1、第二节一元二次不等式及其解法课标要求考情分析1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.1.主要考查一元二次不等式的解法和含参数的恒成立问题，多以选择题和填空题的形式出现2常常与集合运算、函数定义域的求解、用导数求单调区间等问题结合在一起进行考查，难度为中等及以下.知识点一元二次不等式的解集1.(1)“ax2bxc0(a0，xR)恒成立”的充要条件是“a0且b24ac0”(2)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且b24ac0，求解时不要忘记
2、讨论a0时的情形(2)注意区分0(a0)的解集为R还是.1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)abac2bc2.()(2)若方程ax2bxc0(a0的解集为R.()(3)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是abc2ab；反之，c0时，abac2bc2.(2)若方程ax2bxc0(a0的解集为.(3)当ab0，c0时，不等式ax2bxc0也在R上恒成立2小题热身(1)已知集合Axx10，Bx|x2x60的解集为x|1x2，则ab的值为(B)A1BC4D(4)若函数y的定义域为R，则m的取值范围是m.(5)不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是(，4)(4，)
3、解析：(1)Ax|x2，Bx|2x3，所以ABx|20的解集为x|1x2所以方程ax2bx10的解为1,2.所以12，(1)2.所以a，b，所以ab.(4)要使y恒有意义，即mx2(1m)xm0对xR恒成立，则解得m.(5)不等式x2ax40，即a216，a4或a3；(3)解关于x的不等式ax222xax(a0)【解】(1)不等式两边同乘以1，原不等式可化为x22x30.方程x22x30的解为x13，x21.而yx22x3的图象开口向上，可得原不等式x22x30的解集是x|3x1(2)由题意得或解得x1.故原不等式的解集为x|x1(3)原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为
4、x10，解得x1.当a1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0时，解得x1.综上所述，当a0时，不等式的解集为x|x1；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为1；当a0(0)的形式：当a0时，转化为一次不等式；当a0时，直接求解当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式与0的关系确定无根或一个根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式1不等式0x2x24的解集为2，1)(2,3解析：原不等式等价于即即解得故原不等式的解集为x|2x1或2a2(aR)的解集解：原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3x
5、a)0，令(4xa)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0时，不等式的解集为.考点二一元二次不等式恒成立问题命题方向1形如f(x)0(f(x)0)(xR)恒成立问题【例2】已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由【解】不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知
6、不存在这样的m.命题方向2【例3】设函数f(x)mx2mx1(m0)，若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围【解】要使f(x)m5在1,3上恒成立，则mx2mxm60，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0m.当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6.所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是 .方法技巧恒成立问题求解思路(1)形如f(x)0(f(x)0)(xR)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别
7、式来求解.(2)形如f(x)0(f(x)0)(xa，b)的不等式确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小(大)值，让最小(大)值大(小)于等于0，从而求参数的范围.1(方向1)已知关于x的不等式kx26kxk80对任意的xR恒成立，则实数k的取值范围是(A)A0,1B(0,1C(，0)(1，)D(，01，)解析：当k0时，不等式kx26kxk80化为80，其对任意的xR恒成立；当k0时，要使不等式kx26kxk80对任意的xR恒成立，对于方程kx26kxk80，需36k24(k28k)0，得0k1.综上，实数k的取值范围是0,1，故选A2(方向2)若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的
8、子集，则a的取值范围是(B)A4,1B4,3C1,3D1,3解析：原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即10)万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民人均年收入为3 000a元(a0且a为常数)(1)在建立加工企业后，要使该地区从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的年总收入，求x的取值范围(2)在(1)的条件下，当地政府应安排多少万农民进入加工企业工作，才能使这100万农民的人均年收入达到最大？【解】(1)据题意，得(100x)3 00
9、0(12x%)1003 000，即x250x0，解得0x50.又x0，故x的取值范围是(0,50(2)设这100万农民的人均年收入为y元，则yx25(a1)23 000375(a1)2(0x50)若025(a1)50，即050，即a1，则当x50时，y取得最大值综上，当01时，应安排50万人进入加工企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大方法技巧(1)解不等式应用题，一般可按如下四步进行：阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；引进数学符号，用不等式表示不等关系；解不等式；回答实际问题.(2)求解实际应用问题，首先要选择一个变量建立这个问题的函数模型或者不等式模型，然后再根据问题的求解目标，通过解不等式达到解题的目的.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份销售额增加x%，八月份销售额比七月份销售额增加x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是20.解析：由题意得七月份销售额为500(1x%)万元，八月份销售额为500(1x%)2万元根据题意得3 8605002500(1x%)500(1x%)27 000，解得1x%2.2(舍去)或1x%1.2，即x20，所以x的最小值是20.
