1、第四章 圆与方程42 直线、圆的位置关系第32课时 直线与圆的方程的应用基础训练课时作业设计（45分钟）作业目标1会应用坐标法解决解析几何问题2会应用数形结合的数学思想方法求与圆有关的最值问题3会用数学建模的思想方法解决一些实际问题基础巩固一、选择题(每小题 5 分，共 35 分)1在平面直角坐标系 xOy 中，直线 3x4y50 与圆 x2y24 相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长等于()A3 3 B2 3C.3D1B解析：圆的半径为 r2，圆心(0,0)到直线的距离 d|5|32421，弦 AB 的长度|AB|2 r2d22 3.2已知点(x，y)在曲线(x2)2y21 上，则 x52
2、y42的最大值是()A6 B25C26 D36A解析：d x52y42表示圆上的点到点(5，4)的距离，所以 d 的最大值为圆心(2,0)到点(5，4)的距离加上半径 1.故 dmax 52240216.3一束光线从点 A(1,1)出发，经 x 轴反射到圆 C：(x2)2(y3)21 上的最短路程是()A3 21 B2 6C4 D5C解析：如图，设点 A 关于 x 轴的对称点为 B(1，1)，由图知，要求的最短距离为 BCr，即 21231214.4一辆卡车宽 1.6 m，若要经过一个半径为 3.6 m 的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过()A1.4 m B3.5 mC
3、3.6 m D2 mB解析：卡车高度应小于 3.620.823.51(m)，结合选项应选B.5台风中心从 A 地以每小时 20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心 30 km 内的地区为危险地区，城市 B 在 A 地正东 40 km处，B 城市处于危险区内的时间为()A0.5 h B1 hC1.5 h D2 hB解析：如图所示，在OBC 中，BC40 22 20 2(km)，而 BE30 km，EC 30220 2210(km)EF20(km)，B 城市处于危险区域的时间为20201(h)6将直线 2xy0 沿 x 轴向左平移 1 个单位，所得直线与圆 x2y22x4y0 相切，则实数 的
4、值为()A3 或 7 B2 或 8C0 或 10 D1 或 11A解析：直线 2xy0 沿 x 轴向左平移 1 个单位得 2xy20，圆 x2y22x4y0 的圆心为 C(1,2)，r 5，由题意，可得圆心 C(1,2)到直线 2xy20 的距离 d|2|5 5，解得 3 或 7.7若圆 x2y24x4y100 上至少有三个不同的点到直线l：axby0 的距离为 2 2，则直线 l 的倾斜角的取值范围是()A.12，4B.12，512C.6，3D.0，2B解析：圆 x2y24x4y100 可整理为(x2)2(y2)2(3 2)2，圆心坐标为(2,2)，半径为 3 2，要求圆上至少有三个不同的点
5、到直线 l：axby0 的距离为 2 2，则圆心到直线 l 的距离应小于等于 2，|2a2b|a2b2 2，ab24ab 10，2 3ab2 3kab，2 3k2 3，直线 l 的倾斜角的取值范围是12，512.二、填空题(每小题 5 分，共 20 分)8已知圆 x2y24x6y120，过点(1,0)的最长弦长为L，最短弦长为 l，那么 Ll 的值为.102 7解析：最长弦为过点(1,0)的直径，最短弦为过点(1,0)，且和最长弦垂直的线段9已知圆 C 与圆(x1)2y21 关于直线 yx 对称，则圆C 的方程为.x2(y1)21解析：已知圆的半径 r1，圆心(1,0)，圆心(1,0)关于直线
6、 yx 的对称点为(0，1)，则圆 C 的方程为 x2(y1)21.10过原点的直线与圆 x2y24x30 相切，若切点在第三象限，则该直线方程是.y 33 x解析：圆的标准方程为(x2)2y21，设切线方程为 ykx，则 1|2k0|1k2，解得 k 33，因为切点在第三象限，所以 k0，则 k 33.11已知直线 x2y30 与圆(x2)2(y3)29 相交于 A，B 两点，则AOB(O 为坐标原点)的面积为.6 55解析：圆心坐标(2，3)，半径 r3，圆心到直线 x2y30 的距离 d 5，弦长|AB|2 r2d24.又原点(0,0)到 AB 所在直线的距离 h 35，所以AOB 的面
7、积为 S124 356 55.三、解答题(共 25 分)12(本小题 12 分)圆(x1)2y28 内有一点 P(1,2)，直线AB 过点 P.(1)若弦长|AB|2 7，求直线 AB 的倾斜角；(2)若圆上恰有三点到直线 AB 的距离等于 2，求直线 AB 的方程解：设 AB：y2k(x1)，即 kxyk20.(1)由|AB|2 7，r2 2，知圆心(1,0)到直线 AB 的距离为 1，即|kk2|k211，解得 k 3.故 60或 120.(2)由于 r2 2，圆上有三个点到直线 AB 的距离为 2，则圆心到直线 AB 的距离为 2，即|kk2|k21 2，解得 k1.故直线 AB 的方程
8、为 xy10 或 xy30.13(本小题 13 分)某公园有 A，B 两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km 和 2 2 km，且 A，B 景点间相距 2 km(A 在 B 的右侧)，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大由平面几何知识可知，该点应是过 A，B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点以小路所在直线为 x 轴，点 B 在 y 轴上建立平面直角坐标系(如图)，则 B(0,2 2)，A(2，2)设过 A，B 两点，且与 x 轴相切的圆的方程为(xa)2(yb)2b2(b0)，因
9、为圆心在 AB 中垂线上，且中垂线方程是 xy 20，所以ab 2，a22 2b2b2，所以a0，b 2，或a4 2，b5 2.由实际意义知a4 2，b5 2应舍去，所以圆的方程为 x2(y2)22，与 x 轴的切点即原点，所以观景点应设在 B 景点在小路的射影处能力提升14(本小题 5 分)某圆拱桥的水面跨度是 20 m，拱高为 4 m现有一船宽 9 m，在水面以上部分高 3 m，通行无阻近日水位暴涨了 1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身当船身至少降低m时，船才能安全通过桥洞(结果精确到 0.01 m)1.22解析：以水位未涨前的水面 AB 的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，
10、设圆拱所在圆的方程为 x2(yb)2r2.圆经过点 B(10,0)，C(0,4)，100b2r2，4b2r2，解得b10.5，r14.5，圆的方程是 x2(y10.5)214.52(0y4)，令 x4.5，得 y3.28.故当水位暴涨 1.5 m 后，船身至少应降低 1.5(3.283)1.22(m)，船才能安全通过桥洞15(本小题 15 分)已知隧道的截面是半径为 4.0 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为 2.7 m、高为 2.5 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为 a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少？解：以隧道截面半圆的圆心为坐标原点，半圆直径所在直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆方程为 x2y216(y0)将 x2.7 代入 x2y216(y0)得，y 162.72 8.712.5，即在离中心线 2.7 m 处，隧道高度高于货车的高度，所以货车能驶入这个隧道将 xa 代入 x2y216(y0)得 y 16a2，所以货车要驶入该隧道，最大高度为 16a2 m.谢谢观赏！Thanks!
