1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元评估检测(五)(第九章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,则a为()A.2B.2或-2C.-2D.-【解析】选B.由直线ax+y+7=0与4x+ay-3=0平行,可得=,解得a=2.2.(2020杭州模拟)双曲线-x2=1的焦距是()A.B.2C.D.2【解析】选D.双曲线-=1的焦距为2c=2=2=2.3.若二次函数f(x)=
2、k(x+1)(x-2)的图象与坐标轴的交点是椭圆C:+=1(ab0)的顶点或焦点,则k=()A.B.C.D.【解析】选B.由题意得,椭圆C的一个焦点为(-1,0),长轴的一个端点为(2,0),所以a=2,b=,由(0,-2k)是椭圆C的一个顶点,得-2k=或-2k=-,所以k=.4.(2020湖州模拟)双曲线-y2=1的一个焦点到一条渐近线的距离是()A.1B.2C.4D.【解析】选A.因为双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长的一半,所以双曲线-y2=1的一个焦点到一条渐近线的距离是1.5.已知椭圆+=1(0b1)上,且|PQ|的最大值等于5,则椭圆的离心率的最大值等于_,当椭圆的离心率取到最
3、大值时,记椭圆的右焦点为F,则|PQ|+|QF|的最大值等于_.【解析】显然圆x2+y2-6y+8=0的圆心A(0,3),半径R=1,因为|PQ|的最大值为5.所以|AQ|的最大值为4,设Q(acos ,sin ).则|AQ|2=(0-acos )2+(3-sin )2=a2cos z2+9-6sin +sin2=a2(1-sin2)+9-6sin +sin2=(1-a2)sin2-6sin +a2+9,设t=sin (-1t1).则|AQ|2=(1-a2)t2-6t+a2+9,开口向下,对称轴t=0.又当t=-1时,|AQ|2=16,因此-1,所以1)的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(
4、,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点F1的直线l与椭圆E相交于M,N两点,求F2MN内切圆面积的最大值.【解析】(1)由已知椭圆的左、右焦点分别为F1(-,0),F2(,0),所以c=,由a2=b2+c2=6+2=8,所以椭圆E的标准方程为+=1.(2)令l:x=my-,设M(x1,y1),N(x2,y2),所以(3m2+4)y2-6my-18=0,由0,即72m2+72(3m2+4)0,所以mR,则y1+y2=,y1y2=-,设F2MN的内切圆半径为R,=(|MN|+|MF2|+|NF2|)R=4R,又=|F1F2|y1-y2|=|y1-y2|,所以4R=|y1-y2|,即4R=|y
5、1-y2|,因为|y1-y2|=12=12,令t=,则t1,得|y1-y2|=,令f(t)=3t+,知f(t)在1,+)上是单调递增函数,所以f(t)f(1)=4,所以|y1-y2|max=3,所以(4R)max=3,Rmax=,所以F2MN内切圆面积Smax=.20.(15分)已知椭圆C:+=1(ab0)的左、右两个焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为P,PF1F2内切圆的半径为,设过点F2的直线l被椭圆C截得的线段为RS,当lx轴时|RS|=3.(1)求椭圆C的标准方程.(2)在x轴上是否存在一点T,使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,
6、请说明理由.【解析】(1)由内切圆的性质,得2cb=(2a+2c),得=.将x=c代入+=1,得y=,所以=3.又a2=b2+c2,所以a=2,b=,故椭圆C的标准方程为+=1.(2)当直线l垂直于x轴时,显然x轴上任意一点T都满足TS与TR所在直线关于x轴对称.当直线l不垂直于x轴时,假设存在T(t,0)满足条件,设l的方程为y=k(x-1),R(x1,y1),S(x2,y2).联立方程 得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由根与系数的关系得 其中0恒成立,由TS与TR所在直线关于x轴对称,得kTS+kTR=0(显然TS,TR的斜率存在),即+=0.因为R,S两点在直线y=k(
7、x-1)上,所以y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),代入得=0,即2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0,将代入得=0,则t=4,综上所述,存在T(4,0),使得当l变化时,总有TS与TR所在直线关于x轴对称.21.(15分)已知椭圆C:+=1(ab0)的短轴长为4,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设椭圆C的左,右焦点分别为F1,F2左,右顶点分别为A,B,点M,N为椭圆C上位于x轴上方的两点,且F1MF2N,记直线AM,BN的斜率分别为k1,k2,若3k1+2k2=0,求直线F1M的方程.【解析】(1)由题意,得2b=4,=.又a2-c2=b2,所以a=3,b=2,
8、c=1. 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)由(1),可知A(-3,0),B(3,0),F1(-1,0),F2(1,0).据题意,设直线F1M的方程为x=my-1,记直线F1M与椭圆的另一交点为M,设M(x1,y1)(y10),M(x2,y2).因为F1MF2N,根据对称性,得N(-x2,-y2).联立消去x,得(8m2+9)y2-16my-64=0,其判别式0,所以y1+y2=,y1y2=-,由3k1+2k2=0,得+=0,即5my1y2+6y1+4y2=0.由,解得y1=,y2=,因为y10,所以m0.所以y1y2=.所以m=.所以直线F1M的方程为x=y-1,即2x-y+2=0.22
9、.(15分)设椭圆C:+=1(ab0)的焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),点A(a2,0),且=2.(1)求椭圆C的方程.(2)过F1,F2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D、E、M、N四点(如图所示),试求四边形DMEN面积的最大值和最小值.【解析】(1)由题意,|=2c=2,因为=2,所以F2为AF1的中点.所以a2=3,b2=2,所以椭圆方程为+=1.(2)当直线DE与x轴垂直时,|DE|=,此时|MN|=2a=2,四边形DMEN的面积S=|DE|MN|=4.同理当MN与x轴垂直时,也有四边形DMEN的面积S=|DE|MN|=4.当直线DE,MN均与x轴不垂直时,设DE:y=k(x+1),代入椭圆方程消去y得(2+3k2)x2+6k2x+(3k2-6)=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则所以|x1-x2|=,所以|DE|=|x1-x2|=,同理|MN|=,所以四边形的面积S=|DE|MN|令t=k2+,则S=4-,因为t=k2+2,S(t)=0,所以S(t)=4-为t2,+)上的增函数,当t=2,即k=1时,S=,所以S4,综上可知,S4.故四边形DMEN面积的最大值为4,最小值为.关闭Word文档返回原板块
