1、湖北省华大新高考联盟名校2020届高三数学5月模拟考试试题 理（含解析）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先求出集合，然后进行并集的运算即可【详解】，故选：【点评】本题主要考查了函数的定义域，同时考查了并集的运算，考查了计算能力，属于基础题2. 如图来自中国古代的木纹饰图若大正方形的边长为6个单位长度，每个小正方形的边长均为1个单位长度，则在大正方形内随机取一点，此点取自图形中小正方形内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分别求出各自对应的面积即可求解结论【详解】解：因为大正方
2、形的面积为：；而小正方的面积为：；故在大正方形内随机取一点，大正方形内部有6个小正方形，此点取自图形中小正方形内的概率是：故选：【点评】本题主要考查几何概型的求解，属于基础题目3. 设有下面两个命题：那么下列命题中，真命题是（ ）：复数的充要条件是；：若复数所对应的点在第一象限，则复数所对应的点在第四象限，A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，由复数得，则为真命题；再判断为真命题然后由复合命题的真假判断得答案【详解】解：设，则，则为真命题；若复数所对应的点在第一象限，则，而，故复数所对应的点在第四象限，为真命题为真命题故选：【点睛】本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及
3、其几何意义，考查复合命题的真假判断，是基础题4. 已知数列为等差数列，若，且与的等差中项为6，则（ ）A 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】设的公差为，由题设可得关于的方程组，求出其解后可得的值.【详解】设的公差为.数列为等差数列，且与的等差中项为6，解得，故选：D【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题5. 已知定义在上的函数，则在上，的最大值与最小值之和等于（ ）A. B. C. D
4、. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，设，分析可得为奇函数，由奇函数的性质可得，进而可得的值.【详解】根据题意，设，有，即函数为奇函数，其图象关于原点对称，则，则有，变形可得，所以，当时，函数的最大值与最小值之和等于.故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质以及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题6. 的展开式中的系数是（ ）A. 10B. 2C. D. 34【答案】C【解析】【分析】原式可化为，进而结合二项展开式的通项公式，可求得的展开式中的系数.【详解】由题意，又的展开式的通项公式为，所以的展开式中含的项为，的展开式中含的项为，所以的展开式中的系数是.故选：C【点睛】本题主
5、要考查二项式定理的应用，考查二项展开式的通项公式的应用，属于中档题7. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形记该几何体的外接球的体积为，该几何体的体积为，则与的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的体积和外接球的体积【详解】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体如图所示：取的中点，连接，易知球心在线段上，连接，设外接球的半径为，则：，解得所以，该几何体的体积则：故选：D【点睛】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维
6、能力，属于基础题型8. 如图所示程序框图是为了求出满足的最大正奇数的值，那么在框中，可以填（ ）A. “输出”B. “输出”C. “输出”D. “输出”【答案】A【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出符合题意的的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【详解】解：由于满足后，此时值比程序要求的的值多2，又执行了一次，故输出的应为故选：【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题9. 已知函数在区间上当时取得最大值，将的图像向左平移个单位得到函数的图像，则（ ）A. B. C.
7、D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可以利用两角差的正弦公式求出函数解析式，然后利用正弦函数的性质可得当时取得最大值，即，最后利用三角函数图像变换即可求得函数的解析式【详解】，当时，故当，即时，取得最大值，从而故选：【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式、正弦函数的性质、诱导公式以及三角函数的图像变换，考查的公式有、，考查化归与转化思想，考查计算能力，是中档题.10. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的左支交于、两点，若，则的内切圆半径为（ ）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】设内切圆的圆心，设三边与内切圆的切点，连接切点与圆心的线段，由内切圆的性质可得，
8、再由双曲线定义可知：，可得，重合，再由可得内切圆的半径的值【详解】设内切圆的圆心为，设圆与三角形的边分别切于，如图所示：连接，由内切圆的性质可得：，所以，所以，由双曲线的定义可知：，所以可得，重合，所以，所以.故选：【点睛】本题考查双曲线的定义及内切圆的性质.属于中档题11. 数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】推导出，由，得，
9、从而，进而或由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的的值的个数【详解】解：由题意知，由，得，或当时，或，或若，则，或，当时，此时，或，当时，此时，或，综上，满足条件的的值共有6个故选：D【点睛】本题考查数列中项的可能取值的个数的求法，考查递推公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题12. 已知实数、满足，给出五个关系式：其中不可能成立的关系式有（ ）；A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【分析】由，知 或 或，然后分情况验证个关系式即可【详解】由，知 或 或，当时，成立，其他的不成立；当时，成立，不成立；当时，取，则，成立，不成立，综上，只有不可能成立故选：【点睛
10、】本题考查了不等式的基本性质，考查了分类讨论思想，属中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 如图所示，、是圆上的两点，若，则弦长为_.【答案】2【解析】【分析】过作于，根据垂径定理有，代入中即可求解.【详解】过作于，则，所以,故答案为：2【点睛】考查向量数量积的定义和垂径定理，基础题.14. 已知实数、满足，则的最小值为_【答案】0【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：由实数、满足，画出可行域如图，化为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，有最小值，由，解得，最小值故答案为
11、：0【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15. 已知抛物线的焦点为，过作两条夹角为的直线、，直线与抛物线交于点、，直线与抛物线交于点、，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】求得抛物线的焦点的坐标，设直线的倾斜角为，求得直线的参数方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和参数的几何意义，可得，再将换为，可得，再由三角函数的二倍角的余弦公式、和差化积公式，结合余弦函数的值域，即可得到所求最小值【详解】解：抛物线焦点为，设直线的倾斜角为，可得直线的参数方程为为参数），设，对应的参数分别为，联立抛物线的方程，可得，即有，则，即有，将换为，同理可得，则，当，即时，的最小
12、值为故答案为：【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，注意运用直线的参数方程和参数的几何意义，考查三角函数的恒等变换和余弦函数的值域，主要考查化简运算能力和推理能力，属于中档题16. 在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，平面平面，点是内的一个动点（含边界），且满足，则点所形成的轨迹长度是_【答案】【解析】【分析】利用已知条件，通过直线与平面垂直，推出的轨迹，利用转化思想，求解距离即可【详解】根据题意，连接，两直线交于点，取上一点，连接，如图：若满足题意，又，故平面，则点只要在平面与平面的交线上即可，假设如图所示，平面与平面是同一个平面，则点的轨迹就是线段，根据假设，此时直线平面，则，又三角形是等腰
13、直角三角形，设N为AC的中点，三角形是等边三角形，所以，所以平面，所以，又因为，故，故三角形为直角三角形，故，在三角形中，由余弦定理可得：，在菱形中，故在直角三角形中，在三角形中，故，故得故答案为：【点睛】本题考查空间图形的应用，涉及直线与平面的位置关系，轨迹长度的求解，是难题三、解答题：共70分解箐应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作簀第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 设的内角、所对的边长分别为、，满足且（1）求角的大小；（2）若，边上的中线的长为，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定
14、理及和差角公式进行化简即可求解；（2）由已知条件得，可得出，然后利用平面向量数量积的运算性质和定义以及余弦定理可求得的值，进而可求得的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积【详解】（1）因为，由正弦定理可得，因为，所以，因为，所以为锐角，故；（2）由题意可知，所以，即，又由余弦定理可得，故，因为，所以，所以，【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、和差角公式、向量数量积的性质以及三角形面积公式的综合应用，属于中档试题18. 在四棱锥中，（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结，交于，连结，推导出，从而平面，由此能证明平面平面（2
15、）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值【详解】（1）证明：连结，交于，连结，由对称性知为中点，且，又，从而，又，由，平面，平面，平面平面（2）解：由（1）知，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，在等腰中，则，0，平面的法向量，0，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，二面角的余弦值为【点睛】本题考查面面垂直证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19. 已知椭圆的离心率为点在椭圆上（1）求椭圆的标准方程；（2）过点任作椭圆的两条相互垂直的弦、，设
16、、分别是、的中点，则直线是否过定点？若过，求出该定点坐标；若不过，请说明理由【答案】（1）；（2）直线过定点【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合点在椭圆上的性质、椭圆之间的关系，得到方程组，解方程组求出，的值，进而可得椭圆的方程（2）设直线的方程，联立直线与椭圆方程，消去一未知数，得到一个一元二次方程，结合韦达定理、中点坐标公式、直线斜率公式，可得到直线斜率，直线方程，令，即可得出答案【详解】（1）由已知得，解得，所以椭圆的方程为；（2）由题意知直线，的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，由得，由，且，所以，即，同理，所以，所以直线的方程为，由对称性可知定点必在轴上，令，得，所以直线
17、过定点【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的相交问题，属于中档题20. 近年来我国肥胖人群的规模急速增长，肥胖人群有很大的心血管安全隐患目前，国际上常用身体质量指数来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是.中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖为了解某公司员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号的身高和体重数据，并计算得到他们的值（精确到如表：编号12345678身高164176165163170172168182体重607277547255（近似值）22.323.228.320.323.523.725.516.6（1）现从这8名员工中选取
18、3人进行复检，记抽取到值为“正常”员工的人数为求的分布列及数学期望（2）某调查机构分析发现公司员工的身高和体重之间有较强的线性相关关系，在编号为6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预估一名身高为的员工体重为计算得到的其他数据如下（i）求的值及表格中8名员工体重的平均值；（ii）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为，身高数据无误请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为的员工的体重（附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，【答案】（1）分布列见解析，数学期望为
19、；（2）（i）；（ii）更正后的线性回归方程为；重新预估一名身高为的员工的体重约为【解析】【分析】（1）由题得的可能取值为0，1，2，3，再利用古典概型求出对应的概率，再写出分布列和期望得解；（2）先求出，再求出表格中8名员工体重的平均值；求出，求出更正后该组数据的线性回归方程为，再预估一名身高为180cm的员工的体重.【详解】解：（1）8名员工BMI数值为“正常”的员工有5人，记抽到BMI值为“正常”的人数为，则的可能取值为0，1，2，3，则， ， . 故的分布列为 0 12 3 则. （2） 调查员甲由线性回归方程预估一名身高为180cm的员工的体重为71kg，由此计算，故. 由知更正前的
20、数据，.由得，更正后的数据， ，所以.故.更正后该组数据的线性回归方程为.当时，所以重新预估一名身高为180cm的员工的体重约75kg.【点睛】本题主要考查随机变量的分布列和期望，考查线性回归方程的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.21. 已知函数（1）若点，为函数与图象的唯一公共点，且两曲线存在以点为切点的公共切线，求的值：（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先分别对函数求导，然后结合导数的几何意义即可求解；（2）先对求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的特征性质，然后结合函数性质及零点判定定理可求出符合要求的的范围
21、【详解】（1）由题意可知，与图象的在唯一公共点处的切线相同，又因为，所以，即，由可得或，由点唯一可得或，即或，由可得，综上可得，；（2）由，则，若即时，在上单调递减，在上单调递增，因为时，且（2），故要使得有2个零点，只有（1）即，当时，只有一个零点，故若，即时，当时，在上单调递增，不符合题意；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且时，且（1），故要使得有2个零点，则，即，令（a），则，故（a）在上单调递增，且，故（a）在上恒成立，不可能有2个零点，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且（1），故不可能有2个零点，综上【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用函数
22、的性质与导数求解函数零点个数，体现了分类讨论思想的应用22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程：（2）已知，点是曲线上一点，点到曲线的最大距离为，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果【详解】（1）曲线的参数方程为为参数，转换为直角坐标法方程为曲线的极坐标方程为，根据转换为直角坐标方程为（2）设点是曲线上一点，
23、则点到曲线的距离，由于，所以，则：由点到曲线的最大距离为，所以的最大值为4，由于，所以，则，即，故【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）设，若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】分析】（1）将代入中，然后根据，利用零点分段法解不等式即可，或构造函数，利用函数图像解不等式；（2）由条件可知，然后分和两种情况，利用数形结合法得到关于的不等式，再求出的范围.【详解】（1）当时，有.解法一：作出函数的图像，它与直线的交点为，所以原不等式的解集为.解法二：原不等式或或，解得或无解或，所以原不等式的解集为.（2）不等式，即.（*）当时，（*）式，恒成立；当时，作出与的图像，如图所示.则有，于是且.综上所述，的取值范围是.【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属于中档题.
