1、第5讲 古典概型第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布1基本事件的特点(1)任何两个基本事件都是_的(2)任何事件都可以表示成_的和(除不可能事件)互斥基本事件2古典概型(1)特点试验中所有可能出现的基本事件只有_个，即_每个基本事件发生的可能性_，即_(2)概率公式P(A)_有限有限性相等等可能性A包含的基本事件的个数基本事件的总数1辨明两个易误点(1)在计算古典概型中基本事件数和事件发生数时，易忽视他们是否是等可能的(2)概率的一般加法公式 P(AB)P(A)P(B)P(AB)中，易忽视只有当 AB，即 A，B 互斥时，P(AB)P(A)P(B)，此时 P(AB)0.2古典概型中基本事件
2、的求法(1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求，注意在确定基本事件时，(x，y)可以看成是有序的，如(1，2)与(2，1)不同有时也可以看成是无序的，如(1，2)，(2，1)相同(3)排列、组合法：在求一些较复杂的基本事件的个数时，可利用排列或组合的知识1集合 A2，3，B1，2，3，从 A，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于 4 的概率是()A.23 B.12C.13D.16C解析：从 A，B 中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)6 个基本事件，满足两数之和等于 4的有
3、(2，2)，(3，1)2 个基本事件，所以 P2613.2(2016长春质量监测)已知 a2，0，1，3，4，b1，2，则函数 f(x)(a22)xb 为增函数的概率是()A.25B.35C.12D.310B解析：因为 f(x)(a22)xb 为增函数，所以 a220，又a2，0，1，3，4，所以 a2，3，4，又 b1，2，所以函数 f(x)为增函数的概率是35，故选 B.3(2015高考广东卷)袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球，5 个红球从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有 1 个白球，1 个红球的概率为()A.521B.1021C.1121D1B解析
4、：从 15 个球中任取 2 个球共有 C215种取法，其中有 1个红球，1 个白球的情况有 C110C1550(种)，所以 P50C2151021.4(必修3 P127例3改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_解析：掷两个骰子一次，向上的点数共 6636 个可能的结果，其中点数相同的结果共有 6 个，所以点数不同的概率P1 66656.56解析：基本事件总数为 10，满足方程 cos x12的基本事件数为 2，故所求概率为 P 21015.5在集合x|xn6，n1，2，3，10 中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程 cos x12的概率是_15考点一 简单古典概型的求法(2015高考
5、湖南卷)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖抽奖方法是：从装有 2个红球 A1，A2和 1 个白球 B 的甲箱与装有 2 个红球 a1，a2 和 2 个白球 b1，b2的乙箱中，各随机摸出 1 个球若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率你认为正确吗？请说明理由解(1)所有可能的摸出结果是A1，a1，A1，a2，A1，b1，A1，b2，A2，a1，A2，a2，A2，b1，A2，b2，B，a1，B，a2，B，b1，B，b2(2)不正确理由如下：由(1)知，所有可
6、能的摸出结果共 12 种，其中摸出的 2 个球都是红球的结果为A1，a1，A1，a2，A2，a1，A2，a2，共 4 种，所以中奖的概率为 41213，不中奖的概率为 1132313，故这种说法不正确求古典概型概率的基本步骤(1)算出所有基本事件的个数 n.(2)求出事件 A 包含的所有基本事件数 m.(3)代入公式 P(A)mn，求出 P(A).1.(2016西安地区八校联考)依次从标号为 1，2，3，4，5 的五个黑球和标号为 6，7，8，9 的四个白球中随机地各取一个球，用数对(x，y)表示事件“抽到两个球标号分别为 x，y”(1)问共有多少个基本事件？并列举出来；(2)求所抽取的标号之
7、和小于 11 但不小于 9 或标号之和大于12 的概率解：(1)共有 20 个基本事件，列举如下：(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，共 20 个(2)记事件“所抽取的标号之和小于 11 但不小于 9”为事件 A，由(1)可知事件 A 共含有 7 个基本事件，列举如下：(1，8)，(1，9)，(2，7)，(2，8)，(3，6)，(3，7)，(4，6)，共 7 个“抽取的标号之和大于 12”记作
8、事件 B，则事件 B 包含：(4，9)，(5，8)，(5，9)，共 3 个故 P(A)P(B)720 32012，故抽取的标号之和小于 11 但不小于 9 或大于 12 的概率为12.考点二 较复杂古典概型的求法(高频考点)古典概型是高考考查的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计一起考查，属容易题，以考查基本概念为主 高考对本部分内容的考查主要有以下三个命题角度：(1)根据概率求参数；(2)利用古典概型的概率公式求概率；(3)古典概型与统计的综合应用(下章讲解)(2014高考四川卷)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字 1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放
9、回地抽取 3 次，每次抽取 1 张，将抽取的卡片上的数字依次记为 a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率解(1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，
10、(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共 27 种设“抽取的卡片上的数字满足 abc”为事件 A，则事件 A 包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共 3 种所以 P(A)32719.因此，“抽取的卡片上的数字满足 abc”的概率为19.(2)设“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”为事件 B，则事件 B 包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共 3 种所以 P(B)1P(B)1 32789.因此，“抽取的卡片上的数字 a，b，c 不完全相同”的概率为89.求较复杂事件的概率问题的方法(1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和事件，再
11、利用互斥事件的概率加法公式求解(2)先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求解.2.(1)(2015高考江苏卷)袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球从中一次随机摸出 2只球，则这 2只球颜色不同的概率为_(2)现有 8 名北京马拉松志愿者，其中志愿者 A1、A2、A3 通晓日语，B1、B2、B3 通晓俄语，C1、C2 通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，组成一个小组求 A1被选中的概率；求 B1和 C1不全被选中的概率56解：(1)由古典概型概率公式，得所求事件的概率为PC24C22C2456.故填56.(2)从 8 人中选出
12、通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名的方法数是 C13C13C1218，A1 恰被选中的方法数是 C13C126.用 M 表示“A1恰被选中”这一事件，P(M)61813.“B1 和 C1不全被选中”包括“选 B1不选 C1”，“选 C1不选 B1”，“B1和 C1都不选”这三个事件，分别记作事件 A、B、C，则 A、B、C 彼此互斥，且有 P(A)C13C13C13C1216，P(B)C13C12C13C13C1213，P(C)C13C12C13C13C1213，用 N 表示这一事件，所以有 P(N)P(ABC)P(A)P(BP(C)56.规范解答求古典概型的概率(本题满分 12 分)城市
13、公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人，将他们的候车时间(单位：分钟)作为样本分成 5 组，如表所示：组别候车时间人数一0，5)2二5，10)6三10，15)4四15，20)2五20，251(1)求这 15 名乘客的平均候车时间；(2)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数；(3)若从上表第三、四组的 6人中选 2人作进一步的问卷调查，求抽到的 2 人恰好来自不同组的概率(1)115(2.527.5612.5417.5222.51)115157.510.5，故这 15 名乘客的平均候车时间为
14、10.5 分钟(4 分)(2)由抽取的样本中候车时间少于 10分钟的频率近似表示概率，候车时间少于 10 分钟的概率为2615 815，所以候车时间少于 10 分钟的人数为 60 81532.(8 分)(3)将第三组乘客编号为 a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为 b1，b2.从 6 人中任选 2 人的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共 15 种，其中 2 人恰好来自不同组包含 8 种可能情况，故所求概率为 815.(12 分)(1)本题在求解时，首先要注意区分题目在什么情况下是古典概型，如本例(3)为古典概型，再分别按照古典概型的概率计算公式进行计算，注意计算的准确性(2)本题解答时，存在格式不规范，思维不流畅的严重问题如在解答时，缺少必要的文字说明，没有按要求列出基本事件本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
