1、第5讲指数与指数函数基础知识整合一、指数及指数运算1根式的概念根式的概念符号表示备注如果xna，那么x叫做a的n次方根n1且nN*当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数(a0)负数没有偶次方根2分数指数幂(1)a (a0，m，nN*，n1)；(2)a(a0，m，nN*，n1)；(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义3有理数指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)二、指数函数及其性质1指数
2、函数的概念函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数说明：形如ykax，yaxk(kR且k0，a0且a1)的函数叫做指数型函数2指数函数的图象和性质底数a10a0时，恒有y1；当x0时，恒有0y0时，恒有0y1；当x1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数1()na(nN*且n1)2.n为偶数且n1.3底数对函数yax(a0，且a1)的函数值的影响如图(a1a2a3a4)，不论是a1，还是0a0，且a1时，函数yax与函数yx的图象关于y轴对称1化简(2)6(1)0的结果为()A9B7C10D9答案B解析(2)6(1)0(26)17.2函数f
3、(x)x1(x0)的值域为()A(，2B(2，)C(0,2D(1,2答案D解析当x0时，x(0,1，x1(1,2，即f(x)的值域为(1,23(a2a2)x11，x12，选D4(2019德州模拟)已知a，b，c，则()AabcBcbaCcabDbc，所以b，所以ac，所以bca.故选D5(2020蒙城月考)已知0a1，b0，xx.又(xx1)2x2x229，x2x27.核心考向突破考向一指数幂的运算例1求值与化简：(1)81003；(2)(a0，b0)；(3)(a0)；(4)已知a0，aa3，求的值解(1)原式(23)(102) (22)32210126386.(2)原式ab.(3)原式(aa
4、)(aa)(a3) (a2) aa1.(4)将aa3两边平方，得aa129，所以aa17.将aa17两边平方，得a2a2249，所以a2a247，所以6.指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一即时训练1.化简：(a0，b0)解原式a1b12ab1.2计算0.0272(1)0.解原
5、式(0.33)72149145.3化简：ab2(3ab1)(4ab3) (a0，b0)解原式ab3(4ab3)ab3(ab)ab.4已知a3(a0)，求a2aa2a1的值解a3，a222a9211，而2a2213，a，a2aa2a111.考向二指数函数的图象及其应用例2(1)(2019山西晋城模拟)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，b0答案D解析由图象知f(x)是减函数，所以0a1，又由图象在y轴上的截距小于1可知ab0，所以b0且a1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_.答案解析当0a1时，y|ax1|的图象如图
6、1.因为y2a与y|ax1|的图象有两个交点，所以02a1.所以0a1时，y|ax1|的图象如图2，而此时直线y2a不可能与y|ax1|的图象有两个交点综上，0a0，且a1)的图象要抓住三个特殊点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象(3)根据函数图象的变换规律得到的结论函数yaxb(a0，且a1)的图象可由指数函数yax(a0，且a1)的图象向左(b0)或向右(b0，且a1)的图象向上(b0)或向下(b0，且a1)在0，)的图象相同；当x0时，其图象与x0时的图象关于y轴对称即时训练5.已知函数f(x)2
7、x2，则函数y|f(x)|的图象可能是()答案B解析y|f(x)|2x2|易知函数y|f(x)|的图象的分段点是x1，且过点(1,0)，(0,1)，|f(x)|0，又y|f(x)|在(，1)上单调递减，故选B6若曲线|y|2x1与直线yb没有公共点，则b的取值范围是_.答案1,1解析曲线|y|2x1与直线yb的图象如图所示，由图象可得，如果|y|2x1与直线yb没有公共点，则b应满足的条件是b1，1精准设计考向，多角度探究突破考向三指数函数的性质及其应用角度1比较指数幂的大小例3(1)(2019南昌模拟)下列不等关系正确的是()A33432B3233C2.602.622.6D2.62.6022
8、.6答案D解析因为y3x是增函数，所以34332，33233，故排除A，B；因为y2x是增函数，所以2.622.6202.6022.6，故选D(2)已知实数a，b满足等式2019a2020b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个B2个C3个D4个答案B解析在同一坐标系下画出y2019x与y2020x的图象，结合图象可知可能成立，所以不可能成立的有2个，选B比较指数式大小的方法比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指(1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小(2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利
9、用图象比较大小(3)当底数不同，指数也不同时，常借助1,0等中间量进行比较即时训练7.(2020山东实验中学月考)已知mn1，则有()A0nmBnm0C0mnDmn0答案A解析因为指数函数yx在R上递减，所以由mnn0，故选A8已知0ay1，则下列各式中正确的是()AxayaBaxayDaxya答案B解析对于A，1，a01，xaya，A错误；0ay1，axay，B正确，C错误；对于D，axy01，axya，D错误故选B角度解简单的指数不等式例4(1)(2019宜昌调研)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3)B(1，)C(3,1)D(，3)(1，)答案C解析当a0时，不等
10、式f(a)1为a71，即a8，即a3，因为03，此时3a0；当a0时，不等式f(a)1为1，所以0a1.故a的取值范围是(3,1)，故选C(2)当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是()A(2,1)B(4,3)C(3,4)D(1,2)答案D解析(m2m)4x2x0在(，1上恒成立，(m2m)在x(，1上恒成立y在(，1上单调递减，当x(，1时，y2，m2m2，1mab的不等式，需借助函数yax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a1与0ab的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数yax的单调性求解即时训练9.已知函数f(x)的值域是8,1，则
11、实数a的取值范围是()A(，3B3,0)C3，1D3答案B解析当0x4时，f(x)8,1，当ax0时，f(x)，8，1，即81，即3a0，实数a的取值范围是3,0)故选B10若x满足不等式2x21x2，则函数y2x的值域是()ABCD2，)答案B解析将2x21x2化为x212(x2)，即x22x30，解得x3,1，所以232x21，所以函数y2x的值域是.故选B角度与指数函数有关的复合函数问题例5(1)函数yx22x1的单调减区间为_.答案(，1解析设ux22x1，yu为减函数，函数yx22x1的减区间即函数ux22x1的增区间又ux22x1的增区间为(，1，所求减区间为(，1(2)函数yxx
12、1在区间3,2上的值域是_.答案解析令tx，因为x3,2，所以t.故yt2t12.当t时，ymin；当t8时，ymax57.故所求函数的值域为.与指数函数有关的复合函数的单调区间的求解步骤(1)求复合函数的定义域(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的(3)分层逐一求解函数的单调区间(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)即时训练11.已知函数y9xm3x3在区间2，2上单调递减，则m的取值范围为_.答案(，18解析设t3x，则y9xm3x3t2mt3.因为x2,2，所以t.又函数y9xm3x3在区间2,2上单调递减，即yt2mt3在区间上单调递减，故有9，解得m18.所以m的取值范围
13、为(，1812已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解(1)当a1时，f(x)x24x3，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yt在R上单调递减，所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间是(2，)，单调递减区间是(，2)(2)令g(x)a x24x3，f(x)g(x)，由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.(3)令g(x)a x24x3，f(x)g(x)，由指数函数的性质知，要使yg(x)的值域为(0，)应使g(x)ax24x3的值域为R，因此只能a0(因为若a0，则g(x)为二次函数，其值域不可能为R)故f(x)的值域为(0，)时，a的值为0.
