1、圆锥曲线中的证明、探索性问题建议用时：45分钟1(2019长沙模拟)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A，B两点，与椭圆相交于C，D，且？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由解(1)根据题意，设F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0)，由题意可得 解得a2，c1，则b2a2c23，故椭圆C的标准方程为1.(2)假设存在斜率为1的直线l，设为yxm，由(1)知F1，F2的坐标分别为(1,0)，(1,0)，所以以线段F1
2、F2为直径的圆为x2y21，由题意知圆心(0,0)到直线l的距离d1，得|m|0，解得m27.设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1x2，x1x2，|CD|x1x2|AB|，解得m20，n0)，将A(2,0)，B(2,0)，C代入椭圆E的方程，得解得椭圆E的方程为1.(2)证明：将直线l：yk(x1)代入椭圆方程1并整理，得(34k2)x28k2x4(k23)0.设直线l与椭圆E的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2.消去k2，得2x1x25(x1x2)8.直线AM的方程为y(x2)，即y(x2)直线BN的方程为y(x2)，即y(x2)由直线AM与直线BN的方程消去y，得x4.直线AM与直线BN的交点在直线x4上
