1、第5讲 椭 圆第八章平面解析几何1椭圆的定义条 件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的 轨迹为 椭圆 _ 为椭圆的焦点|MF1|MF2|2a _ 为椭圆的焦距 2a|F1F2|F1、F2|F1F2|2椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图 形性 质范 围axabybbxbaya 对称性对称轴：_对称中心：(0，0)x轴、y轴标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)性 质顶 点A1(a，0)，A2(a，0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b，0)，B2(b
2、，0)轴长轴 A1A2 的长为_短轴 B1B2 的长为_ 焦 距|F1F2|_ 离心率e_，e(0，1)a，b，c的关系c2_2a2b2ccaa2b21辨明两个易误点(1)椭圆的定义中易忽视 2a|F1F2|这一条件，当 2a|F1F2|时，其轨迹为线段 F1F2，当 2a|F1F2|时，不存在轨迹(2)求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2y2b21(ab0)2求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定 a2，b2 的值，结合焦点位置可写出椭圆方程(2)待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出 a、b；若焦点位置不明确，则需
3、要分焦点在 x 轴上和 y 轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为Ax2By21(A0，B0，AB)1(选修 2-1 P48 练习 T3(1)改编)已知中心在原点的椭圆 C的右焦点为 F(1，0)，离心率等于12，则 C 的方程是()A.x23 y241 B.x24 y231C.x24 y221 D.x24 y231D解析：右焦点为 F(1，0)说明两层含义：椭圆的焦点在 x 轴上；c1.又离心率为ca12，故 a2，b2a2c2413，故椭圆的方程为x24 y231.2若直线 x2y20 经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为()A.x25y21 B.x24 y251C.x25y2
4、1 或x24 y251 D以上答案都不对C解析：直线与坐标轴的交点为(0，1)，(2，0)，由题意知当焦点在 x 轴上时，c2，b1，所以 a25，所求椭圆的标准方程为x25 y21.当焦点在 y 轴上时，b2，c1，所以 a25，所求椭圆的标准方程为y25x24 1.故选 C.3已知椭圆的方程为 2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为()A.13B.33C.22D.12B解析：2x23y2m(m0)x2m2y2m31，所以 c2m2m3m6，所以 e213，所以 e 33.故选 B.4(选修 2-1 P42 练习 T3 改编)已知 F1，F2 是椭圆x24 y231的两个焦点，过点 F2
5、 作 x 轴的垂线交椭圆于 A，B 两点，则F1AB 的周长为_8解析：由已知可得F1AB 的周长为|AF1|AF2|BF1|BF2|4a8.5(2016常州调研)若方程 x25k y2k31 表示椭圆，则 k的取值范围是_解析：由已知得5k0，k30，5kk3，解得 3k0，n0，且 mn)因为椭圆经过 P1，P2两点，所以 P1，P2 点坐标适合椭圆方程，则6mn1，3m2n1，两式联立，解得m19，n13.所以所求椭圆方程为x29 y231.(2)由椭圆的定义及ABF2 的周长知 4a16，则 a4，又ca22，所以 c 22 a2 2，所以 b2a2c21688.当焦点在 x 轴上时，
6、椭圆 C 的方程为x216y281；当焦点在 y 轴上时，椭圆 C 的方程为y216x28 1.综上可知，椭圆 C 的方程为x216y281 或x28y2161.考点二 椭圆的几何性质(高频考点)椭圆的几何性质是高考的热点，高考中多以小题出现，试题难度一般较大，高考对椭圆几何性质的考查主要有以下四个命题角度：(1)由椭圆的方程研究其性质；(2)利用椭圆性质求椭圆方程；(3)由椭圆的性质求参数的值或范围；(4)求离心率的值或范围(1)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的一个焦点是圆 x2y26x80 的圆心，且短轴长为 8，则椭圆的左顶点为()A(3，0)B(4，0)C(10，0)D(5，0)
7、D(2)(2015高考福建卷)已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是()A(0，32 B(0，34 C 32，1)D34，1)A解析(1)因为圆的标准方程为(x3)2y21，所以圆心坐标为(3，0)，所以 c3.又 b4，所以 a b2c25.因为椭圆的焦点在 x 轴上，所以椭圆的左顶点为(5，0)(2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为 4a2(|AF|BF|)8，所以 a2.
8、又 d|304b|32（4）245，所以 1b2，所以 eca1b2a21b24.因为 1b2，所以 0b0)的左、右焦点分别为 F1、F2，右顶点为 A，上顶点为 B，若椭圆 C 的中心到直线 AB 的距离为 66|F1F2|，则椭圆 C 的离心率 e()A.22B.32C.23D.33A(2)(2016合肥质检)如图，焦点在 x 轴上的椭圆x24 y2b21 的离心率 e12，F，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PFPA的最大值为_4解析：(1)设椭圆 C 的焦距为 2c(ca)，由于直线 AB 的方程为 bxayab0，所以aba2b2 63 c，又 b2a2c2
9、，所以 3a47a2c22c40，解得 a22c2或 3a2c2(舍)，所以 e 22，故选 A.(2)设 P 点坐标为(x0，y0)由题意知 a2，因为 eca12，所以 c1，b2a2c23.故所求椭圆方程为x24 y231.所以2x02，3y0 3.因为 F(1，0)，A(2，0)，PF(1x0，y0)，PA(2x0，y0)，所以PFPAx20 x02y2014x20 x0114(x02)2.即当 x02 时，PFPA取得最大值 4.考点三 直线与椭圆的位置关系(2015高考天津卷节选)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左焦点为 F(c，0)，离心率为 33，点 M 在椭圆上且位于第
10、一象限，直线 FM 被圆 x2y2b24截得的线段的长为c，|FM|4 33.(1)求直线 FM 的斜率；(2)求椭圆的方程解(1)由已知，有c2a213，又由 a2b2c2，可得 a23c2，b22c2.设直线 FM 的斜率为 k(k0)，则直线 FM 的方程为 yk(xc)由已知，有|kc|k212 c22 b22，解得 k 33.(2)由(1)得椭圆方程为 x23c2 y22c21，直线 FM 的方程为 y 33(xc)，两个方程联立，消去 y，整理得 3x22cx5c20，解得 x53c 或 xc.因为点 M 在第一象限，所以点 M 的坐标为c，2 33 c.由|FM|（cc）22 3
11、3 c024 33，解得 c1，所以椭圆的方程为x23 y221.(1)直线与椭圆位置关系判断的步骤 联立直线方程与椭圆方程；消元得出关于 x(或 y)的一元二次方程；当 0 时，直线与椭圆相交；当 0 时，直线与椭圆相切；当 0 时，直线与椭圆相离(2)直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点为 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则|AB|（1k2）（x1x2）24x1x2 11k2（y1y2）24y1y2(k 为直线斜率，k0)3.(2014高考陕西卷)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)经过点(0，3)，离心率为12，左，右焦点分别为 F1(c，0)，F2(c，0)(1)求椭圆的方
12、程；(2)若直线 l：y12xm 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2为直径的圆交于 C，D 两点，且满足|AB|CD|5 34，求直线 l的方程解：(1)由题设知b 3，ca12，b2a2c2，解得a2，b 3，c1，所以椭圆的方程为x24 y231.(2)由题设，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2y21，所以圆心到直线 l 的距离 d2|m|5，由 d1，得|m|52.(*)所以|CD|2 1d22 145m2 2554m2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y12xmx24 y231，得 x2mxm230，由根与系数的关系可得 x1x2m，x1x2m23.所以|AB|11
13、22m24（m23）1524m2.由|AB|CD|5 34，得4m254m21，解得 m 33，满足(*)所以直线 l 的方程为 y12x 33 或 y12x 33.(2014高考辽宁卷)已知椭圆 C：x29 y241，点 M 与C 的焦点不重合若 M 关于 C 的焦点的对称点分别为 A，B，线段 MN 的中点在 C 上，则|AN|BN|_.方法思想数形结合思想在椭圆求值中的应用12解析 椭圆x29 y241 中，a3.如图，设 MN 的中点为 D，则|DF1|DF2|2a6.因为 D，F1，F2分别为 MN，AM，BM 的中点，所以|BN|2|DF2|，|AN|2|DF1|，所以|AN|BN
14、|2(|DF1|DF2|)12.(1)本题利用了数形结合的思想，把 DF1 和DF2 分别看作MAN 和MNB 的中位线，再结合椭圆定义即可求解(2)在求解有关圆锥曲线焦点问题时，结合图形，注意动点到两焦点距离的转化 1.(2016豫东、豫北十校联考)椭圆 C：x2a2y21(a0)的左、右焦点分别为 F1、F2，P 为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2 的中点分别为 M，N，O 为坐标原点，四边形 OMPN 的周长为 2 3，则PF1F2 的周长是()A2(2 3)B.22 3C.2 3D42 3A解析：因为 O，M分别为 F1F2和 PF1的中点，所以 OMPF2，且|OM|12|P
15、F2|，同理，ONPF1，且|ON|12|PF1|，所以四边形 OMPN 为平行四边形，由题意知，|OM|ON|3，故|PF1|PF2|2 3，即 2a2 3，a 3，由 a2b2c2知 c2a2b22，c 2，所以|F1F2|2c2 2，故PF1F2的周长为 2a2c2 32 2，选 A.2设 F1，F2分别是椭圆x225y2161 的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点 M 的坐标为(6，4)，则|PM|PF1|的最大值为_15解析：如图，|PF1|PF2|10，|PF1|10|PF2|，|PM|PF1|10|PM|PF2|，易知点 M 在椭圆外，连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点，此时|PM|PF2|取最大值|MF2|，故|PM|PF1|的最大值为 10|MF2|10（63）24215.本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
