1、立体几何中的翻折、探究性、最值问题建议用时：45分钟一、选择题1(2019乐山模拟)已知一个三棱锥的六条棱的长分别为1,1,1,1，a，且长为a的棱与长为的棱所在直线是异面直线，则三棱锥的体积的最大值为()A.B.C.D.A如图所示，三棱锥ABCD中，ADa，BC，ABACBDCD1，则该三棱锥为满足题意的三棱锥，将BCD看作底面，则当平面ABC平面BCD时，该三棱锥的体积有最大值，此时三棱锥的高h，BCD是等腰直角三角形，则SBCD，综上可得，三棱锥的体积的最大值为.故选A.2.如图，矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻转成A1DE(A1平面ABCD)，若M，O
2、分别为线段A1C，DE的中点，则在ADE翻转过程中，下列说法错误的是()A与平面A1DE垂直的直线必与直线MB垂直B异面直线BM与A1E所成角是定值C一定存在某个位置，使DEMOD三棱锥A1ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值C取DC的中点N，连接MN，NB，则MNA1D，NBDE，平面MNB平面A1DE，MB平面A1DE，故A正确；取A1D的中点F，连接MF，EF，则四边形EFMB为平行四边形，则A1EF为异面直线BM与A1E所成角，故B正确；点A关于直线DE的对称点为N，则DE平面AA1N，即过O与DE垂直的直线在平面AA1N上，故C错误；三棱锥A1ADE外接球半径为AD，故D正确二、填
3、空题3(2019荆门一模)如图，在直角梯形ABCD中，ABBC，ADBC，ABBCAD1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EFAD于点F，将DEF沿EF折起到PEF的位置，并使PFAF，则五棱锥PABCEF的体积的取值范围为_PFAF，PFEF，AFEFF，PF平面ABCD.设PFx，则0x1，且EFDFx.五边形ABCEF的面积为SS梯形ABCDSDEF1x2.五棱锥PABCEF的体积V(3x2)x(3xx3)，设f(x)(3xx3)，则f(x)(33x2)(1x2)，当0x0，f(x)在(0,1)上单调递增，又f(0)0，f(1).五棱锥PABCEF的体积的范围是.4(2019柳州模拟
4、)已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3 cm，BC2 cm，AA12 cm，E为CC1的中点，则一质点自点A出发，沿着长方体的表面到达点E的最短路线的长为_cm.3将长方体沿C1C, C1B1, BC剪开，使面ABB1A1和面BCC1B1在同一个平面内，连接AE，如图在RtACE中，AC5，CE1，由勾股定理，得AE2AC2CE226，则AE.将长方体沿C1D1, DD1, C1C剪开，使面ABCD和面CDD1C1在同一个平面内，连接AE，如图，在RtABE中，AB3，BE3, 由勾股定理，得AE2AB2BE232323.将长方体沿B1C1, CC1, BB1剪开，使面ABCD和面BC
5、C1B1在同一个平面内，连接AE， 在RtADE中，DE4，AD2，由勾股定理，得AE2AD2DE220，则AE2.综上可知，故沿着长方体的表面到达点E的最短路线的长为3cm.三、解答题5(2019湖南六校联考)如图，梯形EFBC中，ECFB，EFBF，BFEC4，EF2，A是BF的中点，ADEC，D在EC上，将四边形AFED沿AD折起，使得平面AFED平面ABCD，点M是线段EC上异于E，C的任意一点(1)当点M是EC的中点时，求证：BM平面AFED；(2)当平面BDM与平面ABF所成的锐二面角的正弦值为时，求三棱锥EBDM的体积解(1)法一：(几何法)取ED的中点N，连接MN，AN，点M是
6、EC的中点，MNDC，且MNDC，而AB DC，且ABDC，MN綊AB，即四边形ABMN是平行四边形，BMAN，又BM平面AFED，AN平面AFED，BM平面AFED.法二：(坐标法)ADCD，ADED，平面AFED平面ABCD，平面AFED平面ABCDAD，DA，DC，DE两两垂直以DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，M(0,2,1)，(2,0,1)，又平面AFED的一个法向量(0,4,0)，0，又BM平面AFED，BM平面AFED.(2)依题意设点M(0t4)，设
7、平面BDM的法向量n1(x，y，z)，则n12x2y0，n1tyz0，令y1，则n1，取平面ABF的一个法向量n2(1,0,0)，|cosn1，n2|，解得t2.M(0,2,1)为EC的中点，SDEMSCDE2，又点B到平面DEM的距离h2，VEBDMVBDEMSDEMh.6.如图所示，在梯形ABCD中，ABCD，BCD120，四边形ACFE为矩形，且CF平面ABCD，ADCDBCCF.(1)求证：EF平面BCF；(2)点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值解(1)证明：设ADCDBC1，ABCD，BCD120，AB2，AC2
8、AB2BC22ABBCcos 603，AB2AC2BC2，则BCAC.CF平面ABCD，AC平面ABCD，ACCF，而CFBCC，CF，BC平面BCF，AC平面BCF.EFAC，EF平面BCF.(2)以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设FM(0)，则C(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，M(，0,1)，(，1,0)，(，1,1)设n(x，y，z)为平面MAB的法向量，由 得取x1，则n(1，)易知m(1,0,0)是平面FCB的一个法向量，cosn，m.0，当0时，cosn，m取得最小值，当点M与点F重合时，平面MAB与平面F
9、CB所成的锐二面角最大，此时二面角的余弦值为.1(2019河南郑州三测)如图甲，ABC中，ABBC2，ABC90，E，F分别为边AB，AC的中点，以EF为折痕把AEF折起，使点A到达点P的位置(如图乙)，且PBBE.甲乙(1)证明：EF平面PBE；(2)设N为线段PF上的动点(包含端点)，求直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值解(1)因为E，F分别为边AB，AC的中点，所以EFBC.因为ABC90，所以EFBE，EFPE，又BEPEE，所以EF平面PBE.(2)取BE的中点O，连接PO，因为PBBEPE，所以POBE.由(1)知EF平面PBE，EF平面BCFE，所以平面PBE平面BCFE
10、.又PO平面PBE，平面PBE平面BCFEBE，所以PO平面BCFE.过点O作OMBC交CF于点M，分别以OB，OM，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B，P，C，F，由N为线段PF上一动点，得(01)，则可得N，.设平面PCF的法向量为m(x，y，z)，则即取y1，则x1，z，所以m(1,1，)为平面PCF的一个法向量设直线BN与平面PCF所成的角为，则sin |cos，m|(当且仅当时取等号)，所以直线BN与平面PCF所成角的正弦值的最大值为.2.在直角三角形ABC中，C90，AC4，BC2，E是AC的中点，F是线段AB上一个动点，且(01)，如图所示，沿BE将
11、CEB翻折至DEB的位置，使得平面DEB平面ABE.(1)当时，证明：BD平面DEF.(2)是否存在，使得DF与平面ADE所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：在ABC中，C90，即ACBC，则BDDE.取BF的中点N，连接CN交BE于M，当时，F是AN的中点，而E是AC的中点，所以EF是ANC的中位线，所以EFCN，在BEF中，N是BF的中点，所以M是BE的中点，在RtBCE中，ECBC2，所以CMBE，则EFBE，又平面DEB平面ABE，平面DBE平面ABEBE，所以EF平面DBE，因为BD平面DBE，所以EFBD.而EFDEE，所以BD平面DEF.(2)连
12、接DM.以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,2,0)，E(2,0,0)，由(1)知M是BE的中点，DMBE，又平面DEB平面ABE，所以DM平面ABE，则D(1,1，)假设存在满足题意的，则由，可得F(44，2，0)，则(34，21，)，(2,0,0)，(3，1，)，设平面ADE的一个法向量为n(x，y，z)，则即令y，可得x0，z1，即n(0，1)设DF与平面ADE所成的角为，则sin ，解得或3(舍去)综上可知，存在，使得DF与平面ADE所成角的正弦值为.(2019长沙一模)已知三棱锥PABC(
13、如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长等于的正方形，ABE和BCF均为正三角形，在三棱锥PABC中；图1图2(1)证明：平面PAC平面ABC；(2)若点M在棱PA上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角PBCM的余弦值解(1)证明：三棱锥PABC(如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABCD为边长等于的正方形，ABE和BCF均为正三角形，PAPBPCBCAB，APCABC90，APBBPC60，取AC中点O，连接PO，BO，则POAC，BOAC，且POAOCOBO1，PO2BO2PB2，POBO，平面PAC平面ABC.(2)由(1)知，BOPO，BOAC，POACO，BO平面PAC，BMO是直线BM与平面PAC所成角，且tanBMO，当OM最短时，即M是PA中点时，BMO最大，由PO平面ABC，OBAC，得POOB，POOC，以OC，OB，OP所成直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，B(0,1,0)，A(1,0,0)，P(0,0,1)，M，(1，1,0)，(1,0，1)，设平面MBC的法向量m(x，y，z)，则取x1，得m(1,1,3)，设平面PBC的法向量n(x，y，z)，则取x1，得n(1,1,1)，设二面角PBCM的平面角为，则cos .二面角PBCM的余弦值为.图1图2
