向量垂直，转化为求两个平面的法
9、向量n1，n2，证明n1n20解由题意得AB，BC，B1B两两垂直以B为原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E，则(0,0,1)，(2,2,0)，(2,2,1)，2,0，设平面AA1C1C的一个法向量为n1(x1，y1，z1)则令x11，得y11n1(1,1,0)设平面AEC1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)则令z24，得x21，y21n2(1，1,4)n1n2111(1)040n1n2，平面AEC1平面AA1C1C1利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平
10、面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直2向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系，恰当建系或用基向量表示后，只需经过向量运算就可得到要证明的结果，思路方法“公式化”，降低了思维难度2三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为三角形A1B1C1，BAC90，A1A平面ABCA1A，ABAC2A1C12，D为BC中点证明：平面A1AD平面BCC1B1证明如图，建立空间直角坐标系则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)，因为D为BC
11、的中点，所以D点坐标为(1,1,0)，所以(2,2,0)，(1,1,0)，(0,0，)，因为2200，0000，所以，所以BCAD，BCAA1，又ADAA1A，所以BC平面ADA1，而BC平面BCC1B1，所以平面A1AD平面BCC1B1空间垂直关系的解决策略几何法向量法线线垂直(1)证明两直线所成的角为90(2)若直线与平面垂直，则此直线与平面内所有直线垂直两直线的方向向量互相垂直线面垂直对于直线l，m，n和平面(1)若lm，ln，m，n，m与n相交，则l(2)若lm，m，则l(1)证明直线的方向向量分别与平面内两条相交直线的方向向量垂直(2)证明直线的方向向量与平面的法向量是平行向量面面垂
12、直对于直线l，m和平面，(1)若l，l，则(2)若l，m，lm，则(3)若平面与相交所成的二面角为直角，则证明两个平面的法向量互相垂直1若直线l的方向向量a(8，12,0)，平面的法向量(2，3,0)，则直线l与平面的位置关系是()AlBlC直线l与平面相交但不垂直D无法确定Baa，l2已知(2,2,1)，(4,5,3)，则平面ABC的一个单位法向量为()A BC DB设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则有取x1，则y2，z2所以n(1，2,2)由于|n|3，所以平面ABC的一个单位法向量可以是3下列命题中：若u，v分别是两个不同的平面，的法向量，则uv；若u，v分别是平面，的法向量，则
13、uv；若u是平面的法向量且向量a与共面，则ua0；若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直其中正确的命题序号是_正确；正确；u，a所在直线与平面平行或在平面内，uaua0，正确；正确4在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，证明：平面B1ED平面B1BD证明以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，B1(1,1,1)，E，(1,1,1)，设平面B1DE的法向量为n1(x，y，z)，则xyz0且yz0，令z2，则y1，x1，n1(1,1，2)同理求得平面B1BD的法向量为n2(1，1,0)，由n1n20，知n1n2，平面B1DE平面B1BD
